1、 1 广东省汕头市 2017届高三数学上学期期末考试试题 理 一选择题 :(本大题共 12 小题,每小题 5分,共 60 分) 1已知集合 ? ?2 21 0 , 0xA x x B xx? ? ? ? ? ? ?,则 AB( ) A ? ?2,? B ? ?1,0 C ? ?2,2? D ? ?1,? 2.下列有关命题的说法中错误的是( ) A命题:“若 ()y f x? 是幂函数,则 ()y f x? 的图象不经过第四象限 ”的否命题是假命题 B设 ,ab R? ,则“ ab? ”是“ | | | |a a b b? ”的充要条件 C命题“ *, ( )n N f n N? ? ?且 ()
2、f n n? ”的否定形式是“ *00, ( )n N f n N? ? ?且 00()f n n? ” D若 pq? 为假命题,则 ,pq均为假命题 3.已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是( ) A 33? B 63? C 321? D 321? 4.张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何 .” 其意思为:有个女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十天共织布 ( ) A.30尺 B.90 尺 C.150尺 D.180尺 5.设 nm、
3、 是两条不同的直线, ?、 是两个不同的平面,有下列四个命题: 如果 ?/ , ?m ,那么 ?/m 如果 ?m , ? ,那么 ?/m 如果 nm? , ?m , ?/n 那么 ? 如果 ?/m , ?m , n? ,那么 nm/ 其中正确的命题是 ( ) 2 A. B. C. D. 6. 已知 ab? , 二次三项式 2 20ax x b? ? ? 对于一切实数 x 恒成立,又 0xR? ,使20020ax x b? ? ?成立,则 22abab? 的最小值为( ) A 1 B 2 C 2 D 22 7. 已知函数 ? ? 21xfx? ? ,定义函数 ? ? ? ? ?,0,0f x x
4、Fx f x x? ?,则 ?Fx是( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 8. 将函数 ( ) 3 sin co s22xxfx ?的图象向右平移 23? 个单位长度得到函数 ()y gx? 的图象,则函数 ()y gx? 的一个单调递减区间是( ) A ( , )42? B ( , )2? C ( , )24? D 3( ,2 )2? ? 9. 函数2() xfx xa? ?的图象可能是( ) A( 1)( 3) B( 1)( 2)( 4) C( 2)( 3)( 4) D ( 1)( 2)( 3)( 4) 10在菱形 ABCD 中, 60A? , 3AB? ,将
5、 ABD? 折起到 PBD? 的位置,若三棱锥 P BCD?的外接球的体积为 776? ,则二面角 P BD C?的正弦值为( ) A 13 B 12 C 32 D 73 11对于函数 f( x)和 g( x),设 x f( x) 0, x g( x) 0,若存在,使得 1,则称 f( x)与 g( x)互为“零点相邻函数”若函数 f( x) 1xe x 2与 g( x) 2x ax a 3互为“零点相邻函数”,则实数 a的取值范围是 ( )( 3 A 4,2 B 37,2 C 73 , 3 D Q 3,2 12 .设 22 ,a x x y y b p x y c x y? ? ? ? ?
6、?,若对任意的正实数 ,xy,都存在以 ,abc为三边长的三角形,则实数 p 的取值范围是( ) A (1,3) B ? ?1,2 C 17( , )22 D以上均不正确 二、填空题: (本大题共 4小题,每小题 5分,共 20 分) 13. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120? , 3a? , 13ab? , 则 b? 14 已知数列 ?na 满 足?121,12210,21nnnnnaaaaa 且 531?a,则 ?2016a 15.若 不等式组 205 10 080xyxyxy? ? ? ? ? ? ?所 表示的平面区域存在点 ? ?00xy, , 使 0020x ay? ? ? 成
7、立 ,则实数a 的 取值范围是 . 16. 在 ABC? 中, 角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且满足 2 32 cos sin23A A? ,sin ( ) 4 co s sinB C B C? , 则 bc? _. 三 .解答题: (本大题共 6小题 ,共 70分 ,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17.(本小题满分 12分) ABC? 中,角 A,B,C的对边分别为 ,abc,且 acCb 2cos2 ? ()求角 B的大小; ()若 BD 为 AC边上的中线, 1cos 7A? , BD= 1292 ,求 ABC的面积 18.(本 小题满 分
8、12分 ) 为 增强市民的节能环保意识, 汕头 市 面向 全市征召义务宣传志愿者,从符合条件 的 500名 志愿者中随机抽取 100名 ,其年龄 频率 分布直方图如图所示,其中年龄分组区是:? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 0 2 5 2 5 3 0 3 0 3 5 3 5 4 0 4 0 4 5, , , , , , , , , ( 1) 求图 中 x 的 值,并根据 频率 分布直方图估计这 500 名 志愿者中年龄在 ? ?35 40, 岁 的人数; ( 2) 在 抽出的 100名 志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 10名 参加 人民 广场的宣传活动,再从这 10 名 志愿者中
9、选 取 3名 担任主要负责人记 这 3 名 志愿者中 “ 年龄低于 35 岁 ” 的人数为 X ,4 求 X 的 分布列及数学期望 . 19(本小题满分 12分) 已知四棱锥 P ABCD? 中,平面 PCD? 平面 ABCD ,且 22P D P C C D B C? ? ?,23BCD ?, ABD? 是等边三角形, AC BD E? . ( 1) 证明: PC? 平面 PAD; ( 2) 求二面角 P AB C?的余弦值 . 20 (本小题满分 12分) 已知动圆过定点 R( 0, 2),且在 x轴上截得线段 MN的长为 4,直线 l: y=kx+t( t 0)交 y轴于点Q ( 1)求
10、动圆圆心的轨迹 E的方程; ( 2) 直线 l与轨迹 E交于 A, B两点,分别以 A, B为切点作轨迹 E的切线交于点 P, 若 | |?| |sin APB=| |?| |试判断实数 t所满足的条件,并说明理由 21 (本小题满分 12分) 已知函数 xaxxf ln)( ? ( a R)有两个零点 x1, x2 ( 1)求 a 的取值范围; 5 ( 2)是否存在实数 ? ,对于符合题意的任意 x1, x2,当 x0=x 1+( 1 ) x2 0时均有 f ( x) 0?若存在,求出所有 ? 的值;若不存在,请说明理由 选做题 :请考生在 22, 23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做
11、的第一题记分做答时,用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,已知圆 C的圆心坐标为 )0,2( ,半径为 2 ,以坐标原点为极点 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .,直线 l的参数 方程为 :? ? ty tx 1( t 为参数 ) (1)求圆 C和直线 l的极坐标方程 ; (2)点 P 的极坐标为 )2,1( ? ,直线 l与圆 C相交于 BA, ,求 PBPA? 的值。 23 (本小题满分 10分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 ( ) 2 3 ( )f x x x x m m R? ? ? ? ?
