1、 1 2018届高三上学期数学（理科）期中考试 （本试卷共 4页， 21 小题，满分 150分。考试用时 120分钟） 注意事项：非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效 。 一、选择题（每小题 5 分，总 50 分） 1 已知集合 ? ?|3M x x?， ? ?2| 6 8 0N x x x? ? ? ?，则 MN? （ ） A ? B ? ?|0 3xx? C ? ?|1 3xx? D ? ?|2 3xx? 2已知 命题 P是：“对任意的 x?R
2、， 3210xx? ”，那么 是 （ ） A不存在 x?R ， 3210xx? B存在 x?R ， 3210xx? C存在 x?R ， 3210xx? ? ? D对任意的 x?R ， 3210xx? ? ? 3. 2(sin cos ) 1y x x? ? ?是（ ） A. 最小正周期为 2 的奇函数 B. 最小正周期为 2 的偶函数 C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数 4 设 ,xy R? 则“ 2x? 且 2y? ”是“ 224xy?”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 5若 ，则 ()fx的定义域为 ( )
3、A. 1( ,0)2? B. 1( , )2? ? C. 1( ,0) (0, )2? ? ? D. 1( ,2)2? 6. 函数 f(x) Asin(x )( A 0， 0, 20 ? ) 的部分图象如图所示，则 f(0)的值是 （ ） A.23B.43C.26D.462 7. 在平面直角坐标系中，不等式组0401xyxyx? ? ?表示的平面区域面积是（ ） A 3 B 6 C 92 D 9 8. 已知 31)4sin( ? ，则 )4cos( ? 的值等于 ( ) A 232 B 232? C 31 D 31? 9. 已知函数 1xya? （ 0a? ，且 1a? ）的图象恒过定点 A，
4、若点 A在函数 y mx n?的图象上，其中 ,0mn? ，则 11mn? 的最小值为 A 1 B 4 C 2 D 2 10.? 10,621100|,lg|)( xxxxxf已知函数 , 若 a， b， c互不相等，且 f（ a） =f（ b） =f（ c），则 abc的取值范围是（ ） A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24) 二、填空题（每小题 5 分，总 20 分 ,其中 14、 15题为选做题 ） 11.已知函数? ? ? )4(,2)1( )4(,2)( xxf xxf x , 则 (5)f = _. 12. c o s 2 4 c o s 3 6
5、c o s 6 6 c o s 5 4? ? ? ?的值等于 _. 13.一个空间几何体的三视图及部分数据如 图所示，则这个几何体 的体积是 14（ 坐标系与参数方程 选做题 ） 过点 (2, )3? 且平行于极轴的直线的极坐标方程为 _ _ 15（几何证明选讲 选做题 ）已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A ， 直线 PO 交圆 O 于 ,BC两点， 2AC? , 120PAB?， 则圆 O 的面积为 P A B O C 3 三、解答题（共 80分） 16.（本小题满分 12分）已知函数 ( ) s in ( ) s in ( )2f x x x? ? ? ? ?， （ 1）求函数 ()
6、fx的最小正周期； （ 2）求 ()fx的最大值和最小值； （ 3）若 1()4fx? ，求 sin2x 的值 17（本小题满分 12 分） 一个盒子中装有 4 张卡片，每张卡片上写有 1 个数字，数字分别是 1、 2、 3、 4，现从盒子中随机抽取卡片 . （ 1）若一次从中随机抽取 3张卡片，求 3张卡片上数字之和大于或等于 7的概率； （ 2）若第一次随机抽 1 张卡片，放回后再随机抽取 1 张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字 2的概率 18.（ 14分）如图，四棱锥 P ABCD的底面是正方形， PA底面 ABCD， PA 2， PDA=45，点 E、 F分别为棱 AB、 PD的中点
7、 （ 1）求证： AF平面 PCE；（ 2）求证：平面 PCE平面 PCD； EFBACDP4 19 (本小题满分 14分 ) 已知函数 f(x) =x2 lnx. (1)求曲线 f(x)在点（ 1， f(1)处的切线方程； (2)求函数 f(x)的单调递减区间： (3)设函数 g(x)=f(x)-x2+ax, a0， 若 x (O， e时 ， g(x)的最小值是 3,求实数 a的值 . (e是为自然对数的底数） 20 (本小题满分 14 分 )在经济学中，函数 ()fx 的边际函数 ()Mf x 定义为( ) ( 1) ( )M f x f x f x? ? ?，某公司每月生产 x 台某种产
8、品的收入为 ()Rx元，成本为 ()Cx元，且 2( ) 3000 20R x x x?， *( ) 6 0 0 4 0 0 0 ( )C x x x N? ? ?，现已知该公司每月生产该产品不超过 100台，（利润 =收入成本） （ 1）求利润函数 ()Px以及它的边际利润函数 ()MPx ； （ 2）求利润函数的最大值与边际利润 函数的最大值之差。 21. (本小题满分 14分 )设函数 2( ) lnf x a x bx?. （ 1）若函数 )(xf 在 1x? 处与直线 21?y 相切， 求实数 a ， b 的值； 5 求函数 ()fx在 1 , ee 上的最大值； （ 2）当 0b?
