1、 - 1 - 2018届高三 上学期 数学 期末模拟 试题 03 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 若集合 ? ?0,4A? ， ? ?22,Ba? ，则 “ 2a? ” 是 “ A B=4” 的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既不 充分也不必要条件 2 若 0.52a? ， log 3b ? ，2 2log sin 5c ?，则 A abc? B bac? C c a b? D b c a? 3下列说法中，正确的是 A命题“若 22ax bx? 则 ab? ”的逆命题是真命
2、题 B命题“ 2,0t R t t? ? ? ? ”的否定是 2,0t R t t? ? ? ? C命题“ p且 q”为假命题，则命题“ p”和命题“ q”均为假命题 D抛物线 24yx? 的准线方程为 1y? 4已知向量 a=(x 1， 2)， b=(y， 4)，若 a b，则向量 ,12yx?c与向量 ? ?0, 1?d 的夹角为 A 45 B 60 C 120 D 135 5 已知 ? ?35c o s , c o s ,5 1 3? ? ? ? ? ? ?、 ? 都是锐角，则 cos? = A 6365?B 3365?C 3365D 63656 一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，
3、则它的俯视图不可能为 长方形 ； 正方形 ； 圆 ； 椭圆 ，其中正确的是 A B C D 7 函数 ( ) cosf x x x? 的大致图象是 - 2 - 8 将函数 ( ) sin cosf x x x? 的图像向左平移4?个长度单位，纵坐标不变再将横坐标压缩为原来的 12，得到函数 g(x)的图像 ， 则 g(x)的一个增区间可能是 A ( ,0)? B. (0, )2?C. ( , )2?D. ( , )42?9 设 ,?是两个不同的平面， l是一条直线，以下命题正确的是 A若 ,l ? ?，则 l ? B若 / , /l ? ? ，则 l ? C若 , /l ? ? ，则 l ?
4、D若 / ,l ? ? ，则 l ? 10 已知圆 2 2 2( ) ( )x a y b r? ? ? ?的圆心为抛物线 2 4yx? 的焦点 ,且与直线 3 4 2 0xy? ? ? 相切 ,则该圆的方程为 A 2264( 1)25xy? ? ?B 2264( 1)25xy? ? ?C 22( 1) 1xy? ? ? D 22( 1) 2xy? ? ? 11偶函数 ()fx满足 ( 1) ( 1)f x f x? ? ? ， 当 ? ?0,1x? 时 , ( ) 1f x x? ，则关于 x 的方程 1( ) ( )9 xfx?在 ? ?0,3x? 上解的个数是 A 1 B 2 C 3 D
5、 4 12 已知数列 ?na 的通项公式 1()3nna ?，把数列 ?na 的各项排列成如下的三角形状， 记 ,)Amn（ 表示第 m行的第 n个数，则 (10,12)A = A931()3B921()3C941()3D1121()3第 卷（共 90分） 二、填空题（每题 4分，满分 16 分） 13 已知双曲线 221xyab?的渐近线方程为 3yx? , 则它的离心率 为 . 14曲线 2 11yx?在点 P(1， 12)处的切线与 y轴交点的纵坐标是 . 15 若实数 ,xy满足 1 0,0,0,xyxyx? ? ?，则 ? ?3log 2 1z x y? ? ?的值域是 . 16对实
6、数 a和 b，定义运算 “ ? ” ： 11a a bab b a b? ? ，设函数 2( ) ( 2) ( 1)f x x x? ? ? ?， - 3 - Rx? ，若函数 ()y f x c?的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是 _. 三、解答题（满分 74 分） 17.（本小题满分 12分） 在锐角 ABC 中，内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，已知 a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB. （ ）求角 C的值； （ ）设函数 ( ) s i n ( ) c o s ( 0 )6f x x x? ? ? ? ? ?， 且 ()
7、fx图象上相邻两最高点间的距离为 ? ，求 ()fC 的值 . 18.（本小题满分 12分） 已知各项均为正数的数列 ?na 前 n项和为 nS ，首项为 1a ，且 na 是 12 nS和的等差中项 . （ ）求数列 ?na 的通项公式； （ ）若2 1()2 nbna ?，设nnnbc a? ，求数列 ?nc 的前 n项和 nT . 19（本小题满分 12分） 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 ()Cx万元，当年产量不足 80 千件时，21( ) 103C x x x?（万元） ,当年产量不小于 80 千件时，10000( ) 5 1 1 4 5
8、 0C x x x? ? ?（万元） ,每件商品售价为 0.05万元 .通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完 ， （ ）写出年利润 L(x)（万元）关于年产量 x （千件）的函数解析式； （ ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 20 （本小题满分 12分，在答题卷上自己画图） 如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD/BC， - 4 - ADC=90， BC=12AD ， PA=PD， Q为 AD 的中点 . （ ）求证： AD平面 PBQ； （ ）已知点 M为线段 PC的中点，证明： PA/平面 BMQ. 21（本小题满分 13分） 已知 函
9、数 f (x)= 13x3+12 (a+2)x2+ax， x R,aR . （ ）若 f (0)= 2，求函数 f (x)的极值； （ ）若函数 f (x)在 (1,2)上单调递增，求 a的取值范围 . 22 （本小题满分 13分，在答题卷上自己画图） 已知椭圆 C: 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的离心率为 53，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3. () 求椭圆 C的方 程； ( )过椭圆 C 上的动点 P 引圆 2 2 2:O x y b?的两条切线 PA， PB， A， B 分别为切点，试探究椭圆 C 上是否存在点 P， 使 PA PB？ 若存在，请求出点 P 的坐标；若
10、不存在，请说明理由 . - 5 - 参考答案 一、选择： 1.A 2.A 3.B 4.D 5. C 6. B 7.B 8. D 9.C 10.C 11.D 12.A 二、填空： 13.2 14. 10 15. 0， 1 16. ? ? ? ?2,1 1,2? 三、解答题： 又因为 2sin 2 sin sinC A B? ,则由正弦定理得 :， 2 2c ab? ?4 分 所以 2 21cos442c abC ab ab?,所以3C?. ?6 分 （ ） 33( ) s i n ( ) c o s s i n c o s 3 s i n ( )6 2 2 3f x x x x x x? ? ?
