1、 1 广东省清远市清城区高 三 第一学期 期末统 考 （ B）卷 数学（ 理 ）试题 (本卷满分 150 分，时间 120 分钟 ) 一、 选择题（ 60 分，每题 5 分） 1.已知集合? ?0322 ? xxxA、 Z为整数集，则集合ZA?中所有元素的和为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2已知复数33i iz ?，则 z 的虚部为（ ） A 3? B 3 C i3 D i3? 3. 某高中共有 2000 名学生，其中各年级男生、女生的人数如下表所示，已知在全校学生中随机抽取 1 人，抽到高二年级 女生的概率是 0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生，则在高三年
2、级中应抽取的学生人数是（ ） A. 8 B. 16 C. 28 D. 32 4如图所示，程序框图的输出值 S? （ ） 高一 高二 高三 女生 373 m n 男生 377 370 p 2 A 21 B 15 C 28 D 21? )( nom ?的渐近线方程是xy 2?。 则该双曲线的离心率5.若 双 曲 线 为 ( ) A.2B. 3C. D. 56.等 差 数列?na的 前n项 和为S， 若公差2d?，3 21S?， 则当n取得 最大值时， 的 值为（ ） A 10 B 9 C 6 D 5 7.已知变量x、y满足约束条件?0621yxxyy,那么yxz 32 ?的最小值为（ ） A. 2
3、11B. 8 C. 4D. 10 8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 122 ? nymx263 A 12 B 24 C 40 D 72 9.已 知函数? ? ? ?sin 0 2f x x ? ? ? ? ? ? ?， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为2?， 且函数12fx?是 偶函数 ，下列 判断正确的是（ ） A函数?fx的 最小正周期为2?B函数?fx的 图象关于点7 012? ，对称 C.函数 的 图象关于直线712x ?对称 D.函数 在3 4 ?，上 单调递增 10.平 行 四边形ACD中 ，4 2 4A B A D A B A D? ? ? ?， ， 点 P
4、在边 上 ，则PAPB?的取值 范围是（ ） A? ?1 8?，B 1 )? ?，C.? ?0 8，D? ?1 0?，11.三棱锥ABCP?的四个顶点均在同一球面上，其中ABC?是正三角形， ?PA平面 62, ? ABPAABC则该球的体积为（ ） A. ?316B. ?332C. 48D. ?36412已知点 ? ?,Pxy 在不等式组?0220102yxyx 表示 的平面区域上运动，则 z x y? 的取值范围是（ ） A ? ?1,2 B ? ?2,1? C ? ?2, 1? D ? ?1,2? 俯视图 正视图 侧视图 3 6 4 2 4 二、 填空题（ 20 分，每题 5 分） 13
5、.若 实数xy，满足10201xyxyy? ? ? ? ?， 则13z x y? ?的 最小值为 14.在数列?na中 ，已知11?，121 ? nn aa，则其通项公式为?a。 15.三 棱锥P ABC?中 ，平面P ABC? 平 面，23PA PC AB? ? ?，4AC?，30BAC? ? ?， 若三棱錐 的 四 个 顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 16.若? 316sin( ?，则? )232(cos a?。 三、 解答题（ 70 分） 17.（ 12 分） 如图，,AB是椭圆? ?22 10abab? ? ? ?的两个顶点，5AB?，直线 的斜率为2? （ 1） 求椭圆的方程；
6、 （ 2） 设直线l平行于 AB，与,xy轴分别交与点,MN，与椭圆相交于,CD证明：OCM?的面积等于ODN?的面积； 5 18.（ 12 分） 在ABC中 ，A B C， ，的 对边分别为a b c， ， 已知2A?， 且13 sin c os sin 2 3 sin2A B b A C?. （ ） 求a的 值； （ ） 若23?， 求ABC周长 的最大值 . 19.（本小题满分 12 分） 如图 （ 1） ，在平行四边形11ABBA中 ，1160 4 2A B B A B A A? ? ? ? ?， ，C，1分别 为 AB， 的中点，现把平行四边形11A C沿1CC折 起，如图（ 2）
7、所示，连结1 1 1 1 C B A B A， ，. （ ）求证：AB CC?； （ ）若1 6AB?， 求二面角11C AB A?的余 弦值 . 6 20（本小题满 分 12 分） 设 ? ? ? ?2 1 xf x x ln x a x a a e? ? ? ? ?， 2a? （ 1)若 0a? ，求 ?fx的单调区间； （ 2)讨论 ?fx在区间 1,e?上的极值点个数； 21 （ 12 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos? 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是：2222x m tyt?
