1、 1 福建省福州市马尾区 2018届高三数学上学期期中试题 理 第 I卷（选择题） 评卷人 得分 一、选择题 1 已知集合 ? ? ?0A x x x e? ? ?， ? ?y=ln(1- )B x x? ，则 AB?（ ） A. ? ?,e? B. 1,e（ ） C. 0,e D. 0,1) 2 设 复数 11zii? ，则 z? （ ） . A. 12 B. 22 C. 32 D. 2 3 下列函数既是偶函数又在区间 +?（ 0， ） 上单调递减的函数为（ ） A. 1lnyx?B. 2logyx? C. 3yx? D. 2yx? 4 “ 函数 2( ) 2 2f x x ax? ? ?在
2、区间 ( . 2? 内单调递减 ” 是 “ 2a? ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5 已知等差数列 ?na 的前项和为 nS ，若 624Sa? ， 3 3a? ，则 10a? （ ） A. 3? B. 3 C. 6? D. 6 6 已知等比数列 ?na 的前项和为 nS ，若 5 3a? ， 6328SS? ，则 3a? （ ） A. 19 B. 13 C. 3 D. 9 7 在 ABC? 中 , ,abc分别是内角 ,ABC 所对的边，若 cosc A b? ， 则 ABC? 形状为（ ） A.锐角三角形 B.等腰
3、 三角形 C.直角三角形 D.直角 三角形 或等腰 三角形 8 已知锐角满足 2sin2 6 3?，则 5cos6?的值为（ ） 2 A. 19? B. 459? C. 459 D. 19 9 已知函数 ( ) sin co sf x a x x?（为常数， xR? ）的图像关于直线 6x ? 对称，则函数( ) sin cosg x x a x?的图象（ ） A. 关于点 ( ,0)3? 对称 B. 关于点 2( ,0)3? 对称 C. 关于直线 3x ? 对称 D. 关于直线 6x ? 对称 10 已知函数 ? ? ? ? ? ?( 0 ) , , lnxf x x x x g x x e
4、 h x x x? ? ? ? ? ? ? 的零点分别为 1 2 3,x x x ,则（ ） A. 1 2 3x x x? B. 2 1 3x x x? C. 2 3 1x x x? D. 3 1 2x x x? 11 已知命题 000: , 0,xp x R e m x? ? ? ?若 p? 为 真 命题，则实数 m 的取值范围是（ ） A. ? ? ? ?,0 4,? ? ? B. ? ?0,4 C. ? ?0,e D. ? ?0,e 12 已知函数 ()y f x? 的定义域为 R，当 0x? 时， ( ) 1fx? ，且对任意的实数 ,xy R? ，等式( ) ( ) ( )f x f
5、 y f x y?成立，若数列 ?na 满足 1 1( ) ( ) 1( )1nnf a f n Na? ? ，且 1 (0)af? ，则下列结论成立的是（ ） A. 2013 2016( ) ( )f a f a? B. 2013 2016( ) ( )f a f a? C. 2013 2015( ) ( )f a f a? D. 2013 2015( ) ( )f a f a? 第 II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 3 13 若 ( , )2? ， 1tan( )47? ?，则 cos? =_. 14 已知向量 ? ?1,2a? ， ? ?,1bx?，若 ? ?a a b? ，
6、则 ab?_ 15 已知 三个 向量 ,abc共面，均为单位向量， ab?0，则 a b c? 的 最大值 为 _. 16设函数 ? ? 322 lnf x x ex m x x? ? ? ?，记 ? ? ? ?fxgx x? ，若函数 ?gx至少存在一个零点，则实数 m 的取值范围是 _ 评卷人 得分 三、解答题 17 已知等差数列 ?na 的公差为 2，且 1a ， 12aa? ， ? ?142 aa? 成等比数列 （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设数列12nna?的前 项和为 nS ，求证： 6nS? 18已知函数 ? ? 2 sin c o s3f x x x? （ 1）
7、若 0 2x ? ，求函数 ?fx的值域； （ 2）设 ABC? 的三个内角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，若 A 为锐角且 ? ? 3 , 2, 32f A b c? ? ?，求 ? ?cos AB? 的值 19.在 ABC 中，角 A,B,C的对边分别为 ,abc， 3B ? , 若 c o s c o s 2 3 sin3 sinB C Ab c C?. 4 (1) 求 ABC 面积的最大值 . (2) 若 1sin sin 2AC? ，求 ABC 的周长 . 20 设各项均为正数的数列 ?na 的前项和为 nS ， 满足 2 14 4 1nnS a n? ? ?， 且 2 5 1
