1、 “皖南八校”2021 届高三摸底联考 数学（理科） 考生注意： 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑；第卷请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的 答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：必修全册+选修 2-1，2-2. 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求的
2、. 1.已知全集UR，集合 2 1Ax x，0Bx x，则 U C AB （ ） A.1,1 B.0,1 C.1,0 D.1,0 2.已知命题:pmR， 2 3log x f xmx是增函数，则p为（ ） A.mR ， 2 3log x f xmx是减函数 B.mR ， 2 3log x f xmx是增函数 C.mR ， 2 3log x f xmx不是增函数 D.mR ， 2 3log x f xmx不是增函数 3.已知双曲线 22 22 10,0 yx ab ab 的两条渐近线互相垂直， 且焦距为2 6， 则抛物线 2 2ybx的准线 方程为（ ） A.3x B. 3 2 x C.3y D
3、. 3 2 y 4.已知向量2,2a ，1,bx，若 /2aab，则b （ ） A.10 B.2 C.10 D.2 5.将函数 2sin 2 3 f xx 的图象向左平移 1 4 个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A. 2sin 2 12 g xx B. 2sin 2 6 g xx C. 7 2sin 2 12 g xx D. 2 2sin 2 3 g xx 6.我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题（意为） ： “有一个人要走 378 里路，第一天健步行走， 从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.”那么，此人第 3 天和第 4 天共 走路程是（ ） A.
4、72 里 B.60 里 C.48 里 D.36 里 7.执行右边的程序框图，为使输出的 b 的值为 16，则循环体的判断框内处应开始填的整数为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 8.函数2 sin2 x yx的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9.若正实数 x，y 满足260 xyxy，则2xy的最小值为（ ） A. 451 B. 451 C.12 D.4 10.某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体中直线AB（点 B 为俯视图中矩形的中心） 与平面ACD所 成角的余弦值为（ ） A. 4 5 B. 3 5 C. 3 10 D. 3 10 10 11. 已 知 函 数 f xx
5、R满 足 2fxfx， 若 函 数 1x y x 与 yf x图 象 的 交 点 为 112220202020 ,x yx yxy，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ） A.1010 B.-2020 C.2020 D.4040 12.若曲线 2 1 x e f x ax 在点 1,1f处的切线过点1,0，则函数 f x的单调递减区间为（ ） A.,0 B.0, C. , 11,0 D., 1 ，1,0 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知复数 z 满足： 2 7 142izi，则z _. 14.已知点 M 的坐标, x y
6、满足不等式组 240 20 30 xy xy y ，N 为直线22yx 上任一点，则MN的最小 值是_. 15.已知等差数列 n a的公差 d 不为 0、等比数列 n b的公比 151 , 22 q ，若 1 ad， 2 1 bd， 222 123 123 aaa bbb 是正整数，则实数q _. 16.已知偶函数 f x满足 20f xf x，且当0,1x时， x f xx e，若在区间1,3内，函 数 21g xf xkxk有且仅有 3 个零点，则实数 k 的取值范围是_. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分 1
