1、 第 1 页（共 8 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 33 球（学生版） 一选择题（共一选择题（共 9 小题）小题） 1 （2019新课标）已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC， ABC是边长为 2 的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，90CEF，则球O的 体积为( ) A8 6 B4 6 C2 6 D6 2 （2016新课标）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( ) A12 B 32 3 C8 D4 3 （2015新课标）已知A，B是球O的球面上两点，90AOB，C为该球面上的动 点，若三棱
2、锥OABC体积的最大值为 36，则球O的表面积为( ) A36 B64 C144 D256 4 （2014陕西）已知底面边长为 1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则 该球的体积为( ) A 32 3 B4 C2 D 4 3 5 （2014上海）若两个球的体积之比为8:27，则它们的表面积之比为( ) A2:3 B4:9 C8:27 D2 2 :3 3 6 （2013新课标）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一 个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器 的厚度，则球的体积为( ) 第 2 页（共 8 页） A 3 50
3、0 3 cm B 3 866 3 cm C 3 1372 3 cm D 3 2048 3 cm 7 （2012新课标） 平面截球O的球面所得圆的半径为 1， 球心O到平面的距离为2， 则此球的体积为( ) A6 B4 3 C4 6 D6 3 8 （2010全国新课标）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为( ) A 2 3 a B 2 6 a C 2 12 a D 2 24 a 9 （2008全国卷）已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两 圆的公共弦长为 2，则两圆的圆心距等于( ) A1 B2 C3 D2 二填空题（共二填空题
4、（共 9 小题）小题） 10 （2019全国）已知平面截球O的球面所得圆的面积为，O到的距离为 3，则球O 的表面积为 11 （2017新课标）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直 径若平面SCA 平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为 9，则球O 的表面积为 12 （2013新课标）已知正四棱锥OABCD的体积为 3 2 2 ，底面边长为3，则以O为 球心，OA为半径的球的表面积为 13 （2013新课标）已知H是球O的直径AB上一点，:1:2AH HB ，AB 平面，H 为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为 第 3 页（共 8 页） 历年
5、高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 33 球（教师版） 一选择题（共一选择题（共 9 小题）小题） 1 （2019新课标）已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC， ABC是边长为 2 的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，90CEF，则球O的 体积为( ) A8 6 B4 6 C2 6 D6 【答案】D 【解析】如图， 由PAPBPC，ABC是边长为 2 的正三角形，可知三棱锥PABC为正三棱锥， 则顶点P在底面的射影 1 O为底面三角形的中心，连接 1 BO 并延长，交AC于G， 则ACBG，又 1 POAC， 11 POBGO，可得
6、AC 平面PBG，则PBAC， E，F分别是PA，AB的中点，/ /EFPB， 又90CEF，即EFCE，PBCE，得PB 平面PAC， 正三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直， 把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， 其直径为 222 6DPAPBPC 半径为 6 2 ，则球O的体积为 3 46 ()6 32 故选D 2 （2016新课标）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( ) A12 B 32 3 C8 D4 第 4 页（共 8 页） 【答案】A 【解析】正方体体积为 8，可知其边长为 2， 正方体的体对角线为4442 3， 即为球的直径，所以
7、半径为3， 所以球的表面积为 2 4( 3)12故选：A 3 （2015新课标）已知A，B是球O的球面上两点，90AOB，C为该球面上的动 点，若三棱锥OABC体积的最大值为 36，则球O的表面积为( ) A36 B64 C144 D256 【答案】C 【解析】 如图所示， 当点C位于垂直于面AOB的直径端点时， 三棱锥OABC的体积最大， 设球O的半径为R，此时 23 111 36 326 O ABCCAOB VVRRR ，故6R ，则球O的表 面积为 2 4144R，故选：C 4 （2014陕西）已知底面边长为 1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则 该球的体积为( ) A 3
8、2 3 B4 C2 D 4 3 【答案】D 【解析】正四棱柱的底面边长为 1，侧棱长为2， 正四棱柱体对角线的长为1 122 又正四棱柱的顶点在同一球面上， 正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径1R 第 5 页（共 8 页） 根据球的体积公式，得此球的体积为 3 44 33 VR故选：D 5 （2014上海）若两个球的体积之比为8:27，则它们的表面积之比为( ) A2:3 B4:9 C8:27 D2 2 :3 3 【答案】B 【解析】根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积 的比等于半径之比的平方 两个球的体积之比为8:27 两个球的半径之比为2:3
9、两个球的表面积的比为4:9 6 （2013新课标）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一 个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器 的厚度，则球的体积为( ) A 3 500 3 cm B 3 866 3 cm C 3 1372 3 cm D 3 2048 3 cm 【答案】A 【解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M， 则圆心M为正方体上底面正方形的中心如图 设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于(2)Rcm， 而圆M的半径为 4，由球的截面圆性质，得 222 (2)4RR， 解出5R ， 根据球的体积公式，该球的体积
10、 333 44500 5 333 VRcm 故选：A 第 6 页（共 8 页） 7 （2012新课标） 平面截球O的球面所得圆的半径为 1， 球心O到平面的距离为2， 则此球的体积为( ) A6 B4 3 C4 6 D6 3 【答案】D 【解析】因为平面截球O的球面所得圆的半径为 1，球心O到平面的距离为2， 所以球的半径为： 2 ( 2)13 所以球的体积为： 3 4 ( 3)4 3 3 故选：B 8 （2010全国新课标）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为( ) A 2 3 a B 2 6 a C 2 12 a D 2 24 a 【答案】B 【
11、解析】根据题意球的半径R满足 22 (2 )6Ra，所以 22 46SRa 球 故选：B 9 （2008全国卷）已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两 圆的公共弦长为 2，则两圆的圆心距等于( ) A1 B2 C3 D2 【答案】C 【解析】设两圆的圆心分别为 1 O、 2 O，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则 12 OO EO 为矩形，于是对角线 12 OOOE，而 22 3OEOAAE， 12 3OO 二填空题（共二填空题（共 9 小题）小题） 10 （2019全国）已知平面截球O的球面所得圆的面积为，O到的距离为 3，则球O 的表面积为 【答案】40 第 7
12、 页（共 8 页） 【解析】平面截球O的球面所得圆的面积为，则圆的半径为 1， 该平面与球心的距离3d ，球半径 22 1310R 球的表面积 2 440SR 11 （2017新课标）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直 径若平面SCA 平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为 9，则球O 的表面积为 【答案】36 【解析】三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA 平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为 9， 可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r， 可得 11 29 32 rrr
13、，解得3r 球O的表面积为： 2 436r 12 （2013新课标）已知正四棱锥OABCD的体积为 3 2 2 ，底面边长为3，则以O为 球心，OA为半径的球的表面积为 【答案】24 【解析】如图，正四棱锥OABCD的体积 113 2 ( 33) 332 VshOH， 3 2 2 OH，在直角三角形OAH中， 2222 3 26 ()()6 22 OAOHAH 所以表面积为 2 424r 第 8 页（共 8 页） 13 （2013新课标）已知H是球O的直径AB上一点，:1:2AH HB ，AB 平面，H 为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为 【答案】 9 2 【解析】设球的半径为R，:1:2AH HB ，平面与球心的距离为 1 3 R， 截球O所得截面的面积为， 1 3 dR时，1r ， 故由 222 Rrd得 222 1 1() 3 RR， 2 9 8 R 球的表面积 2 9 4 2 SR
