1、 - 1 - 亳州市 2017-2018 学年度第一学期期末高三质量检测 数学试卷（理） 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题 ,每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ，故选 B。 2. 已知复数 （为虚数单位），则 （ ） A. B. C. 2 D. 【答案】 A 【解析】 ， 所以 ， 故选 A。 3. 已知 是第二象限角， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D . 则 ， 故选 D。 4. 已知 是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数，若 ，则（
2、 ） A. 0 B. 2 C. -2 D. 4 【答案】 A 【解析】 ，所以 是奇函数， 所以 ， 故选 A。 5. 执行下面的程序框图，则输出的第 1 个数是（ ） - 2 - A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】 C 【解析】 ， 则 ， 所以 ， 则 ， 所以， 则 ， 所以 ， 则 ， 则输出。 故选 C。 6. 下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C - 3 - 【解析】令圆的半径为 1， 则 ， 故选 C。 7. 由函
3、数 的图像 变换得到函数 的图像 ，则下列变换过程正确的是（ ） A. 把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 B. 把 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C. 把 向右平移 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到曲线 D. 把 向右平移 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到曲线 【答案】 D 【解析】 ， 所以变换过程是：先向右平移 个单位长度，在将各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ， 纵坐标不变，得
4、到 。 故选 D。 8. 经过双曲线 的左焦点作倾斜角为 的直线，若交双曲线 的左支于，则双曲线 离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由题意 ， ， 得 ，所以 ， 即离心率的范围是 ， 故选 B。 9. 如下图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ） - 4 - A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ， 故选 A。 10. 的展开式中常数项是（ ） A. -15 B. 5 C. 10 D. 15 【答案】 B 【解析】 二项式的展开通项为 ， 当 时，有 ； 当 时 ， 有 ； 当 时， 有 ， 所
5、以，常数项为 ， 故选 B。 点睛：本题考查二项式定理的应用。本题中的二项式形式较为复杂，为两式相乘的形式，一般的，将简单的一项直接展开 ， 得 ， 之后只需分别求解对应项的系数即可。 11. 椭圆 的两个焦点为 ，椭圆上两动点 总使 为平行四边形，若平行四边形 的周长和最大面积分别为 8 和 ，则椭圆的标准方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C - 5 - 【解析】由周长为 8， 可知 ， 由最大面积为 ， 可知 ， 所以椭圆方程可以是 ， 故选 C。 点睛：本题考查椭圆的性质应用。本题 中的平行四边形的基本型是焦点三角形，考查焦点三角形相关特征的应用，得 ， ， 利用 即可
6、解得标准方程。 12. 已知函数 ，若 存在四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】令 ， 则 ， 由题意， 有两个不同的解， 有两个不相等的实根， 由图可知， 得 或 ， 所以 和 各有两个解。 当 有两个解时，则 ， 当 有两个解时，则 或 ， 综上 ， 的取值范围是 ，故选 D。 第 卷 - 6 - 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，把答案填在答 题卡的相应位置 13. 已知实数 满足 ，则 的最小值为 _ 【答案】 -2 【解析】 由图，可知过点 时，由最小值 。 14. 已知平面向量 满足 ， ，若 的夹角为 ，则
7、_ 【答案】 3 【解析】 ， 得 ， 所以 。 15. 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则角_ 【答案】 【解析】 ， 得 ， 所以 ， 所以 。 16. 某产品包装公司要生产一种容积为 的圆柱形饮料罐（上下都有底），一个单位面积的罐底造价是一个单位面积罐身造价的 3 倍，若不考虑 饮料罐的厚度，欲使这种饮料罐的造价最低，则这种饮料罐的底面半径是 _ 【答案】 【解析】 ， 则 ， ， 所以 ， - 7 - 所以 在 单调递减 ， 单调递增 ， 所以当 时，造价最低。 点睛：本题考查导数的实际应用 。 本题中首先根据题目 ， 得到造价的函数方程， 则通过求导来判断造价的最小值，通过求导分析，
8、得到 的单调性情况，解得答案。 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 已知数列 的前 项和 满足 ，其中是不为零的常数， （ ）求 的通项公式； （ ）若 ，记 ，求数列 的前 项和 【答案】（ ） （ ） 【解析】试题分析 ：（ 1） 由已知 可得： ，两式相减化简得 ；（ 2） ，所以 ，得 。 试题解析： （ ）由已知 可得： 两式相减得： ，即 是首项为，公比为 3 的等比数列，从而 （ ）因为 ，所以 ，从而 - 8 - 点睛：本题考查数列基本型的综合应用 。 首先考查 型求通项的公式 应用，求解通项；然后考察裂项相消求和，需要对裂项基本型要熟悉 ： ， 解
9、得答案 。 18. 某超市在元旦期间开展优惠酬宾活动，凡购物满 100 元可抽奖一次，满 200 元可抽奖两次 依此类推抽奖箱中有 7 个白球和 3 个红球，其中 3 个红球上分别标有 10 元， 10 元， 20元字样每次抽奖要从抽奖箱中 有放回地 任摸一个球，若摸到红球，根据球上标注金额奖励现金；若摸到白球，没有任何奖励 （ ）一次抽奖中，已知摸中了红球，求获得 20 元奖励的概率； （ ）小明有两次抽奖机会，用 表示他两次抽奖获得的现金总额，写出 的分布列与数学期望 【答案】（ ） （ ） 【解析】试题分析 ：（ 1） ；（ 2） 的可能取值为 0,10,20,30,40，写出分布列，求
10、出期望。 试题解析： （ ）设事件 ，事件 则所求概率为 （ ） 的可能取值为 0,10,20,30,40 的分布列为 所以， - 9 - 19. 如图，多面体 中， 是正方形， 是梯形， ， ， 平面 且 ， 分别为棱 的中点 （ ）求证：平面 平面 ； （ ）求平面 和平面 所成锐二面角的余弦值 【答案】（ ）见解析（ ） 【解析】试题分析 ：（ 1） 通过证明 平面 ，所以平面 平面 （ 2）建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，求二面角的余弦值。 试题解析： （ ） ， 是正方形 分别为棱 的中点 平面 ， 平面 从而 ， 是 中点 平面 又 平面 所以，平面 平面 （ ）由已知， 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 ，设 ， 则 ， ， ， ， ， 平面 的一个法向量为 ， 由 得 令 ，则 由（ ）可知 平面 平面 的一个法向量为 - 10 - 设平面 和平面 所成锐二面角为， 则 所以，平面 和平面 所成锐二面角的余弦值为 20. 已知抛物线 与过点 的直线交于 两点，且总有 （ ）确定 与的数量关系； （ ）若 ，求的取值范围 【答案】（ ） （ ） 【解析】试题分析 ：（ 1） 设 ，由 ， ，由 得：，解得 （ 2）由题意， ， ，所以 。 试题解析： （ ）设 ， ， 由 消去 得： ， 由 得： 即 （ ）由（ ）可计算：