8、4,a a a 构成等比数列 (1) 求 12aa， ； (2)设数列11nnaa?前项和为 nT ，求 nT ； (3)已知数列 ?nb ， 1 2 nnnbba? ?，是否存在实数 ? 使得数列 ? ?2nbn?为等比数列？ 21 已知函数 ? ? 11lnf x x ax a? ? ?， Ra? 且 0a? . （ 1）若函数 ?fx在区间 ? ?1,? 上单调递增，求实数的取值范围； （ 2）设函数 ? ? exg x x p? ? ?，若存在 ? ?0 1,ex? ，使不等式 ? ? 000e lnxg x x? 成立，求实数 p 的取值范围 . 22 在平面直角坐标系中，以坐标原点
9、为极点， X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 2sin 2 co s ( 0 )aa? ? ?，过点 ( 2, 4)P? 的直线的参数方程为222242xtyt? ? ? ? ?（ t为参数），直线与曲线 C相交于 A,B两点 . （ 1）写出曲线 C的直角坐标方程和直线的普通方程； （ 2）若 2PA PB AB?，求的值 . 1-12 DBABA BCBCC CD 13. 45? 14. 52? 15. 21? 16. 21,e e? ? ?5 17. 解析：（ 1）数列 ?na 为等差数列，所以： 2 1 1 2a a d a? ? ? ?， 4 1 136a
10、 a d a? ? ? ?， 1a ，因为 12aa? ， ? ?142 aa? 成等比数列，所以： ? ? ? ?21 2 1 1 42a a a a a? ? ?， 解得： 1 1? ， 所以： 1 2 1 2 1na n n? ? ? ? ?（ ）. （ 2）已知112122nnna n?， 0 1 11 3 2 12 2 2n nnS ? ? ? ?121 1 3 2 12 2 2 2n nnS ? ? ? ? ， - 得： 111 1 1 2 1122 2 2 2n nnnS ? ? ? ? ? ?4 2 1322nnn ? ? ? ?233 2nn?， 所以： 1236 2n nn
11、S ?， 由于 1n? ， 所以： 12302nn? ?， 1236 2n nnS ?. 18. 解析：（ 1） ? ? ? ? 2s i n 3 c o s c o s s i n c o s 3 c o sf x x x x x x x? ? ? ? 1 3 3 3s in 2 c o s 2 s in 22 2 2 3 2x x x ? ? ? ? ? ? 由 0 2x ? 得， 423 3 3x? ? ? ? ? ， 3 sin 2 123x ? ? ? ? 330 s in 2 13 2 2x ? ? ? ? ?，即函数 ?fx的值域为 30,12? （ 2）由 ? ? 33s in
12、 23 2 2f A A ? ? ? ?得 sin 2 03A ?， 又由 0 2A ? ， 423 3 3A? ? ? ? ? ， 2,33AA? ? ? 在 ABC? 中，由余弦定理 2 2 2 2 co s 7a b c b c A? ? ? ?，得 7a? ， 由正弦定理 sin sinabAB? ，得 sin 21sin 7bAB a?， ba? ， BA? ， 27cos 7B? ， ? ? 1 2 7 3 2 1 5 7c o s c o s c o s s i n s i n 2 7 2 7 1 4A B A B A B? ? ? ? ? ? ? ? 19. 6 20.（ 1）
13、 当 时 ， ， , 当 时， 是公差 的等差数列 . 构成等比数列 ， ， ， 解得 , 当 时 ， ， 是首项 ,公差 的等差数列 . 数列 的通项公式为 . （ 2） 由 （ 1） 可知 ， 21. 解析：（ 1）当 0a? 时，函数 ?fx是 ? ?0,? 上的单调递增函数，符合题意； 当 0a? 时，由 ? ?21 0axfx ax? ?，得 1x a? ， 函数 ?fx在区间 ? ?1,? 内单调递增， 7 1 1a? ，则 1a? . 综上所述，实数的取值范围是 ? ? ? ?,0 1,? ? ?. （另由 ? ?21 0axfx ax? ?对 ? ?1,x? ? 恒成立可得，当
14、 0a? 时，符合； 当 0a? 时， 10ax? ，即 1a x? ， 1a? . 综上 ? ? ? ?,0 1,a ? ? ? ? （ 2） 存在 ? ?0 1,ex ? ，使不等式 ? ? 000e lnxg x x? 成立， 存在 ? ?0 1,ex? ，使 ? ?00ln 1 e xp x x? ? ?成立 . 令 ? ? ? ?ln 1 e xh x x x? ? ?，从而 ? ? ? ? ?m in 1, ep h x x?， ? ? 1 ln 1 e 1xh x xx? ? ? ? . 由（ 1）知当 1a? 时， ? ? 1ln 1f x x x? ? ?在 ? ?,e 上递
15、增， ? ? ? ?10f x f?. 1 ln 1 0xx? ? ? 在 ? ?1,e 上恒成立 . ? ? 1 ln 1 e 1 0 1 0xh x xx? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ?ln 1 e xh x x x? ? ?在 ? ?1,e 上单调递增 . ? ? ? ?m in 1 1 eh x h? ? ?， 1ep? . 实数 p 的取值范围为 ? ?1 e,? ? . 22. 解析：（ 1）由 得： ， 曲线的直角坐 标方程为： ，由 消去得： ， 直线的普通方程为： 8 （ 2）直线的参数方程为 （为参数）， 代入 ，得到 设 对应的参数分别为 ，则 是方程的两个解， 由韦达定理得： ， 因为 ，所以 ， 解得
