1、 - 1 - 2017-2018 学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1 sin（ 600 ） =（ ） A 12 B 32C 12 D 322已知 cos（ ） = ，则 cos2= （ ） A B C D 3已知函数 y=sin（ x + ）（ 0， 0 ）的部分图象如图所示， = （ ） A B C D 4在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 a2=b2+c2+bc，则角 A等于（ ） A B C D 5定义在 R上的函数 f（ x）既
2、是偶函数又是周期函数若 f（ x）的最小正周期是 ，且当x 0， 时， f（ x） =sinx，则 f（ ）的值为（ ） A B C D 6不等式 2的解集为（ ） A 1， 0） B 1， + ） C（ ， 1 D（ ， 1 （ 0， + ） 7已知集合 A=x|x+1| 1， B=x|（ ） x 2 0，则 A ?RB=（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1 C（ 1， 0） D 1， 0） 8已知三个数 a=0.32， b=log20.3， c=20.3，则 a， b， c之间的大小关系是（ ） A b a c B a b c C a c b D b c a - 2 - 9已知函数 y
3、= xf （ x）的图象如图（其中 f （ x）是函数 f（ x）的导函数），下面四 个图象中， y=f（ x）的图象可能是（ ） A B C D 10设 f（ x） = ，若 f（ f（ 1） =1，则 a=（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 11若函数 f（ x） =|4x x2|+a有 4个零点，则实数 a的取值范围是（ ） A 4， 0 B（ 4， 0） C 0， 4 D（ 0， 4） 12若对于任意 x （ 2， 2）都有 2x（ x a） 1成立，则 a的取值范围是（ ） A（ ， 6） B（ ， + ） C ， + ） D（ 6， + ） 二、填空题：本大题共 6小 题，每小
4、题 5分，共 30分） . 13设 x= ，则 tan（ +x）等于 14在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 a2 b2=bc， sinC=2sinB，则角 A为 15已知曲线 y= x3+ ，则过点 P（ 2， 4）的切线方程是 16设 f（ x） =xlnx，若 f （ x0） =2，则 x0的值为 17下面四个命题： 命题 “ ? x 0， x2 3x+2 0” 的否定是 “ ? x 0， x2 3x+2 0” ； 要得到函数 y=sin（ 2x+ ）的图象，只要将 y=sin2x 的图象向左平移 个单位； 若定义在 R上的函数 f（ x）满足 f（ x+
5、1） = f（ x），则 f（ x）是周期函数； 已知奇函数 f（ x）在（ 0， + ）上为增函数，且 f（ 1） =0，则不等式 f（ x） 0的解集为 x|x 1 - 3 - 其中正确的是 （填写序号） 18定义在 R上的运算： x*y=x（ 1 y），若不等式（ x y） *（ x+y） 1对一切实数 x恒成立，则实数 y的取值范围是 三、解答题：本大题共 5小题，共 60分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 19（ 12分）已知 p： 1， q： x2 2x+1 m2 0（ m 0），若 p是 q的充分不必要条件，求实数 m的取值范围 20（ 12 分）在 ABC中，角 A， B，
6、 C的对边分别为 a， b， c，且满足 A=45 ， cosB= （ ）求 sinC的值； （ ）设 a=5，求 ABC的面积 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =cos2x sinxcosx+2sin2x （ ）求函数 f（ x）的最小正周期； （ ）若 x 0， ，求函数 f（ x）的值域 22（ 12 分）已知函数 （ ）若 x=1时， f（ x）取得极值，求 a的值； （ ）求 f（ x）在 0， 1上的最小值； （ ）若对任意 m R，直线 y= x+m都不是曲线 y=f（ x）的切线，求 a的取值范围 23（ 12 分）已知函数 f（ x） =x2+ax lnx， a R
7、（ 1）若函数 f（ x）在 1， 2上是减函数，求实数 a的取值范围； （ 2）令 g（ x） =f（ x） x2，是否存在实数 a，当 x （ 0， e（ e是自然常数）时，函数 g（ x）的最小值是 3，若存在，求出 a的值；若不存在，说明理由； （ 3）当 x （ 0， e时，证明： - 4 - 2017-2018学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（理科） 参 考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1 B； 2 D； 3 A； 4 A； 5 D； 6 A； 7 C； 8 A； 9 B； 10 D；
8、11 B； 12 C； 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 13 3314?15 4x y 4=0 或 y=x+2 16e17 18 ），（ 2321? 三、 解答题（本大题共 5小题，共 60 分） 19（本小题满分 12分） 解：由 1212 ?x ，得 2 x10 .3 由 012 22 ? mxx ， 得 1 mx1+m （ m 0） .6 ? p是 ? q的充分而不必要 条件， 即 p是 q的必要 不充分 条件 .8 ?211010mmm解得 30 ?m .12 20（本小题满分 12分） 解 : （ ） .2 .6 （ ） 由正弦定理得 ， .9 .12 - 5 - 21（
9、本小题满分 12分） 解： （ ） = = .5 其最小正周期为 .6 （ ） 由（ ）知 ， 又 x0 ， ， 在区间 上是 减 函数，在区间 上是 增 函数 .8 又 f(0) ， ， .11 函数 的值域为 .12 22（本小题满分 12分） 解：（ I） =x2 a.2 当 x=1时， f（ x）取得极值， =1 a=0， a=1 .3 又当 x （ 1， 1）时 ， 0， x （ 1， + ）时， 0， f （ x）在 x=1处取得极小值，即 a=1符合题意 .4 （ II） 当 a0 时， 0对 x （ 0， 1成立， f （ x）在（ 0， 1上单调递增， f（ x）在 x=0处
10、取最小值 f（ 0） =1 .6 当 a 0 时，令 =x2 a= 当 0 a 1时， ，当 时， 0， f（ x）单调递减， 时， 0， f（ x）单调递增 所以 f（ x）在 处取得最小值 .8 当 a1 时， ， x （ 0， 1）时， 0， f（ x）单调递减 - 6 - 所以 f（ x）在 x=1处取得最小值 .10 综上所述： 当 a0 时， f（ x）在 x=0处取最小值 f（ 0） =1 当 0 a 1时， f（ x）在 处取得最小值 当 a1 时， f（ x）在 x=1处取得最小值 （ III）因为 ? mR ，直线 y= x+m都不是曲线 y=f（ x）的切线， 所以 =x
11、2 a 1 对 xR 成立 .11 只要 =x2 a的最小值大于 1 即可， 而 f（ x） =x2 a的最小值为 f（ 0） = a 所以 a 1，即 a 1 .12 23（本小题满分 12分） 解：（ ） 在 1， 2上恒成立 .2 令 h（ x） =2x2+ax 1，有 得 ， 得 .4 （ ）假设存在实数 a，使 g（ x） =ax lnx（ x （ 0， e）有最小值 3， = .6 当 a0 时， g（ x）在（ 0， e上单调递减， g（ x） min=g（ e） =ae 1=3， （舍） .7 当 ，即 时， g（ x）在 上单调递减，在 上单调递增 ， a=e2，满足条件 .8 当 ，即 时， g（ x）在（ 0， e上单调递减， g（ x） min=g（ e） =ae 1=3， （舍） .9 - 7 - 综上，存在实数 a=e2，使得当 x （ 0， e时 g（ x）有最小值3 .10 （ ）因为 x （ 0， e，所以要证： ，只需要证： 令 ，由（ ）知， F（ x） min=3 令 ， ， 当 0 xe 时， ， （ x）在（ 0， e上单调递增 ，即 .12
