1、 1 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 训练篇训练篇 B 专题专题 01 曲线和方程曲线和方程 训练篇训练篇 B 1.已知 A， B 为双曲线 E 的左， 右顶点， 点 M 在 E 上， ABM 为等腰三角形， 且顶角为120， 则 E 的离心率为 A.5 B.2 C.3 D.2 分析分析 要求 e，不一定要清楚 a 和 c，可以求出 a，c 之间的关系，在转化为 e 的方程或 等式. 解解 1 设双曲线方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab . 如图所示，| |ABBM，120ABM， 过点M作MNx 轴，垂足为N，在BMN中，由于|BM|=|AB
2、|=2a，则|BNa， |3MNa，故点M的坐标为(2 , 3 )Maa，代入双曲线方程得 2222 abca，即 22 2ca，所以2e. 解解 2 如图所示，不妨设点M在第一象限，则直线AM的方程 3 :() 3 AM lyxa，直线BM的方程:3() BM lyxa，联立解得 2 3 xa ya ，所以点 M的坐标为(2 , 3 )Maa，以下同解 1. 2.双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA， OC 所在的直线， 点 B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2，则a=_. 解解 不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，
3、则 双曲线如图所示. 因为OABC为正方形，2OA， 所以2 2cOB， 4 AOB. 因为直线OA是渐近线，方程为 b yx a ，所以 tan1 b AOB a . 又 222 8abc，所以2a. 3.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、 B 两点， 交 C 的准线于 D、 E 两点.已知|AB|= 4 2，|DE|=2 5，则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 解解 因为抛物线焦点到准线的距离为 p，所以只要求出 p， 因 D 在圆上，A 既在圆上，又在抛物线上，从而可以得到三个 方程，不妨设抛物线为 2 2ypx0p ，设圆的方程为 222
4、xyr，作出示意图如图所示. O C B A y x F A-1B 1 M Nx y -2-4 -32 3 4 O 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 2 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 训练篇训练篇 B 由已知可设 0,2 2 A x，, 5 2 p D ， 由于点 0,2 2 A x既在抛物线 2 2ypx上，又在圆 222 xyr上，所以 0 82px 22 0 8xr 又点, 5 2 p D 在圆 C 上，则 2 2 5 2 p r 联立解得：4p ，所以，焦点到准线的距离为4p ，故选 B 4 设椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的左、
5、右焦点分别为 12 ,F F，右顶点为A，上顶 点为B.已知 12 3 2 ABFF=. （1）求椭圆的离心率； （2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点 1 F，经过原点的 直线l与该圆相切. 求直线l的斜率. 解解（1）设椭圆的右焦点 2 F的坐标为(),0c.由 12 3 2 ABFF=，即 22 3abc+=，把 222 bac=-代入上式，平方整理得 2 2 1 2 c a =.所以，椭圆的离 心率 2 2 e=. （2）由（1）知 22 2ac=， 22 bc=，故椭圆方程为 22 22 1 2 xy cc +=. 设() 00 ,P x y.由() 1 ,0
6、Fc-，()0,Bc，则() 100 ,FPxc y=+，() 1 ,FBc c=. 由已知，有 11 0FP FB?，即() 00 0 xc cy c+=. 因0c，所以 00 0 xyc+=. 又因为点P在椭圆上，故 22 00 22 1 2 xy cc +=. 由和可得 2 00 340 xcx+=， 而点P不是椭圆的顶点， 故 0 0 x ， 所以 0 4 3 c x = -， 代入得 0 3 c y =，即点P的坐标为 4 , 33 c c骣 - 桫 . 3 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 训练篇训练篇 B 设圆的圆心为() 11 ,T x y，则
7、1 4 0 2 3 23 c xc -+ = -， 1 2 3 23 c c yc + =，进而圆的半径 ()() 22 11 5 0 3 rxycc=-+-=. 设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为ykx=. 由于l与圆相切，可得 11 2 1 kxy r k - = + ，即 2 22 335 3 1 cc k c k 骣 - - 桫 = + ， 整理得 2 810kk-+=，解得415k =?. 所以，直线l的斜率为415+或415-. 5.如图，曲线C由上半椭圆 22 1 22 :1(0,0) yx Caby ab 和部分抛物 线 2 2: 1(0)Cyxy连接而成， 12 ,C
8、 C的公共点为,A B，其 中 1 C的离心率为 3 2 . （1） 求, a b的值； （2）过点B的直线l与 12 ,C C分别交于,P Q（均异于点,A B） ， 若APAQ，求直线l的方程. 解解 （1）由图可知，抛物线过点( 1,0), (1,0)AB，所以1b. 又 222 3 , 2 c abc a ，解得 2 2,1,3abc，所以椭圆 方程为 2 2 1 4 y x. （2）设过(1,0)B的直线方程为( -1)yk x（0k ）与椭圆方程 2 2 1 4 y x联立，并 4 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 训练篇训练篇 B 整理得 2222
9、 (4)-2-40kxk xk. 设 1122 (,), (,)P xyQ xy，因为直线过(1,0)B，所以 2 1 2 -4 4 k x k ，从而 11 2 -8 (-1) 4 k yk x k ，即 2 22 -4-8k (,) 44 k P kk . 把直线l与抛物线方程 2 1yx 联立得 2 -k-10 xkx. 同理可得 2 222 1,(1)2xkyk xkk ，即 2 (1,2 )Qkkk . 因为(-1,0)A，APAQ，所以0AP AQ，即 2 2 22 -4-8 (1, ) (, 2 )0 44 kk kkk kk -，亦即 ( ,-4) (1,2)-4(2)0kkk
