1、 - 1 - 2017-2018 学年度第一学期期中高三文科数学试题 考试时间： 120分钟 试题满分： 150 分 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。 考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角函数、向量、 复数、数列、不等式、立体几何 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的考号、姓名填写在试题、答题纸和答题卡上，考生要认真核对涂准答题卡上的相关信息。 2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水 签字笔在答题卡上书写作答。在试题卷上作答，答案无效。 3. 考试结束，监考员将答题纸
2、和答题卡按对应次序排好收回。 第 卷 （共 60 分） 一选择题 :（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 设集合 M x| )3)(2( ? xx bc B acb C cab D cba 8.变量 x,y满足约束条件8,2 4,0,0,xyyxxy? ? ? ?且 z=5y-x的最大值为 a,最小值为 b,则 a-b的值是 ( ) A.48 B.30 C.24 D.16 9. 已知向量( 1, 2) , (4 , )M N x PQ y? ? ?,若N PQ?，则93xy?的最小值为 ( ) A.4 B.6 C. 24 D
3、 23 10.已知函数? ? ? 0,32 0,lo g3)( 2 2 xxx xxxf，则不等式 5)( ?xf 的解集为 ( ) A. ? ?1,1? B. ? ? ? ?1,01, ? C. ? ?4,1? D. ? ? ? ?4,01, ? 11. 函数 y Asin(x )( 0， | |2)的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为( ) A y 4sin(8x4 ) B y 4sin(8x4) C y 4sin(8x4 ) D y 4sin(8x4 ) 12. 已知函数 ?xf 是定义在 R上的奇函数， ? 01?f ，当 0x? 时，有2( ) ( ) 0xf x f xx? ?
4、 ?成立，则不等式 ? ? 0?xf 的解集是 ( ) A ? ? ? ? ,10,1 B ? ?0,1? C ? ?,1 D ? ? ? ? ,11, - 3 - - 4 - 第卷（非选择题 满分 90分 ) 二 .填空题 :（本大题共 4小题 ,每小题 5分 ,共 20分 ） 13.等差数列 ?na 的前 n项和 nS ，若 55?a ，则 9S =_ 14.已知正方形ABCD的边长为 2， E为CD的中点，则AEBD?_ 15.已知函数 bxxxf ? cos)-2)( （ ，若 )(xf 的图象在 0?x 处的切线方程为 01?yax ，则 ba? =_ 16 关于 有以下命题： 若
5、则 图象与 图象相同； 在区间 上是减函数； 图象关于点 对称。 其中正确的命题是 _ . 三 .解答题： (本大题共 6小题 ,共 70分 ,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17（本小题满分 10 分） 已知函数 )0)(2s i n (21c o sc o ss i n2s i n21)( 2 ? ? xxxf 其图象过点 ).21,6(? （）求周期 T和 ? 的值； （ （）将函数 )(xfy? 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 21 ，纵坐标不变，得到函 数)(xgy? 的图象，求函数 )(xg 在 4,0 ? 上的最大值和最小值。 - 5 - 18、（本小题满分 12
6、分） 已知 na 为等差数列，且 3 6a? ， 6 0a? 。 （） 求 na 的通项公式； （） 若等比数列 nb 满足 1 8b? ， 2 1 2 3b a a a? ? ? ，求 nb 的前 n 项和公式 . 19、（本小题满分 12 分） ABC? 中内角 ,ABC 对边分别为 ,abc，已知向量 2( 2 s i n , 3 ) , ( c o s 2 , 2 c o s 1 )2Bm B n B? ? ? ?且 /mn （） 求锐角 B 的大小， （） 如果 2b? ，求 ABC? 的面积 ABCS? 的最大值 - 6 - 20.（ 本小题满分 12分 ） 已知如图几何体，矩形
7、ABCD 和矩形 ABEF所在平面互相垂直 , AF=2AB=2AD,M为 AF的中点 （）求证 :CF平面 MBD； （）求证 :EF平面 EBC . 21、（本小题满分 12 分）设函数 f（ x） =x（ ex -1） -ax2 （）若 a=12 ，求 f（ x）的单调区间； （）若当 x 0时 f（ x） 0，求 a的取值范围。 - 7 - 22、（本小 题满分 12 分） 已知函数 ? ? ? ?ln 1xmf x e x? ? ?，其中 mR? . （）若 0x? 是函数 ?fx的极值点，求 m 的值并讨论函数 ?fx的单调性； （）当 1m? 时，证明： ? ? 0fx? . 2
