1、 1 南京市 2017 2018 学年度第一学期期中考试 数 学 一、 填空题：本大题共 14 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 70 分 . 1. 已知集合 A 2， 3， 5， B x|2x4 ， 则 AB _. 2. 若复数 z 满足 z(1 i) 2i， 其中 i 是虚数单位 ， 则复数 z _. 3. 从 1， 2， 3， 4， 5 这 5 个数中 ， 随机抽取 2 个不同的数 ， 则这 2 个数的和为奇数的概率是 _. 4. 某中学共有学生 2 000 人 ， 其中高一年级共有学生 650 人 ， 高二男生有 370 人现在全校学生中随机抽取 1名 ， 抽到高二年级女生的概率是 0
2、.19， 则该校高三学生共有 _人 . 5. 下面是一个算法的伪代码如果输出的 y 值是 30， 那么输入的 x 值是 _. 6. 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， 若 a1 2， S3 12， 则 a6的值为 _ 7. 若曲线 y x 1x 1在点 (3， 2)处的切线与直线 ax y 3 0 垂 直 ， 则实数 a 的值为_. 8. 已知函数 f(x) 2sin? ?2x 4 ， x R， 若 f(x)在区间 ? ? 8 ， 34 上的最大值和最小值分别为 a， b， 则 a b 的值为 _ 9. 已知奇函数 f(x)的图象关于直线 x 2 对称 ， 当 x0 ， 2时 ， f(
3、x) 2x， 那么f(6)的值为 _. 10. 在 ABC 中 ， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 b c 14a， 2sinB 3sinC，则 cosA 的值为 _. 11. 已知 ab0， a b 1， 则 4a b 12b的最小值等于 _. 12. 在 ABC 中 ， 已知 AB 4， AC 10， BC 2， M 为边 AB 的中点 ， P 是 ABC 内 (包括边界 )一点 ， 则 AP CM 的最小值是 _. 13. 设函数 y? x3 x2， x1)的左、右焦点分别为 F1， F2， A， B 为椭圆上关于原点对称的两点 ， 椭圆 C 的离心率为 e.
4、 (1) 若点 A 的坐标为 ? ?2e， 12 ， 求椭圆 C 的方程； (2) 记 AF1的中点为 M， BF1的中点为 N， 若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上 . 证明 AF1 AF2 为定值； 设直线 AB 的斜率为 k， 若 k 33 ， 求 e 的取值范围 . 5 19. (本小题满分 16 分 ) 设函数 f(x) x3 ax， a R， g(x) xex， h(x)?f（ x） ， f（ x） g（ x） ，g（ x） ， f（ x） g（ x） (e 为自然对数的底数 ) (1) 当 a0 时 ， 求函数 f(x)的极值； (2) 若函数 h(x)的最小值为 1e，
5、求实数 a 的取值范围； (3) 当 h(x) g(x)时 ， 求实数 a 的值 . 6 20. (本小题满分 16 分 ) 已知函数 f(x) ax 3， g(x) bx 1 cx 2(a， b， c 是实数 )且 g? ? 12 g(1) f(0) (1) 试求 b， c 所满足的关系式； (2) 若 b 0， 方程 f(x) g(x)在 (0， ) 有唯一解 ， 求实数 a 的取值范围； (3) 若 b 1， 集合 A x|f(x)g(x)且 g(x)0. 因为 sin2? ?x 3 cos2? ?x 3 1， 所以 cos ? ?x 3 1 ? ? 142154 . 16. (1) 如
6、图 ， 连结 OE. 由四边形 ABCD 是正方形知 O 为 BD 的中点 因为 PD 平面 ACE， PD?平面 PBD， 平面 PBD 平面 ACE OE， 所以 PD OE. 在 PBD 中 ， PD DE， O 为 BD 为中点， 所以 E 为 PB 的中点 (2) 在四棱锥 PABCD 中 ， AB 2PC， 因为四边形 ABCD 是正方形 ， 所以 AC 2AB 2OC， 则 AB 2OC， 所以 PC OC. 在 CPO 中 ， PC OC， G 为 PO 的中点 ， 所以 CG PO. 因为 PC 底面 ABCD， BD? 底面 ABCD， 所以 PCBD. 因为四边形 ABC
7、D 是正方形 ， 所以ACBD ， 因为 AC， PC?平面 PAC， ACPC C， 所以 BD 平面 PAC， 因为 CG?平面 PAC， 所以 BDCG. 因为 PO， BD?平面 PBD， PO BD O， 所以 CG 平面 PBD. 17. (1) 由题意可知 A1B1 CD x， CA1 DB1 h， 则 AC 12(AB x) 12(30 x)， h AC tan60 32 (30 x)， 故 V(x) Sh 6 ? ?34 x2 32 (30 x) 94x2(30 x)， 00；当 x(20 ，30)时 ， V (x)0， 所以 V(x)在 (0， 20)单调递增 ， 在 (2
8、0，30)单调递减 ， 所以当且仅当 x 20 时 ， V(x)取得最大值 9 000. 答：当 容器的底面边长为 20cm 时 ， 容器的容积最大 ， 最大容积为 9 000 cm3. 18. (1) 由题意知 4e2a2 14 1， 即a2 1a4 316， 所以 3a4 16a2 16 0， 解得 a2 4 或a2 43. 所 以椭圆 C 的方程为 x24 y2 1 或 3x24 y2 1. (2) 设 F2(c， 0)， A(x1， y1)， 则 F1( c，0)， B( x1， y1)， 10 故 M? ?x1 c2 ， y12 ， N? ? c x12 ， y12 . 由题意 ，
9、得 OM ON 0.化简 ， 得 x21y21 c2， AF1 AF2 ( c x1， y1)(c x1， y1) x21 y21 c2 0(定值 ) 由题意?y1 kx1，x21a2 y21 1，x21 y21 c2得到 k2(a4 2a2) 1. 因为 k 33 ， 所以 a4 2a2 1k2 (0， 3， 即 00 时 ， 令f(x) 0， 得 x1 a3， x2 a3. 当 x 变化时 ， f (x)， f(x)的变化情况如 下： x ( ， a3) a3 ( a3， a3) a3 ( a3， ) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以当 x a3时 ， f(x)取极大值f(
10、 a3) 2a3 a3 2a 3a9 ， 当 x a3时 ， f(x)取极小值 f? ?a3 2a3 a3 2a 3a9 . (2) g(x) (x 1)ex. 当 x 1 时 ， g (x)0；当 xln 2， p (x)0， 所以 p( x)max 2ln 2 20 时 ， 问题转化为 a p(x)在 R上恒成立； 当 x 0 时 ， 不等式恒成立 ， 则 a R； 当 x0 时 ， p(x)p(0) 1， 所以 a 1. 综上所 述 ， a 1. 20. (1) 由 g? ? 12 g(1) f(0)， 得 (2b 4c) (b c) 3， 故 b、 c 所满足的关系式为 b c 1 0. (2) 方法一：由 b 0， b c 1 0， 可得 c 1. 方程 f(x) g(x)， 即 ax 3 x 2， 可转化为 ax3 3x2 1 0 在 (0， ) 上有 唯一解 令 h(x) ax3 3x2 1， 则 h(x) 3ax2 6x 3x(ax 2) 当 a0 时 ， h (x)0， h(x)在 (0，