9、 时，若不等式 xmxf ?)( 对所有的 30, 2a? ， ? 21,xe? ? 都成立，求实数 m的取值范围 . 6 2018届高三数学（理科）期中考试参考答案 一、 选择题： DCCAC CDDBC 二、 填空题 11. 12 12. 21 13.23 14. sin 3? 15 4? 16 17 解：（ 1）设 A 表示事件“抽取 3张卡片上的数字之和大于或等于 7”， 任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（ 1、 2、 3），（ 1、 2、 4），（ 1、 3、4）， （ 2、 3、 4），共 4种 ? ? 2分 其中数字之和大于或等于 7的是（ 1、 2、 4），（ 1
10、、 3、 4），（ 2、 3、 4）， 共 3种 ? 4分 所以 ()PA? . ? 6分 （ 2）设 B 表示事件“至少一次抽到 2”， 每次抽 1张，连续抽取两张全部可能的结果有：（ 1、 1）（ 1、 2）（ 1、 3）（ 1、 4）（ 2、 1）（ 2、 2） （ 2、 3）（ 2、 4）（ 3、 1）（ 3、 2）（ 3、 3）（ 3、 4）（ 4、 1）（ 4、 2）（ 4、 3）（ 4、 4），共 16 个 .? 8分 事件 B 包含的结果有（ 1、 2）（ 2、 1）（ 2、 2）（ 2、 3）（ 2、 4）（ 3、 2）（ 4、 2），共 7个 ? 10 分 所以所求事件的概
11、率为 ()PB ? . ? 12分 7 18. 证明 : （ 1）取 PC 的中点 G，连结 FG、 EG， FG 为 CDP的中位线 FG 21/ CD ? 1分 四边形 ABCD为矩形， E为 AB的中点 AB 21/ CD FG/ AE 四边形 AEGF是平行四边形 AF EG ? 3分 又 EG? 平面 PCE， AF? 平面 PCE AF平面 PCE ? 6分 （ 2） PA底面 ABCD PA AD， PA CD，又 AD CD， PA? AD=A CD平面 ADP，又 AF? 平面 ADP CD AF ? 8 分 直角三角形 PAD中， PDA=45 PAD为等腰直角三角形 PA
12、 AD=2 F是 PD的中点， AF PD，又 CD? PD=D AF平面 PCD ? 11 分 AF EG EG平面 PCD ? 12 分 又 EG? 平面 PCE 平面 PCE平面 PCD ? 14分 19. 8 20 21. 解：（ 1） ( ) 2af x bxx? 函数 ()fx在 1x? 处与直线 12y? 相切 (1) 2 0 ,1(1)2f a bfb? ? ? ? ? ? 解得112ab? ? ? 3分 221 1 1( ) ln , ( )2 xf x x x f x xxx ? ? ? ? ?当 1 xee?时，令 ( ) 0fx? 得 11 ?xe ； 9 令 ( ) 0fx? ，得 ex?1 ? 1,1)( exf 在上单调递增，在 1， e上单调递减， m ax 1( ) (1) 2f x f? ? ? ? 8分