7、0 分） 在三角形ABC中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且sincsinsinsinaACaCbB. （1）求角 B 的大小； （2）若3b ，求三角形ABC面积的最大值. 18.（本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a的公差为0d d ，等差数列 n b的公差为2d，设 n A， n B分别是数列 n a， n b的 前 n 项和，且 1 3b ， 2 3A ， 53 AB. （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）设 1 1 nn nn cb aa ，数列 n c的前 n 项和为 n S，证明： 2 1 n Sn. 19.（本小题满分 12 分） 如图，在
8、三棱柱 111 ABCABC中， 1 ABC是边长为 2 的等边三角形，平面 1 ABC 平面 11 AACC，四边 形 11 AACC为菱形， 11 60AAC， 1 AC与 1 AC相交于点 D. （1）求证： 1 BDCC. （2）求平面 1 ABC与平面 111 ABC所成锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分 12 分） 某工厂生产了一批零件， 从中随机抽取 100个作为样本， 测出它们的长度 （单位： 厘米） ， 按数据分成10,15， 15,20，20,25，25,30，30,355 组，得到如图所示的频率分布直方图.以这 100 个零件的长度在 各组的频率代替整批零件长度在该组
9、的概率. （1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替） ； （2）若用分层抽样的方式从第 1 组和第 5 组中抽取 5 个零件，再从这 5 个零件中随机抽取 2 个，求抽取的 零件中恰有 1 个是第 1 组的概率. 21.（本小题满分 12 分） 已知点 00 ,P xf x是曲线 2 1 1ln 2 f xxaxax上任意一点，aR. （1）若在曲线 yf x上点 P 处的切线的斜率恒大于 2 0 33 31 aa a x ，求实数 a 的取值范围. （2）点 11 ,A x g x、 22 ,B x g x是曲线 2 1 2 g xxf x上不同的
10、两点，设直线AB的斜率为 k. 若1a，求证： 12 2k xx. 22.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左焦点 F 在直线33 20 xy上，且22ab. （1）求椭圆的方程； （2）直线l与椭圆交于 A、C 两点，线段AC的中点为 M，射线MO与椭圆交于点 P，点 O 为PAC的 重心，探求PAC面积 S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求 S 的取值范围. “皖南八校”2021 届高三摸底联考数学（理科） 参考答案、解析及评分细则 1.D 由题意得， 11Ax xx 或，11 U C Axx ，1,0 U C AB . 2.D 3.B
11、由题意 2 22 1 2 6 3 22 ab ，3b . 4.D 因为向量2,2a ，1,bx，所以24,22abx， 因为 /2aab，所以 422 22 x ， 所以1x ，所以2b . 5.B 函数的周期为，将函数 f x的图象向左平移 1 4 个周期即 4 个单位，所得图象对应的函数为 2sin 2 6 g xx . 6.A 记每天走的路程里数为 n a，可知 n a是公比 1 2 q 的等比数列， 由 6 378S ，得 1 6 6 1 1 2 378 1 1 2 a S ，解得 1 192a 23 34 11 192192482472 22 aa . 所以此人第 3 天和第 4 天
12、共走了 72 里. 7.B 当2a时， 进入循环，2b，3a ， 当3a 时，再次进入循环， 2 24b ，4a， 当4a时， 再次进入循环， 4 216b ，5a，所以当5a时应跳出循环，故判断条件应是4a. 8.D 令 2 sin2 x f xx， 因为xR， 2sin22 sin2 xx fxxxf x ，所以 2 sin2 x f xx为奇函数，排除选 项 A，B； 因为, 2 x 时， 0f x ，所以排除选项 C，选 D. 9.D 因为260 xyxy， 所以62xyxy， 因为 x， y 为正实数， 所以 2 11 2 2 222 xy xyxy ， 当且仅当2xy时等号成立，所
13、以 2 1 2 62 22 xy xy ，解得24xy. 10.D 该几何体为一个底面为正方形的四棱锥， 挖去一个半圆锥， 作CD的中点 E， 易知EAB为直线AB 与平面ACD所成的角.又2 2AE ，1BE ，5AB ，所以 85 13 10 cos 102 2 25 EAB . 11.C 函数 f xxR满足 2fxf x，即为 2f xfx可得 f x的图像关于点0,1 对称.函数 1x y x ，即 1 1y x 的图象关于点0,1对称， 即若点 11 ,x y为交点，则点 11 ,2xy也为交点；同理若点 22 ,x y为交点，则点 22 ,2xy也为交 点； 则交点的所有横坐标和