8、017-2018上学期期中高三数学文科答案 一、 CDCDB ABCBC AA 二、 13、 45 14、 2 15、 1 16、 三、 17、解：（）因为 211( ) s i n 2 s i n c o s c o s s i n ( ) (0 )2 2 2f x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 1 1 c o s 2 1( ) s i n 2 s i n 2 c o s c o s2 2 2xf x x ? ? ? ? ? 11s in 2 s in c o s 2 c o s22xx? 1 (s in s in c o s 2 c o s )2 xx?1 cos(
9、2 ).2 x ? 又函数图象过点 1( , )62? ，所以 11cos(2 )2 2 6? ? ? ?，即 cos( ) 1,3? ? 又 0 ?，所以 .3? （ 5分） （）由（）知 1( ) cos(2 )22f x x ?，将函数 ()y f x? 图象上各点横坐标缩短到 原来的 12 ，纵坐标不变，得到函数 ()y gx? 的图象，可知 1( ) ( 2 ) c o s ( 4 ),23g x f x x ? ? ? 因为 0, 4x ? 所以 4 0, x ? 因此 24 , 3 3 3x ? ? ? ? ? 故 1 cos(4 ) 123x ? ? ? ? 所以 ( ) 0,
10、 4y g x ? 在 上的最大值和最小值分别为 12 和 1.4? （ 10 分） 18、 解：（）设等差数列 na 的公差 d 。因为 366, 0aa? ? 所以 112650adad? ? ?解得 1 10, 2ad? ? 所以 1 0 ( 1) 2 2 1 2na n n? ? ? ? ? ? ? ? 6分 （）设等比数列 nb 的公比为 q ，因为 2 1 2 3 12 4 , 8? ? ? ? ? ? ?b a a a b - 8 - 8 24q? ? ， q =3， nb 的前 n 项和公式为 1 (1 ) 4 (1 3 )1 n nn bqS q? ? ? ? 12 分 19
11、、 解：（ 1） nm ? / BBB 2c o s3)12c o s2(s in2 2 ? BB 2cos32sin ? 即 32tan ?B ?3 分 又 B? 为锐角 ? ?,02 ? B 322 ? B 3?B ?6 分 （ 2） ,23Bb?， 由余弦定理得 2 2 2cos2a c bB ac?即 0422 ? acca 9 又 acca 222 ? 代入上式得 4?ac （当且仅当 2?ca 时等号成立） ?10 分 343s in21 ? acBacS ABC （当且仅当 2?ca 时等号成立。） ?12 20、证明： （ I）连接 AC交 BD于点 O，连接 OM, M为 A
12、F 中点， O为 AC 中点， CF OM, OM? 面 MBD,FC? 面 MBD, CF面 MBD. （ 6分） （ II）面 ABCD面 ABEF,交线为 AB， BC AB, BC面 ABEF, EF BC, EF BE,BE BC=B, BE、 BC? 面 EBC, EF面 EBC （ 12 分） 21、解：（ I） ,21)1()(,21 2xexxfa x ? 时 ).1)(1( 1)( ? ? xe xxeexf xxx.)0,1(,),0(),1,()( .0)(,),0(;0)(,)0,1(;0)(,)1,( 单调减少在单调增加在故 时当时当时当 ? ?xf xfxxfxx
13、fx（ 6分） （ II） ).1()( axexxf x ? 令 .)(,1)( aexgaxexg xx ? 则 若 时从而当而为增函数时则当 0,0)0(,)(,0)(,),0(,1 ? xgxgxgxa .0)(,0)( ? xfxg 即 若 a1，则当 )(,0)(,)ln,0( xgxgax ? 时 为减函数，而 ,0)0( ?g 从而当 .0)(,0)()ln,0( ? xfxgax 即时 综合得 a的取值范围为 .1,(? （ 12分） 22.解： （）由已知 ? ?00f? ? 知： 0m? 当 0m? 时， ? ? ? ?ln 1xf x e x? ? ?， - 9 - ? ? 1 1xf x e x? ? ?为 ? ?1,? ? 上的增函数，又由于 ? ?00f? ? ， 故 ? ?1,0x? 时， ? ? 0fx? ? ， ?fx递减； ? ?0,x? ? 时， ? ? 0fx? ? ， ?fx递增； （ 6分） （）当 1m? 时，对于 ? ?1,x? ? ? ， 首先： xR? 时， 1xex?恒成立； 其次： ? ?1,x? ? ? 时， ? ?ln 1xx?恒成立； ? ?1 1 ln 1x m x xe e e x x x? ? ? ? ? ? ? 所以， ? ? 0fx? 成立 . （ 12 分）
