1、 1 北京市朝阳区 2016-2017学年度第一学期统一考试 高三年级数学试卷（理工类） （考试时间 120分钟 满分 150分） 本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分 第一部分（选择题 共 40分） 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 已知全集 U?R ，集合 ? ?12 ? xxA ， ? ?20B x x? ? ?，则 ()U AB? A | 2xx? B ? ?02xx? C | 0 2xx? D | 2xx? 2在复平面内，复数 21i? 对应的点 位于 A第一象限 B 第二象限 C
2、第三象限 D 第四象限 3下列函数中，既是偶函数，又在区间 0,1上单调递增的是 A cosyx? B 2yx? C 1()2 xy? D |sin |yx? 4 若 0a? ，且 1a? ，则 “ 函数 xya? 在 R 上是减函数 ” 是 “ 函数 3(2 )y a x? 在 R 上是增函数 ” 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5从 0,1,2,3,4 中任选两个不同 的数字组成一个两位数，其中偶数 的个数是 A 6 B 8 C 10 D 12 6某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角 三角形，则该四棱锥的体积为 A 223
3、B 43 C 2 D 4 1 2 俯视图 正视图 侧视图 1 2 7 在 RtABC? 中， 90A? ? ? ，点 D 是边 BC 上 的 动 点 ， 且 3AB? ，4AC? , AD AB AC?( 0, 0?)，则当 ? 取得最大值时 ,AD 的值为 A 72 B 3 C 52 D 125 8某校高三（ 1）班 32名学生 全 部 参加跳远和掷实心球两项 体育 测试跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为 26人和 23人， 这两项 成绩 都 不合格的有 3人，则 这两项 成绩 都 合格的人数是 A23 B 20 C 21 D 19 第 二部分 （非选择题 共 110分） 二、 填空
4、题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分把答案填在答题卡上 9已知双曲线 222 1( 0)4xy bb? ? ?的一条渐近线方程为 3 2 0xy?，则 b 等于 10 已知等差数列 na 的 前 n项和 为 nS 若 1 2a? ， 32 aS? ， 则 2a = ， 10S? 11执行 如图所示的程序框图，则输出 S 的结果为 12 在 ABC 中，已知 4 5 , 2B A C B C? ? ? ?，则 C? 13设 D 为不等式组 0,0,+3 3xyxyxy?表示的平面区域 ，对于区域 D内 除原点外 的任一点 (, )Axy ，则 2xy?的最大值是 _；22xyxy? 的
5、取值范围是 14 若集合 M 满足： ,x y M?，都有 ,x y M xy M? ? ?，则称集合 M 是封闭的显然， 整数集Z ， 有理数集 Q 都是封闭的 对于封闭的集合 M （ M?R ） ， f ： MM? 是从 集合 M 到 集合M 的一个 函数， 如果 ,x y M?都有 ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ?，就称 f 是 保加法的； 如果 ,x y M?都有 ( ) ( ) ( )f xy f x f y?，就称 f 是 保乘法的 ； 开始 0, 1Si? 是 否 6?i? 输出 S 结束 2ii? 2S S i? 3 如果 f 既是保加法的，又是保乘法
6、的，就称 f 在 M 上是保运算的 在上述定义下，集合 ? ?3,m n m n?Q 封闭的（填“是”或“否”） ； 若函数 ()fx 在Q 上保运算，并且 是 不恒为零的函数， 请写出满足条件的一个 函数 ( )=fx 三、解答题：本大题共 6小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题满分 13 分） 已知函数 2( ) 2 3 s i n c o s 2 c o s 1f x x x x? ? ? （ ）求 ()fx的最小正周期 ； （ ）求 ()fx在区间 , 64? 上的最大值和最小值 16 （本小题满分 13分） 甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训现
7、分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取 8次，记录如下： 甲： 82 81 79 78 95 88 93 84 乙： 92 95 80 75 83 80 90 85 （）用茎叶图表示这两组数据； （）现要从中选派一人参 加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同 学参加较为合适？并说明理由； （）若对甲同学在今后的 3次测试成绩进行预测，记这 3次成绩中高于 80分的次数 为 ? （将甲 8次成绩中高于 80分的频率视为概率），求 ? 的分布列及数学期望 E? 17 （本小题满分 14分） 在如图所示的几何体中， 四边形ABCD为 正方形， 四边形 ABEF为直角梯形，且
8、/ , ,A F B E A B B E?平面ABCD平面,ABEF AB?22A B B E A F? ? ?. （）求证：/AC平面 DEF ； （）若二面角 D AB E?为直二面角， （ i）求直线 AC 与平面 CDE 所成角的大小； （ ii）棱 DE 上是否存在点 P ， 使得 BP? 平面 DEF ? 若存在，求出 DPDE 的值；若不存在，请说明理由 F A D C B E 4 18 （本小题满分 13分） 已知椭圆 22:132xyC ?上的动点 P 与其顶点 ( 3,0)A? , ( 3,0)B 不重合 （） 求证：直线 PA 与 PB 的斜率乘积为定值； （）设点 M
9、， N 在椭圆 C 上， O 为坐标原点，当 /OM PA , /ON PB 时，求 OMN? 的面 积 19 （本小题满分 14 分） 设函数 2( ) ln ( 1 ) 1f x x a x x? ? ? ? ?， 2( ) ( 1)e xg x x a x? ? ?， Ra? （）当 1a? 时，求函数 ()fx在点 (2, (2)f 处的切线方程； （） 若函数 ()gx有两个零点，试求 a 的取值范围； （）证明 ( ) ( )f x g x? 20（本小题满分 13分） 设 (3 )m,n m n?是正整数，数列 :mA 12 ma ,a , ,aL ，其中 (1 )ia i m?