14、纵坐标之和为 112220202020111 1 2 2 xyxyxyxyx 1222220202020200020000 222020yxyxyxyxy . 12.D 由题意 2 2 1 1 x axa e fx ax ， 1 2 1 1 e kf a ， 又 1 1 1 e f a ， 故曲线在点 1,1f处 的切线方程为 2 11 1 1 1 yx e a e a ，将点1,0代入可得1a ，则 2 2 1 x xe fx x ，故函数 在, 1 ，1,0上单调递减. 13.5 42 1 2 2 i zi i ，故125zi 14. 2 5 5 不等式组 240 20 30 xy xy
15、y ， 代表区域为三角形， 由图可知直线22yx 与直线240 xy 平 行 ， min MN即 为 直 线22yx 与 直 线240 xy之 间 的 距 离 ， 所 以 min 22 |42|22 5 55 21 MN . 15. 1 2 因为 22 3 222 111 123 22 123111 214 1 aadadaaa bbbbbqbqqq ，故由已知条件可知 2 14 1qq m ， 其中 m 为正整数.令 2 14 1qq m ， 114315631 24242 m q mm ，解得8m， 由于公比 151 , 22 q ，所以 2 7 1,2 4 qq ， 714 2 4m ，
16、解得78m，故8m， 所以 2 147 1 84 qq，解得 1 2 q 或 3 2 q （舍去）. 16. 111 , 532 ee 由题意，函数满足 20f xf x，即 2f xf x，即函数 f x的 周期为 2， 当0,1x时， x f xx e，可得函数为单调递增函数，且 00f， 1fe， 当1,0 x 时， x f xfxx e ， 由图象可知当1x 时， 1fe，当3x 时， 31ffe，即1,Be，3,Ce， 当直线21yk x经过点1,Be时，此时在区间1,3内两个函数有 2 个交点，此时31ek，解 得 1 3 e k .直线21yk x经过点3,Ce时，此时在区间1,
17、3内两个函数有 4 个交点，此时 51ek，解得 1 5 e k .直线21yk x经过点0,0O时，此时在区间1,3内两个函数有 3 个 交点，此时 1 2 k . 所以要使得函数 2g xf xkxk有且仅有 3 个零点，则直线的斜率满足 11 53 ee k 或 1 2 k ， 即实数 k 的取值范围是 111 , 532 ee . 17.解： （1）设三角形ABC的外接圆的直径长为2R 由已知sinsinsinsinaA cCaCbB及正弦定理 所以 222 2222 acacb RRRR ， 所以 222 acacb， 即 222 acbac.3 分 由余弦定理得 222 1 cos
18、 22 acb B ac ，.4 分 因为0B，所以 3 B .5 分 （2）因为 3 B ，所以 3 2 sinsinsin3 2 acb ACB ， 三角形ABC面积 11323 sin4sinsin3sinsin3sincos 22232 SacBACAAAA 133333 sinsin2cos2sin 2 2444264 AAAA ，.6 分 2 0, 3 A ， 7 2, 666 A ，.8 分 当且仅当 3 A 时，2 62 A ，此时ABC面积取得最大值 3 3 4 .10 分 18.解： （1）因为数列 n a， n b是等差数列，且 2 3A ， 53 AB，所以 1 1 2
19、3 51096 ad add .2 分 整理得 1 1 23 549 ad ad ，解得 1 1 1 a d ，.4 分 所以 1 1 n aandn，即 n an，.5 分 1 1 221 n bbndn，即21 n bn. 综上， n an，21 n bn.6 分 （2）由（1）得 111 2121 11 n cnn nnnn .9 分 所以 11111 35211 2231 n Sn nn ， 即 22 2 11 2111 11 n Snnnn nn .12 分 19.解： （1）侧面 11 AACC是菱形，D 是 1 AC的中点， 1 BABC， 1 BDAC. 平面 1 ABC 平面
