1、 1 北京市西城区 2016 2017 学年度第一学期期末试卷 高三数学（ 文 科） 第卷 （选择题 共 40 分） 一、 选择 题 ：本大题 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 1 已知集合 | 0 2A x x? ? ?， 2 | 1 0B x x? ? ?，那么 AB? （ A） | 0 1xx? （ B） |1 2xx? （ C） | 1 0xx? ? ? （ D） | 1 2xx? ? ? 2 下列函数中 ，定义域为 R 的奇函数是 （ A） 2 1yx? （ B） tanyx? （ C） 2xy? （ D） siny x
2、x? 3 执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 （ A） 1 （ B） 0 （ C） 3? （ D） 10? 4已知双曲线 222 1 ( 0)yxbb? ? ?的一个 焦点是 (2,0) ，则其渐近线的方程为 （ A） 30xy? （ B） 30xy? （ C） 30xy? （ D） 30xy? 5实数 x ， y 满足 1 0,1 0,2 0,xxyxy? 则 4yx? 的取值范围是 （ A） ( ,4? （ B） ( ,7? （ C） 1 ,42? （ D） 1 ,72? 2 7 某 四棱锥 的 三视图如图所示， 该四棱锥的 表面积 是 （ A） 20 2 5? （ B） 14 4
3、5? （ C） 26 （ D） 12 2 5? 6 设 ,ab是非零向量，且 ?ab则“ | | | |?ab”是“ ( ) ( )? ? ?a b a b”的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分 也 不必要条件 8 8 名象棋选手进行单循环赛（ 即每两名选手比赛一场 ） 规定两人对局胜者得 2 分，平局各得 1 分，负者得 0 分， 并按总得分由高到低进行排序 比赛结束后， 8 名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等 则第二名选手的得分是 （ A） 14 （ B） 13 （ C） 12 （ D） 11 3 第卷 （非
4、选择题 共 110 分） 二、填空题 ：本大题 共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 复数 1i1i? _ 10 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 (1,1)A ， (3, 1)B ? ， 则 AOB 的面积是 _ 11 已知圆 22( 1) 4xy?与抛物线 2 2 ( 0)y px p?的准线相切，则 p? _ 12 函数 4xyx?的定义域是 _；最小值是 _ 13 在 ABC 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc 若 3c? ， 3C ? ， sin 2sinBA? ，则 a? _ 14 设函数3, 0 ,() lo g , ,x x afx x x a? ? ? 其
5、中 0a? 若 3a? ， 则 (9)ff ? _； 若 函数 ( ) 2y f x?有两个零点，则 a 的取值范围 是 _ 三、解答题 ：本大题 共 6 小题，共 80 分 解答应写出 必要的 文字说明 、证明过程或 演算步骤 4 15 （本小题满分 13 分） 在等差数列 na 中 ， 2 3a? ， 3611aa? （ ）求数列 na 的通项公式； （ ） 设 12nnnaba?，其中 *n?N ，求数列 nb 的前 n 项和 nS 16 （本小题满分 13 分） 已知函数 2( ) s i n ( 2 ) 2 c o s 16f x x x? ? ? ?( 0)? 的最小正周期为 （
6、） 求 ? 的值； （） 求 ()fx在区间 70, 12 上的最大值和最小值 17 （本小题满分 13 分） 手机完全充满电量，在 开机不使用的 状态下，电池靠自身消耗一直到出现低 电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间 为了解 A， B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中 随机 抽取 A， B 两个型号的手机各 5 台，在相同条件下进行测试 ， 统计结果如下 ： 手机编号 1 2 3 4 5 A 型 待机时间（ h） 120 125 122 124 124 B 型 待机时间（ h） 118 123 127 120 a 已知 A， B 两个型号 被测试 手机待机时间 的平
7、均值相等 （） 求 a 的值； （ ） 判断 A， B 两个型号 被测试 手机 待机时间 方差的 大小（结论不要求证明）； （ ） 从被测试的 手机中随机抽取 A， B 型号手机各 1 台， 求至少有 1 台的待机时间 超 过 122 小时的概 率 （ 注： n 个数据 12, , , nx x x 的方差 2 2 2 2121 ( ) ( ) ( ) ns x x x x x xn? ? ? ? ? ? ?， 其中 x 为 数据12, , , nx x x 的平均 数） 5 18 （本小题满分 14 分） 如图， 在 四棱锥 P ABCD- 中， /AD BC ， 90BAD ?， PA P
8、D? ， AB PA? ， 2AD? ，1AB BC? （ ） 求证： AB PD? ； （ ） 若 E 为 PD 的 中 点， 求证： /CE 平面 PAB ； （ ） 设 平面 PAB 平面 PCD PM? ， 点 M 在 平面 ABCD 上 当 PA PD? 时，求 PM 的长 19 （本小题满分 14 分） 已知椭圆 22: 1 ( 0 )xyC a bab? ? ? ?的两个焦点是 1F ， 2F ，点 ( 2,1)P 在椭圆 C 上，且12| | | | 4PF PF? （）求椭圆 C 的方程； （ ）设点 P 关于 x 轴的对称点为 Q ， M 是椭圆 C 上一点 ，直线 MP
