1、 - 1 - 2017-2018 学年上学期竞赛试卷 高三数学（理） 总分： 150分 时间： 120分钟 第 I卷（选择题，共 60分） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 ） 1.设 i 为虚数单位，复数 izi ? 1)2( ， 则 z 的共轭复数 z 在复平面中对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第 四象限 2.设集合 A=? ?eex x 1， B=? ?0log2 ?xx ，则 A B等于 （ ） A x|x 1或 x 1 B x| 1 x 1 C x|0 x 1 D x|x 1 3.下列命题错误的是 （ ）
2、A命题 “ 若 lgx=0，则 x=0” 的逆否命题为 “ 若 x0 ，则 lgx0” B若 pq 为假命 题，则 p， q均为假命题 C命题 p ： ? x0R ，使得 sinx0 1，则 p? “ ? xR ，均有 sinx1 D “x 2” 是 “ x1 21 ” 的充分不必要条件 4.若 ?x 表示不超过 x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输 出的 S 值为 （ ） A 4 B 5 C 7 D 9 5.若534cos ? ?， 则 ?2sin （ ） A B C D 6.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则
3、该几何体的体积是（ ） A 320 B 68 ? C 38 ? D.316 7.已知 M 是 ABC? 内的一点，且 32?ACAB ， ?30?BAC ，若 MABMBC ? , ，- 2 - MCA? 的面积分别为 yx,21 ， 则 yx 41? 的最小值是 （ ） A 9 B 16 C 18 D 20 8.若函数 ? ? ? ?Rxxxxf ? ? c o s3s in ，又 ? ? ? ? 0,2 ? ? ff ，且 ? 的最小值为 ?43 ，则正数 的值是 （ ） A B C D 9.现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问不同的分法有 （ ） A
4、 36种 B. 9 种 C. 18种 D. 15种 10.已知 21,FF 是双曲线的左、右焦点，点 1F 关于渐近线的对称点恰好落在以 2F 为圆心， 2OF为半径的圆上，则该双曲线的离心率为 ( ) A B C 2 D 3 11.已知 ?xf 是定义在 R 上的增函数，函数 ? ?1? xfy 的图象关于点 ? ?0,1 对称，若对任意的 Ryx ?, ，等式 ? ? ? ? 0343 2 ? xxfyf 恒成立，则 xy 的取值范围是（ ） A 2 ， 3 B 1， 2+ C 2 ， 2+ D 1， 3 12.已知定义在 ? ?0,? 上的函数 ?fx的导函数 ?fx? 满足 ? ? ?
5、 ? ln xxf x f x x? ?，且? ? 1fee? ，其中 e 为自然对数的底数，则不等式 ? ? 1f x e x e? ? ?的解集是 （ ） A. 10,e?B. ? ?0,e C. 1,ee?D. 1,e?第 II卷（非选择题 共 90分） 二 .填空题 （每小题 5分，共 20 分 ） 13.设 ? 20 cos? xdxa ，则 62 ? ?xax 展开式的常数项为 14.设 ABC? 的内角 CBA , 所对边的长分别为 cba, ，若 ,2acb ? BA sin5sin3 ? ，则角C = 15.过抛物线 ? ?2 20y px p?的焦点 F作两 条相互垂直的射
6、线，分别与抛物线相交于点 M， N，- 3 - 过弦 MN 的中点 P作抛物线准线的垂线 PQ，垂足为 Q，则 的最大值为 16.给出定义：若 11 (22m x m m? ? ? ? 为 整 数 ），则 m 叫做离实数 x 最近的整数，记作?xm? ，在此基础上给出下列关于函数 ? ? ? ?f x x x? 的四个结论：函数 ? ?y f x? 的定义域为 R ，值域为 10,2?；函数 ? ?y f x? 的图像关于直线 ()2kx k Z?对称； 函数 ? ?y f x? 是偶函数；函数 ? ?y f x? 在 11,22?上是增函数。 其中正确结论的序号是 。（写出所有正确结论的序号
7、） 三 、 解答题：本大题共 5小题，共 60分，解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤 17.（本小题满分 12分） 已知等差数列 an的首项 11?a ，公差 0?d ，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项 （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设 ? ? ? ? Nnanb nn 31， nn bbbS ? ?21 是否存在最大的整数 t ，使得对任意的 n 均有 36tSn?总成立？若存在，求出 t ；若不存在，请说明理由 18. （本小题满分 12 分） 某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据
8、 ? ? ?6,2,1, ?iyx ii 如表所示： 试销价格 x（元） 4 5 6 7 a 9 产品销量 y（件） b 84 83 80 75 68 已知变量 yx, 具有线性负相关关系，且 480,39 6161 ? ? ? i ii i yx，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲 544 ? xy ；乙 1064 ? xy ； 丙 1052.4 ? xy ，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的 （ 1）试判断谁的计算结果正确？并求出 ba, 的值； - 4 - （ 2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过 1，则 该检测数据是 “ 理想数据 ” ，现