20、 11 AACC，且BD 平面 1 ABC， 平面 1 ABC平面 111 AACCAC， BD 平面 11 AACC， 1 CC 平面 11 AACC， 1 BDCC.4 分 （2）由棱柱的定义知：在三棱柱 111 ABCABC中，平面/ABC平面 111 ABC， 平面 1 ABC与平面 111 ABC所成的锐二面角与二面角 1 CABC相等. BD 平面 11 AACC， 1 BDAC. 如图，以 D 为原点，以DA，DC，DB所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 由已知可得 1 2AC ，1AD ， 1 3BDADDC，6BC ， 0,0,0D，1,0,0A， 0
21、,0, 3B， 1 1,0,0C ， 0, 3,0C. 设平面ABC的一个法向量, ,mx y z， 1,0, 3AB ， 0, 3,3BC ， 由0AB m，0BC m，得 30 330 xz yz ，可得 3,1,1m . 平面 1 ABC 平面 11 AACC， 11 ACAC，CD平面 1 ABC， 平面 1 ABC的一个法向量是 0, 3,0DC ， 5 cos 5 m DC m DC DmC 即平面 1 ABC与平面 111 ABC所成锐二面角的余弦值是 5 5 .12 分 20.解： （1）由频率分布直方图可得 1 0.0160.0360.0800.044 5 a，解得0.024
22、a，.3 分 各组频率依次为 0.08，0.18，0.4，0.22，0.12， 则这批零件长度的平均值为 12.5 0.08 17.5 0.18 22.5 0.4 27.5 0.22 32.5 0.1223.1x .6 分 （2）由题意可知第 1 组和第 5 组的零件数分别是 8 和 12， 则应从第 1 组中抽取 2 个零件，记为 A，B； 应从第 5 组中抽取 3 个零件，记为 c，d，e. 这 5 个零件中随机抽取 2 个的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de，共 10 种，.9 分 其中符合条件的情况有Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，共 6 种.11 分
23、 所求概率 63 105 P .12 分 21.解： （1） 2 11xaxaxxa fx xx 由题意得，当 0 0 x 时， 2 2 00 00 133 31 xaxaaa a xx 恒成立， 即当 0 0 x 时， 22 00 2230 xaxaa恒成立， 设函数 22 2230F xxaxaax，则其对称轴方程为xa， 0F x 在0,上恒成立. 若0a ，即0a，则 F x在0,上单调递增， 0F x 在0,上恒成立， 2 230aa，解得3a； 若0a，则0Fa，即230a ，解得 3 2 a . 综上可得 3 2 a 或3a.6 分 （2）若1a，则 2 1 ln 2 g xxf
24、 xx，由于 12 xx，不妨先设 12 0 xx， 令 1 2 x t x ， 2ln 1 12 t f tt t ， 22 222 41121 0 2 12121 ttt ft t tt tt t ，故 2ln 12 t f t t 在1,上单调递增， 所以 11f tf，即 1 2 1 2 ln 2 1 2 1 x x x x ， 1212 12 lnln 2 xxxx xx ， 1212 12 2 g xg xxx xx ， 12 2k xx得证. 综上可知，原命题得证.12 分 22.解析： （1）直线33 20 xy与 x 轴的交点为 2,0，2c ， 22 2 22 ab ab
25、， 解得2a，2b，椭圆的方程为 22 1 42 xy .4 分 （2）若直线l的斜率不存在，则 13 6 6 3 22 S . 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm，代入椭圆方程可得 222 124240kxkmxm 设 11 ,A x y， 22 ,C x y， 则 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 22 1 2 m xx k ， 1212 2 2 2 12 m yyk xxm k . 由题意点 O 为PAC的重心，设 00 ,P x y，则 120 0 3 xxx ， 120 0 3 yyy ， 所以 012 2 4 12 km xxx k ， 012 2 2 12 m yyy k ， 代入椭圆 22 1 42 xy ，得 2222 2 22 22 421 2 1 2 1 21 2 k mmk m kk ， 设坐标原点 O 到直线l的距离为 d， 则PAC的面积 1 3 2 SACd 2 12 2 1 13 2 1 m kxx k 12 3 2 xxm 2 2 22 22 34 4 21 21 2 m km m kk 22 2 2 2 2 12 3 212 km m k 2 2 2 2 12 2 12 123 6 2 3 2 1222 k k k k . 综上可得，PAC面积 S 为定值 3 6 2 .12 分
