1、 - 1 - 2017-2018 学年上学期竞赛试卷 高三数学（文） 总分： 150分 时间： 120分钟 第 I卷（选择题，共 60分） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 ） 1已知集合 ? ?0232 ? xxxA ， ? ?24log ?xxB ，则 BA? = ( ) A.? ?2,1,2? B. ?2,1 C. ? ?2,2? D. ?2 2.若复数 iaaaz )3()32( 2 ? 为纯虚数（ i 为虚数单位），则实数 a 的值是 （ ） A.-3 B.-3或 1 C.3 或 -1 D.1 3.在 ABC? 中，已知向量 4,
2、2),2,2( ? ACABACAB ,则 A? = （ ） A. 65? B.4? C. 32? D. 43? 4.直线 01)1( 2 ? yax 的倾斜角的取值范围是 （ ） A. ? 4,0?B. ? ?,43C. ? 4,0? ? ?,2D. ? ? ,432,4 ?5. 实数 ， ，满足 ，若 恒成立，则实数 的取值范围（ ） A. B. C. D. 6若 x表示不超过 x 的最大整数，执行如图所 示的程序框图，则输出 S的值为（ ） A 3 B 5 C 7 D 10 7.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该
3、几何体的体积是（ ） A B C D - 2 - 8.已知斜三棱柱 111 CBAABC ? 的体积为 V ，在斜三棱柱内任取一点 P ，则三棱锥 ABCP?的体积大于 5V 的概率为（ ） A.51 B. 52 C. 53 D. 54 9.已知 p：函数 2( ) ( )f x x a?在 ? ?,1? 上是减函数。 q： 2 10, xxa x? ? ? 恒成立，则 p?是 q的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.函数 )0)(6s in ()( ? ? xAxf 的图像与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为 2? 的等差数列，要
4、得到函数 xAxg ?cos)( ? 的图像，只需将 )(xf 的图像 （ ） A向左平移 6? 个单位 B. 向右平移 3? 个单位 C. 向左平移 32? 个单位 D. 向右平移 32? 个单位 11.过抛物线 y2=2px（ p 0）的焦点 F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点 M， N，过弦 MN 的中点 P作抛物线准线的垂线 PQ，垂足为 Q，则 的最大值为 （ ） A 1 B C D 12.设函数 )xf（? 是函数 )(xf （ 0?x ）的导函数， xxfxf )(2)( ? ，函数 )0)( ? xxfy的零点为 1和 -2，则不等式 0)( ?xxf 的解集为 (
5、) A.? ? )1,0(2, ? B. ? ? ),1(2, ? C. )1,0()0,2( ? D. ),1()0,2( ? 二 、 填空 题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13.在 ABC? 中， cba, 分别表示角 A,B,C的对边，若 222 41 cba ? ，则 cBacos 的值是_ 14.设双曲线 134 22 ? yx 的左右焦点分别是 21,FF ,过 1F 的直线 交双曲线左支于 BA, 两点，则 22 AFBF ? 的最小值为 _ 15甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下
6、情况： - 3 - （ 1）甲不是最高的；（ 2）最高的是没报铅球；（ 3）最矮的参加了跳远；（ 4）乙不是最矮的，也没参加跑步 可以判断丙参加的比赛项目是 16 对 ,xR? 函数 ()fx满足 ? ?2 1( 1) ( ) ( ) 2f x f x f x? ? ? ?，设 ? ?2( ) ( )na f n f n?，数列 ?na 的前 15项和为 3116? ，则 (15)f =_ 三、解答题： （ 本大题共 5小题，共 60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17.在 ABC? 中，角 A的对边长等于 2，向量 )12co s2,2( 2 ? CBm? ,向量 )1,2(
7、sin ? An? . （ 1）求 nm? 取得最大值时的角 A； （ 2）在（ 1）的条件下，求 ABC? 面积的最大值。 18（ 12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班 40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于 70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于 70，说明孩子幸福感强） （ 1）根据茎叶图中的数据完成 2 2列联表，并判 断能否有 95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？ 幸福感强 幸福感弱 总计 留守儿童 非留守儿童 总计 （ 2）从 15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取 5人，又在这
8、 5人中随机抽取 2人进行家访，求这 2个学生中恰有一人幸福感强的概率 参考公式： 附表： P（ K2 k0） 0.050 0.010 k0 3.841 6.635 - 4 - 19. 如图，底面是正三角形的直三棱柱 中， 是 的中点， . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求 到平面 的距离 . 20已知椭圆 221xyab?（ 0ab? ）的焦距 2，且过点 31,2?，其长轴的左右两个端点分别为 A ， B ，直线 32y x m?交椭圆于两点 C ， D . （ 1）求椭圆标准的方程； （ 2）设直线 AD ， CB 的斜率分别为 1k ， 2k ，若 12: 2:1kk? 求 m 的
