1、 1 福州文博中学 2016-2017学年第一学期高三年级期中考理科数学考试（题目卷） （完卷时间： 120分钟，总分： 150分） 一 . 选择题： (本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ) 1 .复数 z满足 1 (izii? 是虚数单位 ),则 |z|=( ) A. l B. 2 C.2 D.4 2 设集合 ? ? ? ? ?| s in , x R , | lgA y y x B x y x? ? ? ? ? ?，则 AB? （ ） A ? ?0,1 B ? ?1,0? C ? ?1,0? D ? ?,1? 3 已知 22 11
2、0 , 1 , 1 , 1a A a B a C a? ? ? ? ? ? ? ? ?，比较 ,ABC 的大小结果为（ ） A A B C? B B C A? C A C B? D B A C? 4 执行如图 所示的程序框图 ,若输入 n 的值为 4 ,则输出 s 的值为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 5 在等差数列 ?na 中 ， 已知 4816aa?， 则该数列前 11项和 11S? （ ) A 58 B 88 C 143 D 176 6已知角 ? 的终边经过点 ? ? ?,3 0P x x? 且 10cos 10 x? ? ，则 x 等于（ ） A -1 B 13? C -3
3、D 223? 7曲线 12xye? 在点 ? ?24,e 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A 292e B 24e C 22e D 2e 2 8 已知变量 ,xy满足条件 2 3 03 3 010xyxyy? ? ? ? ?，若目标函数 z ax y?仅在点 ? ?3,0 处取得最大值，则a 的取 值范围是（ ） A 1,2?B 1,02?C 10,2?D 1,2?9 在我 国 古代 著 名 的数 学 专著九 章 算术 里 有 段叙述：今有良马与驽 马 发长安至齐 ， 齐去长安一千一百二十 五 里 ，良马 初日行一 百 零 三里，曰 增十三里：驽马初日行九十七里 ，曰 减半里 ，
4、 良马先至齐 ， 复还迎驽马，二马相逢 ， 问：几 日 相逢？ （ ） A 12日 B 16日 C 8 日 D 9 日 10函数2() xfx xa? ?的图象可能是（ ） A（ 1）（ 3） B（ 1）（ 2）（ 4） C（ 2）（ 3）（ 4） D（ 1）（ 2）（ 3）（ 4） 11 设()fx是定义在 R上的偶函数，对任意的Rx?，都有( 2) ( 2)f x f x? ? ?，且当 2,0x?时，1( ) 12 xfx ?若在区间? ?,6?内关于 的方程( ) log ( 2) 0( 1)af x x a? ? ? ?恰有 3个不 同的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A.? ?
5、3 ,2B.? ?2,?C.? 34D.?13 12 设 奇 函 数 ?fx 在 R 上 存 在 导 数 ?fx, 且在 ? ?0,? 上 ? ? 2f x x? , 若? ? ? ? ? ? 3 31113f m f m m m? ? ? ? ?,则实数 m 的取值范围为（ ） A 11,22?B 1,2?C 1,2? ?D 11,22? ? ? ? ? ? ? ?二 .填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在答题卡相应位置 13 已知非零向量 ,ab的夹角为 60，且 1, 1a a b? ? ? ，则 2ab?_ 14 已知函数? ? ? 02 012)(2 xxx
6、xxf x ，若 1)( ?af ，则实数 a 的值是 . 15 对函数 1( ) 2 sin ( ) 1 ( )26f x x x R? ? ? ?，有下列说法： ()fx的周期为 4? ，值域为 3,1? ； ()fx的图象关于直线 23x ?对称； ()fx的图象关于点 ( ,0)3?对称； ()fx在 2( , )3?上单调递增； 将 ()fx的图象向左平移3?个单位，即得到函数 12cos 12yx?的图象 . 其中正确的是 _.（填上所有正确说法的序号） . 16 已知函数 ? ? 13ln 144f x x x x? ? ? ?， ? ? 12xg x m?， P ? ? ? ?
7、 ? ? ?1 2 1 2| , 0 , 2 , ,任 意p m x x f x g x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2| 0 , 2 , 0 , 2 , ,任 意 存 在 则Q m x x f x g x p Q? ? ? ? ? ?QP? _. 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤 17 在 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ， 已知 1cos2 3A? ， 3c? ，4 sin 6 sinAC? （ 1)求 a 的值 ； （ 2)若角 A 为锐角 ， 求 b 的值及 ABC
8、的面积 18 已知数列 ?na 的前 n 项和 nS 和通项 na 满足 1(1 )2nnSa? （ 1）求数列 ?na 的通项公式 ； （ 2）求证： 12nS?； （ 3）设函数13( ) logf x x?， 12( ) ( ) ( )nnb f a f a f a? ? ? ?， 求1 2 31 1 1 1nnT b b b b? ? ? ? ? 19 如图，公园有一块边长为 2的 等边 ABC?的边角地 ，现修成草坪，图中 DE把草坪分成 面积相 等 的两部分， D在 AB上， E在AC上 . （ 1） 设xAD?（0?x）， 求用 表示 AE的 函数关系式 ； （ 2） 设 （ ）
9、，yED?，求用x表示y的函数关系式 ； （ 3）如果 DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短， DE的位置应在哪里？如果 是参观线路，则希望它最长， 的位置又应在哪里？请说明理由 . 20 已知函数 ( ) s in ( )( 0 , 0 , | | )2f x A x A ? ? ? ? ? ? ? ?的部分图象如下图所示 . （ 1）求函数 ()fx的解析式； （ 2）当0 (0, )2x ?， 0( ) 3fx? ，若 ( ) 1 2cos2g x x? ， 求 0()gx 的值； 5 （ 3） 若 ? ? 1 2 cos 2 ,h x x a? ? ?且方程 ( ) ( ) 0f x
