1、 - 1 - 湖南省醴陵市两校 2018届高三数学上学期期中联考试题 理 注意事项： 1考试时量： 120分钟；总分： 150分 2答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 3请将答案正确填写在答题卡上 第 卷 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 A=1， 2， 3， 4， 12,xB y y x A-= = ?，则 A B=（ ） A 1， 2 B 1， 2， 4 C 2， 4 D 2， 3， 4 2.设复数 z满 足 11zz+- =i，则 |z|=（ ） A 1 B. C D 2 3.等
2、差数列 an中， a3， a7是函数 f（ x） =x2 4x+3 的两个零点，则 an的前 9项和等于（ ） A 18 B 9 C 18 D 36 4在不等式组 10200xyxyy - + ?+ - ?所表示的平面区域内随机地取一点 M，则点 M恰好落在第二象限的概率为（ ） A B C. D. 5为了得到函数图象，可将函数 y=sin3x+cos3x图象（ ） A向左平移个单位 B向右平移个单位 C向右平移个单位 D向左平移个单位 6.如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积 为（瓶壁厚度忽略不计）（） 2329 35472sin3yx=12p 12p4p 4p- 2
3、- (第 6题 ) （第 7题） A 8? B 48? C 16? D 416? 7. 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数： f(x) x2， f(x) 1x， f(x) ex， f(x) sinx，则可以输出的函 数是 ( ) A f(x) x2 B f(x) 1x C f(x) ex D f(x) sinx 8.已知双曲线 E： =1（ a 0， b 0），点 F为 E的左焦点，点 P为 E上位于第一象限内的点， P关于原点的对称点为 Q，且满足 |PF|=3|FQ|，若 |OP|=b，则 E的离心率为（ ） A B C 2 D 9、函数 y=ax2+bx与（ ab 0， |a| |b
4、|）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 10.过抛物线 y2=4x的焦点 F的直线交该抛物线于 A， B两点， O为坐标原点若 |AF|=3，则 AOB的面积为（ ） A B C D 11.如图，在正四棱锥 S ABCD中， E， M， N分别是 BC， CD， SC 的中点，动点 P在线段 MN 上运动时，下列四个结论： 1 2 1221正视图 侧视图 俯视图 logbayx=- 3 - EP AC； EP BD； EP面 SBD； EP面 SAC，其中恒成立的为（ ） A B C D 12.设函数 f（ x）的定义域为 D，若 f（ x）满足条件：存在 a， b?D（ a
5、 b），使 f（ x）在a， b上的值域也是 a， b，则称为“优美函数”，若函数 为“优美函数”，则t 的取值范围是（ ） A B C D 第 卷 二、填空题（本大题共 4小题，每题 5分，共 20分，将答案填在题中的横线上） 13.若向量 (1,0)a? ， (2,1)b? ， ( ,1)cx? 满足 (3 )a b c? ? ?，则 x= 14.若 ? ?7xa? 的二项展开式中，含 6x 项的系数为 7，则实数 a= 15. 已知函数 2lo g , 0 2() 2,22xxfx x xx? ? ? ? ? ?，若 0 a b c，满足 f（ a） =f（ b） =f（ c），则()a
6、bfc的范围为 16.在数 1和 2之间插入 n个正数，使得这 n+2个数构成递增等比数列，将这 n+2 个数的乘积记为 nA ，令 2log ,nna A n N ? (1)数列 ?na 的通项公式为 na =_； (2) 2 4 4 6 2 2 2t a n t a n t a n t a n t a n t a nn n nT a a a a a a ? ? ? ? ? ? ? ?=_ 三、解答题（本大题共 7小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） （一）必考题：共 60分 17、（本题满分 10分） 在 ABC中，内角 A， B， C所对的边分别是 a， b，
7、 c，已知 ，c= （）求 ；（）若三角形 ABC的面积为 ，求角 C - 4 - 18、 （本题满分 12分）如图 ,在四棱锥 P ABCD? 中， PD? 平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形， 60BAD?， O 为 AC 与 BD 的交点， E 为 PB 上任意一点 . （ 1）证明：平面 EAC? 平面 PBD ； （ 2）若 PD/ 平面 EAC ，并且二 面角 B AE C?的大小为 45 ，求 PD:AD 的值 . 19（本题满分 12 分） .微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的 60 人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被
8、定义为“微信达人”，不超过 2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为 3： 2 （ 1）确定 x， y， p， q 的值，并补全须率分布直方图； （ 2）为 进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人” 60 人中用分层抽样的方法确定 10 人，若需从这 10 人中随机选取 3人进行问卷调查，设选取的 3人中“微信达人”的人数为 X，求 X的分布列和数学期望 使用微信时间（单位：小时） 频数 频率 （ 0， 0.5 3 0.05 - 5 - （ 0.5， 1 x p （ 1， 1.5 9 0.15 （ 1.5， 2 1