9、值 . 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? xxppxxf ln2? （ ）若 2?p ，求曲线 ?xf 在点 ? ?1,1f 处的切线方程； （ ）若函数 ?xf 在其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围； （ ）设函数 ? ? xexg 2? ，若在 ? ?e,1 上至少存在一点 0x ，使得 ? ? ? ?00 xgxf ? 成立 ，求实数 p的取值范围 22.（本 小题满分 10分） 选修 4-4：极坐标系与参数方程 - 5 - 已知曲线 C1的极坐标方程为 cos sin +2=0，曲线 C2的参数方程为 （ 为参数），将曲线 C2上的所有点的横坐标变为原来的
10、3 倍，纵坐标变为原来的 倍，得到曲线 C3 （ 1）写出 曲线 C1的直角坐标方程和曲 线 C3的普通方程； （ 2）已知点 P（ 0， 2），曲线 C1与曲线 C3相交于 A， B，求 |PA|+|PB| 23.（本 小题满分 10分） 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f（ x） =|2x+1|+|2x 3|， （ 1）若关于 x的不等式 f（ x） |1 3a|恒成立，求实数 a的取值范围； （ 2）若关于 t的一元二次方程 有实根，求实数 m的取值范围 - 6 - 答案 一 B D D B A C C B A A B B 二 13.58 14.11 15.跑步 16.34 三 17
11、.（ 1） A=3? （ 2） 3 18解：（ 1）根据题意，填写 2 2列联表如下： 幸福感强 幸福感弱 总计 留守儿童 6 9 15 非留守儿童 18 7 25 总计 24 16 40 计算 ， 对照临界值表得，有 95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关； ? （ 6分） （ 2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子 2人，记作： a1， a2； 幸福感强的孩子 3人，记作： b1， b2， b3； “ 抽取 2人 ” 包含的基本事件有（ a1， a2），（ a1， b1），（ a1， b2），（ a1， b3）， （ a2， b1），（ a2， b2） ，（ a2， b3），
12、（ b1， b2），（ b1， b3），（ b2， b3）共 10个； ? （ 8分） 事件 A： “ 恰有一人幸福感强 ” 包含的基本事件有 （ a1， b1），（ a1， b2），（ a1， b3）， （ a2， b1），（ a2， b2），（ a2， b3）共 6个； ? （ 10 分） 故所求的概率为 ? （ 12分） 19：（ 1）连接 交 于 O，连接 OD，在 中， O为 中点， D为 BC 中点 3分 6分 - 7 - （ 2）解法一：设 点到平面 的距离为 h 在 中， 为 8分 过 D作 于 H 又 为直棱柱 且 10分 即 解得 12分 解法二：由 可知 点 到平面 的距
13、离等于点 C到平面 的距离 8分 为 10 分 设点 C到面 的距离为 h - 8 - 即 解得 12分 20 解： （ 1）由题意得：2 2 222221914a b ccab? ? ? ?，解得 2a? ， 3b? ， 1c? ， ?椭圆由题意标准方程为 22143xy?. （ 2） ? ?1, 1Cxy ， ? ?22,D x y ，联立方程 2232143y x mxy? ? ?，得 223 3 3 0x m x m? ? ? ?， 由 ? 229 12( 3) 0mm? ? ?得： 2 12m? 12x x m? ? ? , 212 33mxx ? ， 由题意知， ? ?2,0A?
14、, ? ?2,0B ， 21 2 2AD ykk x? ? ? ?， 12 1 2BC ykkx? ?12: 2:1kk? ，即 ? ? ?21122 22yxyx? ? ，得 ? ? ?222122122 42yxyx? ? , 又 2211143xy?， ? ?22113 44yx? ? ?，同理 ? ?223 44yx?, 代入式，解得 ? ? ? ? ?211222 4xx? ?,即 ? ?1 2 1 21 0 3 1 2 0x x x x? ? ? ?， ? ? 21 0 3 1 2 0mm? ? ? ? ? ?解得 1m? 或 9 ， 又 2 12m ? ， 9m?(舍去 ), 1
15、m?. 21.解：（ I）当 p=2时，函数 ， f（ 1） =2 2 2ln1=0. ， 曲线 f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线的斜率为 f（ 1） =2+2 2=2 - 9 - 从而曲线 f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y 0=2（ x 1） 即 y=2x 2 （ II） 令 h（ x） =px2 2x+p， 要使 f（ x）在定义域（ 0， +）内是增函数，只需 h（ x） 0在（ 0， +）内恒成立 由题意 p 0， h（ x） =px2 2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为 ， ，只需 ， 即 p 1 时， h（ x） 0， f（ x） 0 f（
16、 x）在（ 0， +）内为增函数，正实数 p的取值范围是 1， +） （ III） 在 1， e上是减函数， x=e时， g（ x） min=2； x=1 时， g（ x） max=2e， 即 g（ x） 2， 2e， 当 p 0 时， h（ x） =px2 2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴 在 y 轴的左侧，且h（ 0） 0， 所以 f（ x）在 x 1， e内是减函数 当 p=0时， h（ x） = 2x，因为 x 1， e，所以 h（ x） 0， ，此时， f（ x）在 x 1， e内是 减函数 当 p 0时， f（ x）在 1， e上单调递减 ?f（ x） max=f（ 1） =0 2，不合题意； 当 0 p 1时，由 ，所以 又由（ 2）知当 p=1时， f（ x）在 1， e上是增函数， ，不合题意； 当 p 1 时，由（ 2）知 f（ x）在 1， e上是增函数， f（ 1） =0 2，又 g（ x）在 1， e上是减函数， 故只需 f（ x） max g（ x） min， x 1， e，而 ， g（ x） min=2，即 ，解得 - 10 - 综上所述，实数 p的取值范围是