9、从检测数据中随机抽取 3个，求 “ 理想数据 ” 的个数 ? 的分布列和数学期望 19. （本小题满分 12 分） 如图，边长为 3的正方形 ABCD 所在平面与等腰直角三角形 ABE 所在平面互相垂直， ABAE? ，且ANABMDEM 3,2 ? . （ ）求证： BECMN 平面/ ； （ ）求二面角 CMEN ? 的大小 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 ? ? NnbanbyaxC n ,1: 2222, 21,FF 是椭圆 4C 的焦点 , ? ?2,2A 是椭圆 4C上一点，且 0212 ? FFAF ； （ 1）求nC的离心率并求出1C的方程； （ 2） P 为椭圆
10、2C 上任意一点，直线 1PF 交椭圆 4C 于点 FE, ，直线 2PF 交椭圆 4C 于点NM, ，设直线 1PF 的斜率为 1k ，直 线 2PF 的斜率为 2k ； （ i）求证 : 2121 ?kk; （ ii）求 EFMN? 的取值范围 - 5 - 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? xxppxxf ln2? （ ）若 2?p ，求曲线 ?xf 在点 ? ?1,1f 处的切线方程； （ ）若函数 ?xf 在其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围； （ ）设函数 ? ? xexg 2? ，若在 ? ?e,1 上至少存在一点 0x ，使得 ? ? ? ?00 xg
11、xf ? 成立，求实数 p的取值范围 请考生在 22、 23、题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 ,做答时请写清题号 22.（本 小题满分 10分） 选修 4-4：极坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为 cos sin +2=0，曲线 C2的参数方程为 （ 为参数），将曲线 C2上的所有点的横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标变为原来的 倍，得到曲线C3 （ 1）写出 曲线 C1的直角坐标方程和曲 线 C3的普通方程； （ 2）已知点 P（ 0， 2），曲线 C1与曲线 C3相交于 A， B，求 |PA|+|PB| 23.（本 小题满分 10分） 选修 4-5：不等式选讲 已
12、知函数 f（ x） =|2x+1|+|2x 3|， （ 1）若关于 x的不等式 f（ x） |1 3a|恒成 立，求实数 a的取值范围； （ 2）若关于 t的一元二次方程 有实根，求实数 m的取值范围 - 6 - 1-5DCBCD 6-10ACBBC 11-12AB 13.-160 14.120 15. 22 16. 17.解：（ 1）由题意得（ a1+d）（ a1+13d） =（ a1+4d） 2， ? （ 2分） 整理得 2a1d=d2 a1=1，解得（ d=0舍）， d=2 ? （ 4分） an=2n 1（ n N*） ? （ 6分） （ 2） ， = ? 假设存在整数 总成立 又 ，
13、数列 Sn是单调递增的 ? （ 12分） 又 t N*， 适合条件的 t的最大值为 8 ? 18.解：（ 1）已知变量 x， y具有线性负相关关系，故甲不对， 且 xi=39， 4+5+6+7+a+9=39， a=8， yi=480， b+84+83+80+75+68=480， b=90， =6.5， =80， 将 ， ，代入两个回归方程，验证乙同学正确， 故回归方程为： y= 4x+106； （ 2） X 4 5 6 7 8 9 y 90 84 83 80 75 68 y 92 88 84 80 76 72 “ 理想数据 “ 的个数 取值为： 0， 1， 2， 3； - 7 - P（ X=0
14、） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = “ 理想数据 “ 的个数 的分布列： X 0 1 2 3 P = 数学期望 E（ X） =0 +1 +2 +3 =1.5 19.证明：（ ）过 M作 MF DC交 CE于 F，连接 MF， BF 因为 MF DC， ，所以 ? （ 2分） 又 ，所以 故 ， ? （ 4 分） 所以四边形 NBFM为平 行四边形，故 MN BF， 而 BF?平面 BEC， MN?平面 BEC， 所以 MN 平面 BEC； ? （ 6分） 解：（ ）以 A为坐标原点， 所在方向为 x， y， z轴正方向，建立空间直角坐
15、标系， 直角坐标系，则 E（ 3， 0， 0）， N（ 0， 1， 0）， M（ 1， 0， 2）， C（ 0， 3， 3）， =（ 2， 0， 2）， =（ 1， 3， 1）， =（ 2， 0， 2）， =（ 3， 1， 0）， 设平面 MEC的法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=1，得 ， 设平面 MNE的法向量为 ， 则 ，即 ，取 x1=1，得 ， ， 所求二面角的大小为 ? （ 12 分） 20.解：（ 1）解：椭圆 C4的方程为： =4，即： =1 - 8 - 不妨设 c2=a2 b2 则 F2（ 2c， 0） ? =0， 于是 2c=2， = = ， 2b4=a2=b2+1， 2b4 b2 1=0，（ 2b2+1）（ b2 1） =0， b2=1， a2=2 椭圆 Cn的方程为： +y2=n e2= = ， e= 椭圆 C1的方程为： +y2=1 （ 2）（ i）证明：椭圆 C2的方程为： +y2=2 即： + =1 椭圆 C4的方程为： +y2=4 即： =1 F1（ 2， 0）， F2（ 2， 0），设 P（ x0， y0）， P在椭圆 C2上， =1，即 y02= （ 4 x02） k1k2= ? = = = （ ii）设直线 PF1的方