11、 ? ? ? ? ? ? ? ?, 由已知 ()fx图象上 相邻两最高点间的距离为 ? 可得 2 ,2? ? ?, 则 ( ) 3 sin(2 ),3f x x ? 10 分 因为3C?, 所以 3( ) 3 sin (2 )3 3 2fc ? ? ? ?， .?12 分 18 （本小题满分 12分） 解 ： （ 1）由题意知 12 , 02n n na S a? ? ?， ?1 分 当 1n? 时，1 1 1112 22a a a? ? ? ?； 当 2n? 时，11112 , 222n n n nS a S a? ? ? ?； 两式相减得 1122n n n n na S S a a? ?
12、 ? ?，整理得：1 2nnaa? ?， ?4 分 数列 ?na 是以 12为首项， 2 为公比的等比数列 . 2111 22212 ? ? nnnn aa? 5分 （ ）由 2 2 422nb nna ? ? 得 42nbn? ，所以nnnnn nnabC 2 8162 24 2 ? ?， ? 7分 则有 nnn nnT 2 8162 8242 82028 132 ? ? 132 2 8162 824202821 ? nnn nnT 得 132 2 816)212121(8421 ? nnn nT21111(1 ) 1 6 82248 1 21 2nnn? ?- 6 - =111 1 6 8
13、 44 4 (1 )2 2 2n n nnn? ? ? ?，? 10 分 所以 82n nnT?. ? 12分 当 80?x 时， 10000( ) (0 . 0 5 1 0 0 0 ) 5 1 1 4 5 0 2 5 0L x x xx? ? ? ? ? ?= 100001200 xx?， ? 4分 所以 21 4 0 2 5 0 ( 0 8 0 ) ,3()100001 2 0 0 ( 8 0 ) .x x xLxxxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6分 （ ）当 0 80x? 时，21( ) ( 6 0 ) 9 5 0 .3L x x? ? ? ?此时，当 60x? 时，
14、()Lx 取得最大值 (60) 950L ? 万元 ；? 8分 当 80?x 时， L(x)=1200 1 0 0 0 0 1 0 0 0 01 2 0 0 2 1 2 0 0 2 0 0 1 0 0 0xxxx? ? ? ? ? ?， 此时，当 10000xx?时，即 100x? 时 L(x)取得最大值 1000万元 .? 11 分 所以当 年产量为 100千件 时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大 .? 12分 20 （本小题满分 12分） （ 1） 证明： PAD 中， PA=PD， Q为 AD中点， PQ?AD， （ 2分） 底面 ABCD中， AD/BC， BC=12AD, DQ/
15、BC,DQ=BC ， BCDQ为平行四边形，由 ?ADC=900， ?AQB=900， AD?BQ，? ? 4分 由 AD?PQ,AD?BQ,BQ PQ=Q,PQ、 BQ?面 PBQ， AD?平面 PBQ. ? 6分 （ 2） 连接 CQ,AC BQ=N,由 AQ/BC,AQ=BC, ABCQ为平行四边形， N为 AC 中点， 由 PAC中， M、 N为 PC、 AC中点， MN/PA， 由 MN?面 BMQ， PA?面 BMQ ， PA/面 BMQ . ? 12分 21 （本小题满分 13 分）解： （） f (x)=x2+(a+2)x+a, 由 f (0)= 2，得 a= 2， ?1 分
16、f(x)=13x3 2x ， f (x)=x2 2，令 f (x)=0，得 x= 2 或 x= 2，? 2分 - 7 - 当 x变化时， f (x)， f (x)变化情况若下表： 由上表得 4 2 4 2( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 )33f x f f x f? ? ? ? ? ?极 大 极 小； ? 7分 （） 若函数 ?(x)在（ 1,2）上单调递增，则 ?/(x)=x2+(a+2)x+a0 在 x?（ 1， 2）上恒成立 ， a 2 21xxx? ?,在 x?(1， 2)上恒成立 . ? 9分 令 h(x)= 2 2 , (1,2)1xxxx? ?,因为 h (x)= 222
17、2( 2 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) 1 0( 1 ) ( 1 )x x x x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ?, h(x)在 (1,2)上单调递减，所以 h(x) h(1)= 32， a 32，因此 a的取值范围为 32， +?） .? 13分 22. （本小题满分 13 分） 解 ： ( )设椭圆的焦距为 2c ,依题意2 2 2533caaa b c? ? ?解得 b=2. 所以所求椭圆方程 221.94xy? ? 5分 ( )如图 ,设 P点坐标为 ? ?00,xy .若 90APB?,则有 OA AP? ,即 22OA OP OA?, 有 220024xy? ? ? ，两边平方得 22008xy? ， 又因为 P 在椭圆上 ,所以 22004 9 36xy? ，联立 解得220036 4,55xy? ? 10 分 所以满足条件的有以下四组解 x （ ?， 2 ） 2 （ 2， 2） 2 （ 2， +?） f(x)
