(数学)超几何分布与二项分布的区别与联系.pdf

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1、二项分布与超几何分布是两个非常重要的、 应用 广泛的概率模型, 实际中的许多问题都可以利用这两 个概率模型来解决。 在实际应用中, 如何理解它们的 关联性同时又能区分两个概率模型呢? 本文笔者就此 问题予以阐述。 一、 超几何分布与二项分布的定义 1.一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其 中恰有X件次品数,则事件X=k发生的概率为 P (X=k) = CM k Cnm nk CN n ,k=0,1,2, ,m 其中m=min M,n, 且nN,MN,n,M,N N*。 其分布列为超几何分布列。 如果随机变量X的分布 列为超几何分布列, 则称随机变量X服从超几何分布。 2.一般地,

2、在相同条件下重复做的n次试验称为n次 独立重复试验。 在n次独立重复试验中, 设事件A发生 的次数X, 在每次试验事件A发生的概率为p,那么在n次 独立重复试验中, 事件A恰好发生k次的概率为 P (X=k) =Cn kPk (1-p) n-k, k=0,1,2, ,n。 此时 称随机变量X服从二项分布, 记作XB (n,p), 并称p 为成功概率。 二、 超几何分布与二项分布的区别 从它们的定义不难看出超几何分布研究的是试验后 的结果 (不研究试验中先后取的顺序), 并且是无放回 的抽取; 二项分布研究的是既有研究先后发生的顺序 又有试验结果, 并且是有放回的抽取。 超几何分布是 无放回的抽

3、取, 即每做一次试验, 下一次再发生同一 事件A的概率已经发生了变化, 即每次发生的概率都不 相等。 实质上, 超几何分布是古典概型的一种特例。 二项分布是有放回的抽取, 每做一次试验, 发生同一 事件A的概率都相同。 这就是二者之间的区别。 本文笔 者举例说明: 例1: 在装有4个黑球6个白球的袋子中, 任取2个, 试求:(1)不放回地抽取, 取到黑球数X的分布列; (2)有放回地抽取, 取到黑球数的分布列。 解:(1) 是不放回地抽取,X服从超几何分布。 从10个球中任取2球的结果数为C10 2 , 从10个球中任取2 个, 其中恰有k个黑球的结果数为C4 kC 6 2-k, 那么从10个

4、球 中任取2个, 其中恰有k个黑球的概率为 P(X=k)= C4 kC 6 2k C10 2 ,k=0,1,2。 所以随机变量X的分布列是 (2) 是有放回地抽取, 每次抽到黑球的概率相同, XB (2,0.4)。 那么从10个球中任取2个, 其中恰有k个黑 球的概率为 P(X=k)=C2 K 04K062K,k=0,1,2。 所以随机变量X的分布列是 三、 超几何分布与二项分布的联系 例2某批n件产品的次品率为2%, 现从中任意地抽 出3件进行检验。 问: 当n=500,5000,50000时, 分别 以放回和不放回的方式抽取, 恰好抽到1件次品的概率 各是多少? 解:(1) 当有放回地抽取

5、时, 次品数XB (3,0.02) P(X=1)=C3 1 002 (1002) 20057624 (2) 无放回地抽取时,X服从超几何分布 n=500时,P(X=1)= C10 1 C490 2 C500 3 0057853 n=5000时,P(X=1)= C100 1 C4900 2 C5000 3 0057647 n=50000时,P(X=1)= C1000 1 C49000 2 C50000 3 0057626 说明: 当产品总数很大而抽出的产品较少时, 每 次抽出产品后, 次品率近似不变, 这样就可以近似看 成每次抽样的结果是相互独立的, 抽出产品中的次品 件数近似服从二项分布。 总之, 在教学过程中, 教师要让学生深刻体会超 几何分布与二项分布的区别与联系, 引导学生发掘题 中所给的隐含条件, 抓住实质, 从而能够正确解题, 并能利用所学知识解决一些实际问题。 超几何分布与二项分布的区别与联系 X01m p CM 0 CN-M n0 CN n CM 1 CN-M n1 CN n CM n CN-M nm CN n X012 P 1 3 8 15 2 15 X012 P036048016

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