9、5 0.25 （ 2， 2.5 18 0.30 （ 2.5， 3 y q 合计 60 1.00 20（ 本题满分 12分） 如图，点 P(0， ?1)是椭圆 C1： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的一个顶点， C1的长轴是圆 C2： 224xy?的直径 12,ll是过点 P且互相垂直的两条直线，其中 1l 交圆 C2于 A， B两点， 2l 交椭圆 C1于另一点 D （ 1）求椭圆 C1的方程； （ 2）求 ABD面积取最大值时直线 1l 的方程 21.（本小题满分 12分）设函数 axxxxf ? ln)( （ 1）若函数 )(xf 在 ),1(? 上为减函数，求实数 a 的最
10、小值； （ 2）若存在 212,x x e e?，使 axfxf ? )()( 21 成立，求实数 a 的取值范 围 x O y B 1 1l 2lP D A - 6 - (二 )选考题：共 10分，考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.（本小题满分 10分） 选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 1C 的参数方程为 2cos3sinxy?（ ? 为参数）， 以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 ? =2. （ ） 分别写出 1C 的普通方程， 2C 的直角坐标方程； （ ） 已知 M， N分别为曲线
11、 1C 的上、下顶点，点 P为曲线 2C 上任意一点，求 PM PN?的最大值 23 （本小题满分 10 分） 设函数 f（ x） =|x+2| |x 2| （ I）解不等式 f（ x） 2； （）当 x R， 0 y 1时，证明： |x+2| |x 2| 111yy? ?- 7 - 醴陵市 2018届高三第一次联考理科数学参考答案 第 卷 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C B B C D B D C A D 第 卷 二、填空题
12、（本大题共 4小题，每题 5分，共 20分，将答案填在题中的横线上） 13. 14. 15. （ 1， 2） 16. 2 ta n (n 2 ) ta n 2(1 ) ; ( 2 ) .2 ta n 1n n? ? ? ? 三、解答题（本大题共 7小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） （一）必考题：共 60分 17、（本题满分 12分） 【解答】解：（）由题意知， tanA= ， 则 = ，即有 sinA sinAcosC=cosAsinC， 所以 sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（ A+C） =sinB， ? .3分 由正弦定理， a=b，则
13、=1； ? .5分 （）因为三角形 ABC的面积为 ， a=b、 c= ， 所以 S= absinC= a2sinC= ，则 ， ? 8.分 由余弦定理得， = ， ? .10分 由得， cosC+ sinC=1，则 2sin（ C+ ） =1， sin（ C+ ） = ， 又 0 C，则 C+ ，即 C+ = ，解得 C= ? 12分 18、 （本题满分 12分） 答案及解析： （ 1）证明略；? .4 分 （ 2）连结 OE ，因为 /PD 平面 EAC ， 所以 /PD OE ，所以 OE? 平面 ,ABCD - 8 - 又 O 是 BD 的中点，故此时 E 为 PB 的中点， 以 O
14、为坐标原点， 射线 ,OAOB OE 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 .? .6分 设 ,OB m OE h?则 3OA m? ， 3 0 0 0 0 0 0( , , ) , ( , , ) , ( , , )A m B m E h 向量 1 010( , , )n ? 为平面 AEC 的一个法向量? .8分 设平面 ABE 的一个法向量 2 ( , , )n x y z? ， 则 2 0n AB? 且 2 0n BE? ， 即 3 0 0mx my my h z? ? ? ? ?且， 取 1x? ，则 33, myzh?，则2 313( , , )mn h? 10 分
15、 12122122324521 3 3c o s c o s , ,| | | |nnnnnn mh? ? ? ? ? ? ?解得 62 ,hm? 故 2 2 6 2: : : : .P D A D h m h m? ? ? 12分 19（本题满分 12 分） . - 9 - 【解答】解：（ 1）根据题意，有 ， 解得 x=9， y=6， p=0.15， q=0.10， 补全频率分布图有右图所示? .5分 （ 2）用分层抽样的方法，从中选取 10 人，则其中“网购达人”有 10 =4人，“非网购达人”有 10 =6 人，的可能取值为 0， 1， 2， 3，? .7分 P（ =0） = = ，
16、P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = = ，? .11分 的分布列为： 0 1 2 3 P E = = ? .12分 20.（本题满分 12分） 解：（）由题意得 ?b=1，a=2 所以椭圆 C的方程为 x24+y2=1 ? .4分 （）设 D(x0， y0)由题意知直线 l1的斜率存在，不妨设其为 k，则直线 l1的方程为 y=kx?1 又圆 C2： x2+y2=4，故点 O到直线 l1的距离 d= 1k2+1 ， 所以 |AB|=2 4?d2=2 4k2+3k2+1 .? .6分 又 l1 l2，故直线 l2的方程为 x+ky+k=0 由?x+ky+k=0，x24+y2=1 消去 y，整理得 (4+k2)x2+8kx=0 故 x0=? 8k 4+k20 28 14y k=-+.? .8分 x O y B 1 1l 2lP D A - 10 - 所以 |PD|=8 k2+14+k2 .? .9分 设 ABD的面积为 S，则 S=12|AB PD|=8 4k2+34+k2 ， .? .10分 所以 S= 324k2+3+ 134k2+33