9、和 MQ 与 x 轴分别相交于点 E ， F ， O 为原点证明： | | | |OE OF? 为定值 20 （本小题满分 13 分） 对于函数 ()fx， 若 存在 实数 0x 满足 00()f x x? ，则称 0x 为函数 ()fx的一个 不动点 已知 函数 32( ) 3f x x ax bx? ? ? ?，其中 ,ab?R （） 当 0a? 时， （） 求 ()fx的极值点； （） 若 存在 0x 既是 ()fx的极值点 ，又是 ()fx的 不动点 ，求 b 的值； （） 若 ()fx有两个相异 的极值点 1x ， 2x ，试问：是否存在 a ， b ，使得 1x ， 2x 均为 (
10、)fx的不动点？ 证明 你的结论 6 北京市西城区 2016 2017 学年度第一学期期末 高三数学 （文科） 参考答案及评分标准 2017.1 一、选择题：本大题共 8 小题 ，每小题 5 分，共 40 分 . 1 B 2 D 3 C 4 B 5 A6 C 7 A 8 C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9 i 10 2 11 2 12 (0, )? ； 4 13 3 14 2 ； 4,9) 注：第 12， 14 题第一空 2 分，第二空 3 分 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分 . 15 （本小题满
11、分 13 分） 解：（ ）设等差数列 na 的公差为 d ， 则有 113,2 7 11.adad? ?4 分 解得 1 2a? ， 1d? 6 分 所以数列 na 的通项公式为 1 ( 1) 1na a n d n? ? ? ? ? 7 分 （ ）111122nnn a nb a n ? ? ? ? ? 8 分 因为数列112n?是首项为 14 ，公比为 12 的等比数列， 9 分 所以111 ( ) ( 3 ) 4212 12nnnnS ?11 分 213 1 122nnn ? 13 分 7 16 （本小题满分 13 分） 解： （ ） 因为 2( ) s i n ( 2 ) ( 2 c
12、o s 1 )6f x x x? ? ? ? ( s i n 2 c o s c o s 2 s i n ) c o s 266x x x? ? ? ? ? 4 分 31s in 2 c o s 222xx? sin(2 )6x?， 6 分 所以 ()fx的最小正周期 2 2T ?, 解得 1? 7 分 （ ） 由 （ ） 得 ( ) sin(2 )6f x x? 因为 712x 0 ，所以 426 6 3x? 9 分 所以， 当 2 62x? ，即 6x? 时， ()fx取得最 大 值 为 1； 11 分 当 42 63x? ，即 712x? 时， ()fx取得最小值 为 32? 13 分
13、17 （本小题满分 13 分） 解：（）A 0 5 2 4 41 2 0 1 2 3 ( h )5x ? ? ? ? ? ?， 2 分 B 2 3 7 0 ( 1 2 0 )120 5 ax ? ? ? ? ? ?， 3 分 由 ABxx? ，解得 127a? 4 分 （ ）设 A， B 两个型号 被测试 手机的待机时间 的方差依次为 2As ， 2Bs ， 则 22ABss? 7 分 （ ） 设 A 型号手机为 1A ， 2A ， 3A ， 4A ， 5A ； B 型号手机为 1B ， 2B ， 3B ， 4B ， 5B ，“ 至少有 1 台的待机时间 超过 122 小时 ”为事件 C 8
14、分 从被测试的 手机中随机抽取 A， B 型号手机各 1 台，不同的抽取方法有 25 种 10 分 8 抽取的两台手机待机时间都不超过 122 小时的选法有： 11(A,B) ， 14(A,B) ， 31(A,B) ， 34(A,B) ，共 4 种 11 分 因此 4(C) 25P ? ，所以 21(C ) 1 (C ) 25PP? ? ? 所以 至少有 1 台的待机时间 超过 122 小时的概率是 2125 13 分 18 （ 本小题满分 14 分） 解：（）因为 90BAD?， 所以 AB AD? ， 1 分 又因为 AB PA? ， 2 分 所以 AB? 平面 PAD ， 3 分 所以
15、AB PD? 4 分 （ ）取 PA的中点 F ，连接 BF ， EF 5 分 因为 E 为 棱 PD 中 点，所以 /EFAD ， 12EF AD? ， 又因为 /BCAD ， 12BC AD? ， 所以 /BCEF ， BC EF? 所以四 边形 BCEG 是平行四边形， /ECBF 8 分 又 BF? 平面 PAB ， CE? 平面 PAB ， 所以 /CE 平面 PAB 9 分 （ ） 在 平面 ABCD 上，延长 AB ， CD 交于点 M 因为 M AB? ，所以 M? 平面 PAB ；又 M CD? ，所以 M? 平面 PCD ， 所以 平面 PAB 平面 PCD PM? 11
16、分 在 ADM 中，因为 /BCAD ， 12BC AD? ， 所以 22AM AB? 12分 因为 PA PD? ，所以 APD 是等腰直角三角形，所以 2PA? 13 分 由（）得 AM? 平面 PAD ，所以 AM PA? 在直角 PAM 中， 22 6P M P A A M? ? ? 14 分 9 19 （本小题满分 14 分） 解：（）由椭圆的定义，得 12| | | | 2 4PF PF a? ? ?， 2a? 2 分 将点 ( 2,1)P 的坐标代入 222 14xyb?，得22114 b?， 解得 2b? 4 分 所以，椭圆 C 的方程是 22142xy? 5 分 （ ）依题意，得 ( 2, 1)Q ? 设 ? ?00,M x y ，则有 220024xy?， 0 2x? ， 0 1y? 6 分 直线 MP 的方程为 0011 ( 2 )2yyxx ? ? ? ， 7 分 令 0y? ， 得 0002 1yxx y ? ? ， 8 分 所以 0002 1yxOE y ? ? 直线 MQ 的方程为 0011 ( 2 )2yyxx ? ? ? ， 9 分 令 0y? ， 得 0002 1yxx y ? ? ， 10 分 所以 0002 1yxOF y ? ? 所以 220 0 0 0 0 020 0 02 2 2=1 1 1y x y x y
