1、 1 四川省资阳市 2017 届高三数学上学期期末考试试卷 理（含解析） 第 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由题意得， ，则 ，故选 B. 2.为虚数单位，已知复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题意得，设 ，则 ， ，故选 C. 3. 下面的茎叶图表示连续多天同一路口同一时段通过车辆的数目，则这些车辆数的中位数和众数分别是（ ） A. 230.5， 220
2、B. 231.5， 232 C. 231， 231 D. 232， 231 【答案】 C 【解析】由题意得， 连续多天同一路口同一时段通过车辆的数目分别为，中位数为 ，众数为 ,故选C. 4. 在 的展开式中，各二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ ） A. 135 B. 105 C. 30 D. 15 【答案】 A 【解析】由二项 式系数的性质，得 ，则 的展开式为，则 ，展开式中常数项为 135,故选 A. 2 5. 已知向量 满足 ，向量 与 的夹角为 60 ，则 （ ） A. B. 19 C. D. 7 【答案】 C 【解析】由题意得， ，则选 C. 6. 已知 ，则 的值为
3、（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】 A 【解析】由题意得， ，则，故选 A. 7. 四个数 的大小顺序是 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析 】由题意得， ，故选 D. 8. 一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由题意得，几何体为一个三棱柱，底面为腰为 的等腰直角三角形，高为 ，得3 到的最大球为等腰直角三角形的内切球，其半径为 ，最接近 ，故选 A. 9. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出 的值为（ ） A. 15
4、B. 3 C. -3 D. -15 【答案】 C 【解析】由题意得， 当 时，跳出循环，则 ，故选 C. 10. 在 中， ，若 ，则向量 在 上的投影是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由正弦定理得， ,由余弦定理得，4 ,则 ，故选 B. 11. 已知双曲线 的右顶点为 ，抛物线 的焦点为若在 的渐近线上存在点 ，使得 ，则 的离心率的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由题意得 ， ，设 ，由 ，得,因为在 的渐近线上存在点 ，则 ， 即 ，又因为 为双曲线，则，故选 B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应
5、用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将 系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解， ，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键 . 12. 设集合 ，那么集合 中满足条件“ ” 的元素个数为（ ） A. 60 B. 65 C. 80 D. 81 【答案】 D 【解析】由题意可得， 成立，需要分五种情况讨论： 当 时，只有一种情况，即 ； 当 时，即 ，有 种； 当 时，即 ，有种； 当 时，即 ，有种 5 当 时，即 ，有种， 综合以上五种情况，则总共为： 种，故选
6、 D. 【点睛】本题主要考查了创新型问题，往往涉及方程，不等式，函数等，对涉及的不同内容，先要弄清题意，看是先分类还是先步，再处理每一类或每一步，本题抓住 只能取相应的几个整数值的特点进行分类，对于涉及多个变量的排列，组合问 题，要注意分类列举方法的运用，且要注意变量取值的检验，切勿漏掉特殊情况 . 第 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题 :本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 13. 已知实数 满足 ，则的最大值是 _ 【答案】 【解析】由约束条件可作如图所示的可行域，两直线的交点 ,则当过原点的直线过点时，斜率 最大，即的最大值为 . 14. 将函数