12、 ? ? Z-XK ( ) 当 4m? 时,求函数 ()fx的最大值; ( )若存在 0xR? ,使得0 1( ) 4fx m?,求实数 m 的取值范围 6 高三理科数学期末考试试题参考答案 一选择题 :BCBBC DACCC DA 12 . A答案 A 【解析】因 ,xy为正实数,则 ca? ,要使 ,abc为三边的三角形存在,则 a b ca c b? ?,即 c a b a c? ? ? ? 恒成立,故 2 1 2 1x y x y x y x ypy x y x y x y x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,令xyt yx?,则 2t? ,取 二、填空题: 13. 4
13、14 5415. 1a? 16. 16? 三 .解答题: 17 解 : (1) acCb 2cos2 ? , 由正弦定理,得 ACCB si n2si nco ssi n2 ? ,-2分 ? CBA? CBCBCBA s inc o sc o ss in)s in (s in ? ? 3分 7 )s inc o sc o s( s in2s inc o ss in2 CBCBCCB ? CBC sincos2sin ? 因为 ?C0 ,所以 0sin ?C ,所以 21cos ?B , 因为 ?B0 ,所以 3?B .-5分 ( 2)法一:在三角形 ABD 中,由余弦定理得 2 22129 2
14、 c o s2 2 2bbc c A? ? ? ? ? ? 所以22129 14 4 7bc bc? ? ?( 1)? ? 7分 在三角形 ABC 中,由正弦定理得 sin sincbCB? , 由已知得 43sin 7A? 所以 sin sin( )C A B?sin co s co s sinA B A B?5314? ,? 9分 所以 57cb? ?( 2)? 10 分 由( 1),( 2)解得75bc?所以 1 sin 1 0 32ABCS bc A? 12分 法二: 延长 BD 到 E ,DE BD? ,连接 AE , ABE? 中, 23BAE ?, 2 2 2 2 c o sB
15、E A B A E A B A E B A E? ? ? ? ? ? ? 因为 AE BC? , 8 22129 c a a c? ? ? ? (1)- -7分 由已知得, 43sin ,7A? 所以 53sin sin ( ) 14C A B? ? ?,? 9分 sin 5sin 8c ACBa BAC? (2)-10分 由( 1)( 2)解得 5, 8ca?, 1 s in 1 0 32ABCS c a A B C? ? ? ? ? ?-12分 ()用分层抽样的方法,从中选取 10名,则其中年龄“低于 35岁”的人有 6名,“年龄不低于35岁”的人有 4名,故 X 的可能取值为 0 1 2
16、 3, , , ? 5分 ? ? 34310 10 30CPX C? ? ?, ? ? 1264310 31 10CCPX C? ? ?, ? ? 2164310 12 2CCPX C? ? ?, ? ? 36310 13 6CPX C? ? ?9 分 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1303101216所以 1 3 1 1 90 1 2 33 0 1 0 2 6 5EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12分 19. 解: ( 1) 在 BCD? 中, 120BCD?, CD BC? ,所以 30BD C CBD? ? ? ?, 又 ABD? 是等边三角形,所以 60ADB?,所以 90A D C A D B B D C? ? ? ? ? ?,即 AD DC? , 9 又因为平面 PCD? 平面 ABCD ,平面 PCD 平面 ABCD CD? ,所以 AD? 平面 PCD ,故AD PC? . 在 PCD? 中, 22PD PC CD? , 所以 PD PC? . 又因为 AD PD D? ,所以 PC? 平面 PAD. .6分( 2)解法一: 如图,取 CD 的中点 H ,连接 PH .则在等腰 Rt PDC? 中, PH DC? .又因为平面PCD? 平面 ABCD ,平面 PCD 平面 ABCD CD? ,所以 PH? 平面 ABC