10、k，解得 8 3 k -，所以直线l的方程 8 (1) 3 yx -. 6.已知抛物线 1 Cyx4: 2 的焦点 F 也是椭圆 2 C)0(1: 2 2 2 2 ba b x a y 的一个焦 点， 1 C与 2 C的公共弦长为62. （1）求 2 C的方程； （2）过点 F 的直线l与 1 C相交于 A，B 两点，与 2 C相交于 C，D 两点，且AC与BD 同向. 若|BDAC ，求直线l的斜率； 设 1 C在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M，证明：直线l绕点 F 旋转时，MFD总 是钝角三角形. 解解 由 1 Cyx4: 2 知其焦点 F 的坐标为（0，1） ，因为 F 也是椭圆
11、 2 C的一个焦点，所以 1 22 ba，所以可设椭圆方程为 22 22 1. 1 yx aa 又 1 C与 2 C的公共弦长为62， 1 C与 2 C都关于 y 轴对称，所以交点横坐标为6， 代入抛物线方程得交点纵坐标为 3 2 ，代入椭圆方程 22 96 1 41aa ，解得 2 9a ，所以 2 C的方程为1 89 22 xy . （2）如图，设),( 11 yxA，),( 22 yxB，),( 33 yxC，),( 44 yxD. 5 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 训练篇训练篇 B 易知直线l的斜率存在，设为k，则l的方程为1 kxy. 由 2 1,
12、 4 , ykx xy 得044 2 kxx， 而 21, x x是这个方程的两根， 所以 4,4 2121 xxkxx. （*） 由 22 1, 1, 98 ykx yx 得 06416)89( 22 kxxk， 而 43, x x是这个方程的两根，所以 3434 22 1664 , 9898 k xxx x kk . （*） 因为AC与BD同向，且 |BDAC ，所以BDAC ， 从而 2413 xxxx，即 4321 xxxx，即 43 2 4321 2 21 4)(4)(xxxxxxxx. 将(*)(*)代入上式得 222 22 2 89 644 )89( 16 ) 1(16 kk k
13、 k ，即 22 2 2 2 169(1) 16(1), (98) k k k 所以 916)89( 22 k，解得 4 6 k，即直线l的斜率为 4 6 . 如图，因为,A F D三点共线，所以只要证明AFM是锐 角即可，即0.FM FA uuur uur 由yx4 2 得 2 x y ，所以 1 C在点 A 处的切线方程为 )( 2 1 1 1 xx x yy，即 42 2 11 xxx y. 令0y得 2 1 x x ，即)0, 2 ( 1 x M，所以) 1, 2 ( 1 x FM. 又) 1 4 ,( 2 1 1 x xFA，于是 01 4 ) 1 4 ( 2 2 1 2 1 2 1
14、 xxx FAFM， 因此AFM总是锐角，从而AFMMFD 180是钝角. 故直线l绕点 F 旋转时，MFD总是钝角三角形. 解解 2 因为, ,F B D三点共线，所以要证明MFD为钝角，只要证明MFB为钝角，即 只要证明0FM FB uuur uur . 由解 1 可知， 2 2 2 (,1) 4 x FBx uur ， 2 12 2 1 2 x x FM FBy uuur uur . 由（*）可知， FM FB uuu r uur 2 2 2+10y ，所以MFD是钝角. 6 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 训练篇训练篇 B 注注 第（2）题的关键在于平
15、方后再配方，以利用韦达定理；则在于证明AFM是 锐角，而不要直接求D的坐标，再求FD uuu r .这些都体现了转化的思想. 7.设 A，B 为曲线 C：y= 2 4 x 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4. （1）求直线 AB 的斜率； （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求 直线AB的方程. 解答解答 （1）设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 22 21 2121 2121 44 1 4 AB xx yyxx k xxxx . （2）设 2 0 0 (,) 4 x M x ，则C在M处的切线斜率为 0 0 2 x x x ky 切 ，
16、 所以 0 1 2 x ，即 0 2x ，所以(2,1)M. 又AMBM， 所以 22 12 12 1212 11 11 44 2222 AMBM xx yy kk xxxx 121212 2224 1 1616 xxx xxx ， 即 1 212 2200 x xxx， 又设直线AB的方程为yxm，代入 2 4xy，得 2 440 xxm，则 12 4xx， 12 4x xm ，所以48 200m ，即7m. 故直线AB的方程为70 xy. 8.如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 2 ， 且右焦点F到左准线l的距离为
17、3. (1)求椭圆的标准方程； (2)过F的直线与椭圆交于BA,两点，线段AB的垂 直平分线分别交直线l和AB于点CP,，若ABPC2， 求直线AB的方程. 7 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 训练篇训练篇 B 解解 (1)由题意，得 2 2 a c 且3 2 c a c，解得2a，1c，则1b，所以椭圆 的标准方程为1 2 2 2 y x . (2)当xAB 轴时，2AB，又3CP，不合题意. 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为) 1( xky， ),( 11 yxA，),( 22 yxB，将AB的方程代入椭圆方程，得 22 (1 2)kx 2 4k
18、x 2 2(1)0k， 则 2 22 2, 1 21 )1 (22 k kk x ，C的坐标, 21 2 ( 2 2 k k ) 21 2 k k ，且 22 1212 ()()ABxxyy 2 2 21 )1 (22 k k . 若0k，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意. 若0k，故直线PC的方程为) 21 2 ( 1 21 2 2 2 k k x kk k y ，点P的坐标为 ) )21 ( 25 , 2( 2 2 kk k ，从而PC )21 ( 1) 13(2 2 22 kk kk . 因为ABPC2，所以 )21 ( 1) 13(2 2 22 kk kk 2 2 21 )1 (24 k k ，解得1k. 此时直线AB方程为1 xy或1yx .