10、 是集合 12 3 , , , ,nL 中互不相同的元素若数列 mA 满足：只要存在 1i, j i j m? ? ?（ ）使 ija a n?，总存在 1k k m?（ ）有 i j ka a a?，则称数列 mA 是“好数列” （） 当 6 100m ,n?时， （）若数列 6 :11 78 97 90A , , x, y, ,是一个“好数列”，试写出 x,y 的值，并 判断数列：11 78 90 97, , ,x, , y是否是一个“好数列”？ （）若数列 6 :11 78A , ,a,b,c,d是“好数列”，且 a b c d? ? ? ，求 a,b,c,d 共有多少种不同的取值？ （
11、） 若数列 mA 是“好数列”，且 m 是偶数，证明： 12 12ma a a nm? ? ? ?L 5 北京市朝阳区 2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试 数学答案（理工类） 2017 1 一、选择题：（满分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D A C B C B 二、填空题： （满分 30 分） 题号 9 10 11 12 13 14 答案 3 4,110 30 105? 94 ， 2,0? 是， ( ) ,f x x x?Q （注：两空的填空，第一空 3分，第二空 2分） 三、解答题： （满分 80分） 15（本小题满分 13 分） 解：（ ）
12、因为 2( ) 2 3 s i n c o s 2 c o s 1f x x x x? ? ? xx 2cos2sin3 ? 2sin(2 )6x ? 所以 )(xf 的最小正周期为 ? ? 7分 （ ）因为 2, 2 .6 4 6 6 3xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所 以 - 当 2,6 2 6xx? ? ? ? ?即 时， )(xf 取得最大值 2 ； 当 2 , , ( )6 6 6x x f x? ? ? ? ? ? ?即 时取得最小值 1? ? 13 分 16 （本小题满分 13分） 解：（ ）作出茎叶图如下： ? 4分 （ ）派甲参赛比较合适理由如下： ? ?1x 7
13、 0 2 8 0 4 9 0 2 8 9 1 2 4 8 3 5 8 58? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?甲 ， ? ?1x 7 0 1 8 0 4 9 0 3 5 0 0 3 5 0 2 5 8 58? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?乙 ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 22 1s 7 8 8 5 7 9 8 5 8 1 8 5 8 2 8 5 8 4 8 58 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?甲甲 乙988 4 2 15350 0 3 50 2 57896 ? ? ? ? ? ?2 2 28 8 8 5 9
14、 3 8 5 9 5 8 5 3 5 . 5? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 22 1s 7 5 8 5 8 0 8 5 8 0 8 5 8 3 8 5 8 5 8 58 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?乙? ? ? ? ? ?2 2 29 0 8 5 9 2 8 5 9 5 8 5 4 1 .? ? ? ? ? ? 因为 x?甲 x乙 ， 22ss?乙甲 ， 所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适 ? 8 分 注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分如 派乙参赛比较合适理由如下： 从统计的
15、角度看，甲获得 85分以上（含 85 分）的 频 率 为1 38f?， 乙获得 85分以上（含 85分）的 频 率 为2 4182f ? 因为 21ff? ， 所以 派乙参赛比较合适 （ ）记 “ 甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80分 ” 为事件 A， ? ? 63A84P ? ? 9分 随机变量 ? 的可能取值为 0， 1， 2， 3，且 3(3, )4 B ? ? 33 31C 44kkkPk? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， k 0,1, 2,3? 所以变量 ? 的分布列为： ? 0 1 2 3 P 164 964 2764 2764 ? ? 11分 1 9 2 7 2
16、7 90 1 2 36 4 6 4 6 4 6 4 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （或 393.44nP? ? ? ? ?） ? 13分 17（本小题满分 14分） 7 证明：（）连结 BD ，设 AC BD O? ， 因为 四边形ABCD为 正方形， 所以 O 为 BD 中点 设 G 为 DE 的中点，连结 ,OGFG ， 则 /OG BE ，且 12OG BE? 由已知 /AF BE ，且 12AF BE? ， 所以 / ,AF O G O G AF? 所以 四边形AOGF为 平行四边形 所以/FG， 即/AC 因为AC?平面 DEF ，FG?平面 DEF ， 所以 AC /平面 DEF ? 5分 （）由已知， / ,AF BE AB BE?， 所以 AF AB? 因为二面角 D AB E?为直二面角， 所以 平面 ABCD? 平面 ABEF 所以 AF? 平面 ABCD ， 所以 ,A F A D A F A B? 四边形ABCD为 正方形，所以 AB AD? 所以 ,AD AB AF 两两垂直 以 A 为原点， ,AD AB AF 分别为 ,xyz 轴建立空间直 角坐标系（如图） 因为 22A B B E A F? ? ?， 所以 ( 0 0 0 ) , (