10、 h x?在 02?，上有解，求实数 a 的取值范围 . 21已知函数 ( ) ln ( 1) ( 1) 1f x x k x? ? ? ? ?（ kR? ） （ 1）求函数 ()fx的单调区间 ； （ 2）若 ( ) 0fx? 恒成立 ， 试确定实数 k 的取值范围 ； （ 3）证明： ln 2 ln 3 ln ( 1)3 4 1 4n n nn ? ? ? ? （ *nN? ， 且 2n? ） 22在直角坐标系 xy? 中，直线 l 的参数方程为 1 cos2 sinxtyt? ?（ t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 xy? 取相同的长度单位，且以原点 ? 为极点，以 x 轴非负半轴
11、为极轴）中，圆 C 的方程为 6sin? （ 1）求圆 C 的直角坐标方程； （ 2）若点 ? ?1,2? ，设圆 C 与直线 l 交于点 ? ， ? 求 ? 的最小值 . 6 福州文博中学 2016-2017学年第一学期 高三年级期中考数学（理）科考试（答案） 一、选择题 1 B 2 B 3 D 4 C 5 B 6 A 7 D 8 D 9 D 10 C 11 A 12 B 二、填空题 13 7 14 1? 15 16 3,2?三、解答题 17解：（ 1)在 ABC? 中 ， 因为 3c? ， sin 6 sinAC? ， 由正弦定理 sin sinacAC? ，解得 32a? （ 2)因为
12、2 1co s 2 2 co s 1 3AA? ? ? ?， 又 0 2A ? ， 所以 3cos 3A? ， 6sin 3A? 由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A? ? ? ， 得 2 2 15 0bb? ? ? 高三理科数学第3周周考试卷. d o c 解得 5b? 或 3b? （舍 ). 所以 1 5 2sin22ABCS bc A? ? 18解：（ 1）当 2n? 时 ，111(1 ) (1 )22n n na a a ? ? ? ? 11122nnaa? ?， 12 n n na a a ? ? ， 113nnaa? ?， 由1 1 11 (1 )2S a a?
13、? ?， 得1 13a?， 数列 ?na 是首项1 13a?， 公比为 13 的等比数列 ， 11 1 1( ) ( )3 3 3nnna ? ? ? （ 2）111 ( )1133 1 ( )1 2313nnnS? ? ?， 4 11 ( ) 13 n?， 7 1 1 11 ( )2 3 2n?， 即 12nS? （ 3）13( ) logf x x?， 1 1 1 2 1 1 1 23 3 3 3lo g lo g lo g lo g ( )n n nb a a a a a a? ? ? ? ? 1213 1log ( )3 n? ? ? (1 )12 2nnn ? ? ? ? ? 1 2
14、 1 12 ( )(1 ) 1nb n n n n? ? ?， 121 1 1 1 1 1 1 1 22 (1 ) ( ) ( )2 2 3 1 1nnnT b b b n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 19 解 ：（ 1 ） ABCADE S? ? 21， 即2360sin21 ? ?AEx， xAE2?（0?x）， ? 3分 （ 2）在 ADE?中，?60cos2222 ? AExAExy， 即AExAExy ? 22， 代入 得：2)2( 222 ? xxy(0?y)，2)2( 22 ? xxy(21 ?x).? 6分 （ 3）如果 DE是水管，22222)2
15、( 22 ? xx， 当且仅当22 4xx ?， 即2?x时“”成立，故2min ?y， 即BC/，且2? DEAD时， DE最短； ? 9分 如果 DE是参观线路，记22 4)( xxf ?，求导可知函数在,1上递减，在2,上递增， 故5)2()1()( ma x ? ffxf， 325ma ?y， ? 12分 即 为 AB中线或AC中线时， DE最长 . 20解：（ 1）由图知 A=2 , （解法只要合理，均可给分） T 5 2= = T = = = 24 1 2 6 4? ? ? ? ? ， ，, ? ? ? ?2 s i n 2 , 2 , 2 2 s i n 2 +66f x x f
16、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，=6? ， ? ? 2 sin 2 6f x x ? ? ?; 8 （ 2） ? ?0 0 02 s in 2 3 , ,6 1 2 4f x x x? ? ? ? ? ? 或? ?0g x = g = 1 + 2 c o s = 1 + 3 1 + 21 2 6? 或; （ 3） 2 s in 2 1 2 c o s 2 0 062x x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在 ， 上 有 解 ,y = a y = 2 s i n 2 + 1 2 c o s 26xx? ?等 价 于 函 数 和 的 图 象
17、有 交 点, y = s i n 2 + 1 2 c o s 2 = 2 s i n 2 c o s + c o s 2 s i n 1 2 c o s 26 6 6x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 = 3 s in 2 c o s 2 1 = 2 s in 2 16x x x ? ? ? ?, ? ?510 , 2 s i n ( 2 ) 1 y 2 ,12 6 6 6 6 2x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ， ，, ? ?2,1a? ? . 21解： （ I） f （ x） =ln（ x 1） k（ x 1） +1，（ x 1） f （ x） = k， 当 k0 时， f （ x） 0恒成立，故函数在（ 1， + ）为增函数， 当 k 0时，令 f （ x） =0，得 x= 当 f （ x） 0，即 1 x 时，函数为减函数， 当 f （ x） 0，即 x 时，函数为增函数， 综上所述，当 k0 时，函数 f（ x）在（ 1， + ）为增函数， 当 k 0时，函数 f（ x）在（ 1， ）为减函数，在（ ， + ）为增函数 （ ）由（ 1）知，当 k0 时， f （