8、 ? ?（ t 是参数） （ ）若直线 l 与 曲线 C 相交于 A、 B 两点，且 | | 14AB? ，试求实数 m 值 （ ）设 ? ?yxM , 为曲线 C 上任意一点，求 xy? 的取值范围 22.（ 10 分 ）选修 4 5：不 等式选 讲 D E B A O C P 7 已 知函数? ? f x x a a? ? ? R，. （ ）当1a?时， 求? ? 11f x x? ? ?的 解集； （ ） 若 不等式? ? 30f x x?的 解集包含? ?1xx?， 求a的 取值范围 . 8 数学（ 理 ）答案 一、 1-12： CBBDC DBCDA BD 二、 13. 1? 14.
9、 12?n15.18?16. 97?三、 17.（ 1）解：依题意，得22125baab? ?，解得2, 1ab?，所以椭圆的方程为2 2 14x y?； （ 2）证明：由于/l AB，设直线l的方程为12y x m? ?， 将其代入2 2 14x y?，消去y，整理得2 4 4 4 0x m x m? ? ? ?，设? ?11,C y，? ?22,D x y，所以? ?221221216 32 1 0222mmx x mx x m? ? ? ? ? ?证法一：记OCM?的面积是1,S ODN?的面积是2， 由? ? ? ?2 , 0 , 0, mM m N，则1 2 1 2 1 211222
10、2S S m y m x y x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因为122x x m?，所以1 1 1 212 2 22 x m x m x? ? ? ? ? ? ? ?， 从而SS?； 证法二：记OCM?的面积是1S，ODN?的面积是2S， 则S M C N D? ? ? ?线段,CD N的中点重合 因为2x x m，所以1 2 1 2 1 211,2 2 2 2 2x x y y x xm m m? ? ? ? ? ? ?， 故线段CD的中点为1,2mm?，因为? ? ? ?2 , 0 , 0,M N m， 所以线段MN的中点坐标亦为,，从而? 18.本 小题主要考查正弦定理、余弦定
11、理、两角和与差的三角函 数公式等基础知识，考查运算求解能9 力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，满分 12 分 . 解 法一： （ ） 因为13 sin c os sin 2 3 sin2A B b A C?，A B C ? ? ?， 所 以? ?3 sin c os sin c os 3 sinA B b A A A B? ? ?， 即sin c os sin c os 3 sin c os 3 c os sinA B b A A A B A B? ? ?， 即sin c os 3 c os sinb A A B?. 因为2A?， 所以cos 0A?， 故sin 3sinA B?， 由
12、 正弦定理得3ab b?， 所 以3a?. （ ） 在ABC中 ，2 33Aa?， 由 正弦定理得，23sin sinbcBC?， 所 以2 3 sin 2 3 sinb B c C， 所 以2 3 sin 2 3 sinc B C? ? ? ?2 3 sin sinBC?2 3 sin sin 3BB? ?13sin c os22?3 sin 3B ?. 因为0 3B ?， 所以23 3 3B? ? ? ? ?. 所 以当32B ?时， 即6?时 ，sin 3B ?取得 最大 值 1. 故 当6?时，ABC周长 取得最大值3 2 3?. 解 法二：（ ） 由1sin c os sin 2 3
13、 sin2A B b A C?， 得3 sin c os sin c os 3 sinA B b A A C， 由 正弦定理，得cos cos 3a B ab A c?， 10 由 余弦定理，得2 2 2 2 2 23322a c b b c aa ab cac bc? ? ? ? ? ? ?， 整理 得? ? ?2 2 2 30b c a a? ? ? ?， 因为2A?， 所以2 2 0b c a? ? ?， 所 以3a?. （ ） 在ABC中 ，2 33Aa?， 由 余弦定理得，229 b c bc? ? ?. 因为? ? ? ? ? ?22 2 2324bcb c bc b c bc b
14、 c b c? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所 以? ?23 94 bc?， 即? ?2 12，所 以23?， 当 且 仅 当3bc?时， 等号成立 . 故 当 时，ABC周长 取得最大值3 2 3?. 19.本 小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面 与 平面的位置关系及二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理认证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，满分 12 分 . 证明 ：（ ） 由 已知可得，四边形11ACCA均 为边长为 2 的 菱形， 且1 1 1 60ACC B C C? ? ? ? ?. 在 图（ 1）中 ，取1CC中 点O， 连结11 O BO AC， ， 故1ACC是 等边三角形 ， 所 以1AO CC?， 同 理可得B CC， 又 因为1O BO O?，