7、 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩为原来的 ，纵坐标不变，便得到函数 的图象，则 解析式为 _ 【答案】 【解析】由题意得，当 函数 的图象向左平移 个单位，则 ，将所得图象上各点的横坐标缩为原来的 ，纵坐标不变，则 ，即答案为. 6 15. 若直线 （ 都是正实数）与圆 相交于 两点，当 （是坐标原点）的面积最大时， 的最大值为 _ 【答案】 2 【解析】根据题意画出图形，如图所示： 由 的面积为 可得， 为直角三角形， ,则点 到直线 的距离为，即 ，那么只有当且仅当 时， 取最大值. 16. 已知函数 ，若函数 在 处的切线与函数 的图象恰好只有 3 个公共点，则 的
8、取值 范围是 _ 【答案】 【解析】由题意得，当 时，直线的方程为： ，其与 时的图象只有一个交点，当 时， ，则将直线的方程 代入到 中，得 ，由得， ，当 时， ，在定义域内，此时在 时，直线与 有两个交点，综合有三个交点；当 时， ，不在定义域内，此时在时，直线与 有一个交点，综合只有两个交点；结合上述两种情况， 与 的图象的公共点个数为 2 或 3. 7 【点睛】本题主要考查直线与分段函数的零点个数问题，分类讨论思想的应用，属于难题，本题考查学生将交点个数转化成方程解的个数问题，当 时， 将直线直线代入到中，得到一元二次方程，利用求根公式将根表示出来，再由范围对根满足题意的个数进行讨论
9、即可求解 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 （ 1）求数列 的公比 的值； （ 2）记 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求数列 的前 9项和 【答案】 （ 1） 或 2； (2) . 【解析】试题分析： （ 1）由题意得，设等比数列 的通项公式，利用条件 即可求解；（ 2）由（ 1）可得到数列 的通项公式，再由 ,求出数列 的通项公式，裂项即可求解 . 试题解析： （ 1）由 是等比数列，则 ， 由题知公比 （否则与 矛盾）， 则 ， 所以 ，则 ， 所以 或 ， 解得 或 2； （ 2）由题 取值为 2， 则 ， 所以数列 是
10、一个公差为 1 的等差数列， 由 得 ， 解之得 ，即 ， 所以数列 的前 9 项和， 8 18. 观察研究某种植物的生长速度与温度的关系，经过统计，得到生长速度（单位：毫米 /月）与月平均气温的对比表如下： 温度 -5 0 6 8 12 15 20 生长速度 2 4 5 6 7 8 10 （ 1）求生长速度 关于温度的线性回归方程；（斜率 和截距均保留为三位有效数字）； （ 2）利用（ 1）中的线性回归方程，分析气温从 至 时生长速度的变化情况，如果某月的平均气温是 时，预测这月大约能生长多少 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 【答案】 （ 1） ;(2) 【解析】试题分
11、析：（ 1）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数 的公式中，求得结果，再把样本中心点代入公式，求出 的值，即可得到线性回归方程；（ 2）根据 (1)所求的线性回归方程，把 代入线性回归方程，即可求出 预测这月大约能生长多少 . 试题解 析： （ 1）由题可知 ， ， ， 则 ， ， 于是生长速度 关于温度的线性回归方程为： ； （ 2）利用（ 1）的线性回归方程可以发现，气温从月平均气温从 至 时该植物生长速度逐渐增加，如果某月的平均气温是 时，预测这月大约能生长 9 19. 如图，矩形 和等边三角形 中， ，平面 平面 （ 1）在 上找一点 ，使 ，并说明理由；
12、（ 2）在（ 1）的条件下，求平面 与平面 所成锐二面角余弦值 【答案】 （ 1）证明过程见解析；（ 2）平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . 【解析】试题分析： (1) 分别取 的中点 ， 利用三角形的中位线的性质，即可证明 面 ，进而得到 ；（ 2）建立空间直角坐标系，利用平面 与平面法向量成的角去求解 . 试题解析： （ 1） 为线段 的中点，理由如下： 分别取 的中点 ，连接 ， 在等边三角形 中， ，又 为矩形 的中位线， ，而 ， 所以 面 ，所以 ； 于是 ， 设面 的法向量 ，所以 ，得 ， 则面 的一个法向量 ，又 是线段 的中点， 则 的坐标为 ，于是 ，且 ， 又设面 的法向量 ， 由 ，得 ，取 ，则 ， 平面 的一个法向量 ， 所以 ， 10 平面 与平面 所成锐 二面角的余弦值为 20. 已知椭圆 的左焦点 的离心率为 是 和 的等比中项 （ 1）求曲线 的方程； （ 2）倾斜角为 的直线过原点 且与 交于 两点，倾斜角为 的直线过 且与 交于 两点，若 ，求 的值 【答案】 （ 1） ;(2) . . 试题解析： （ 1）由题可知，椭圆中 ，解得 ，所以椭圆的方程是； （ 2）设倾斜角为 的直线为 ，倾斜角为 的直线 ， 当 时，由 ，知 ，则 ， 于是 ，此时 ； （ 2）当 时，由 ，知 ，且这两条直线的斜率互为相反 数，
