1、 - 1 - 山东省烟台市 2018 届高三数学上学期期末自主练习试题 理 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已 知全集为 R ， 集合 ? ?1,1,2,4M ? ， ? ?2 2 3 0N x x x? ? ? ?， 则 ? ?RM C N ? ( ) A.? ?1,1,2? B.?1,2 C.?4 D.? ?12xx? ? ? 2.已 知 01ba? ? ? ， 则下列不等式成立的是 ( ) A.11ab?B. 1122ab? ? ? ? ? ? ? ? ? ?C.? ? ? ?22lg
2、lgab? D. 11lg lgab?3.已 知函数 ? ? 1 ,0sin , 02xexfx xx? ? ? ?， 则 ? ? ?0ff? ( ) A.0 B.1 C.e D.1e4.已 知等差数列 ?na 的 前 n 项 和为 nS ， 且 233 2 15SS?， 则数列 ?na 的 公差为 ( ) A.3 B. 4? C. 5? D.6 5.若 将函数 ? ? sin 24f x x ?的 图象向左平移 ? ?0? 个 单位长度，所得图象关于原点对称，则 ? 的 最小值是 ( ) A.8?B.4?C.38?D.34?6.在 区间 ? ?0,? 上 随机取一个数 x ， 则事件 “ 2
3、sin cos2xx?” 发生的概率为 ( ) A.12B.13C.712D.237.函数 2 cosy x x? 的 图象大致为 ( ) A B C D - 2 - 8.在 ABC 中， 已知 AB AC AB AC? ? ?， 1AB? ， 3AC? ， ,MN分别 为 BC 的 三等分点，则 AM AN?( ) A.109B.209C.89D.839.已 知某几何体的 三 视图如图所示，则该几何体的体积等于 ( ) A.12 B.18 C.20 D.24 10.已 知 ? ?1 ,0Fc? ， ? ?2 ,0Fc 为 双曲线 ? ?22 1 0, 0xy abab? ? ? ?的 两个焦
4、点，若双曲线上存在点 P使得 212 2cPF PF? ?， 则双曲线的离心率的取值范围为 ( ) A.? ?1,? B.? ?2,? C. ?2,? ? D. ?3,? ? 11.数列 ?na ， ?nb 的 前 n 项 和分别为 nS ， nT ， 记 ? ?*n n n n n n nc a T b S a b n N? ? ? ? ? ? ?， 若20181S ? ， 2018 2018T ? ， 则数列 ?nc 的 前 2018 项 和为 ( ) A.2017 B.2018 C. 2018 D.2019212.定义 在区间 ? ?,ab 上 的函数 ? ?y f x? ， ?fx是
5、函数 ?fx的 导函数，若存在 ? ?,ab? ， 使得 ? ? ? ? ? ? ?f b f a f b a? ? ?， 则称 ? 为 函数 ?fx在 ? ?,ab 上 的 “ 中值点 ”. 下列函数： ? ? sinf x x? ； ? ? xf x e? ； ? ? ? ?ln 3f x x?； ? ? 3 1f x x x? ? ? .其中在区间 ? ?2,2? 上 至少有两个 “ 中值点 ” 的函数的个数 为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.? ? ?52x y x y?的 展开式中 33xy 的系数 是
6、_.(用数字作答 ) - 3 - 14.设变 量 ,xy满足 约束条件 203xyyxxy?， 则 2z x y?的 最小值为 _. 15.中 国古代数学 经 典九章算术中，将四个面都为直角三角形的 三棱 锥称之为 鐅臑 .若 三棱锥 P ABC? 为鐅臑， 且 PA? 平面 ABC ， 2PA? ， 3AB? ， AB BC? ， 该 鐅臑的 外 接球的表 面积为 29? ， 则该 鐅臑的 体积为 _. 16.过 抛物线 ? ?2 20y px p?的 焦点 F 的 一条直线交抛物线于 ? ?11,Ax y ， ? ?22,Bx y 两点 ，给出以下结论： 12yy? 为 定值； 若 经过点
7、 A 和 抛物线的顶点的直线交准线于点 C ， 则 BC x 轴 ； 存在 这样的 抛物线 和直线 AB ， 使得 OA OB? (O 为 坐标原点 )； 若 以点 A ， B 为 切点分别作抛物线的切线，则两切线交点的轨迹为抛物线的准线 . 写 出所有正确的结论的序号 _. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已 知函数 ? ? 22 133 c o s s i n2 4 2f x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. (1)求 函数 ?fx在 区间 0,2?上 的最 大值及相应的 x 的 值；
8、(2)在 ABC 中 ， 若 AB? ， 且 ? ? ? ? 12f A f B?， 求 BCAB的值 . 18.某 食品集团 生产的 火腿按行业生产标准分成 8 个 等级，等级系数 X 依次 为 1， 2， 3，? ， 8，其中 5X? 为 标准 A ， 3X? 为 标准 B .已 知 甲车间执行标准 A ， 乙车间执行标准 B 生产 该产品，且两个车间的产品都符合相应的执行标准 . (1)已知甲车间的等级系数 1X 的 概率分布列如下表 ， 若 1X 的 数学期望 ? ?1 6.4EX? ， 求 ,ab的值； 1X 5 6 7 8 P 0.2 a b 0.1 (2)为了 分析乙车 间 的等
9、级系数 2X ， 从该车间生产的火腿中随机抽取 30 根 ，相应的等级系数组成一个样本如下： - 4 - 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用 该样本的频率 分布 估计 总体 ，将频率视为概率，求等级系数 2X 的 概率分布列和均值； (3)从乙车 间 中 随机抽取 5 根 火腿，利用 (2)的结果推断恰好有三根火腿能达到标准 A 的 概率 . 19.已 知 四 棱 锥 S ABCD? ， SA? 平面 ABCD ， 底面 ABCD 为 直角梯形， AB DC ，90DAB? ， 2AB DC? ， 3AD
10、DC? ， M 是 SB 中 点 . (1)求证： CM 平面 SAD ； (2)若直线 DM 与 平面 SAB 所 成角的正切值为 32， F 是 SC 的 中点，求 二 面角 C AF D?的余弦值 . 20.已 知点 ,AB是 椭圆 ? ?22: 1 0xyL a bab? ? ? ?的 左右顶点，点 C 是 椭圆的上顶点，若该椭圆的焦距为 23， 直线 AC ， BC 的 斜率之积为 14?. (1)求椭圆 L 的 方程； (2)是否存在 过点 ? ?1,0M 的 直线 l 与 椭圆 L 交 于两点 ,PQ， 使得以 PQ 为 直径的圆经过点 C ？若 存在 ，求出直线 l 的 方程，
11、若不存在，说明理由 . 21.已 知函数 ? ? ? ?ln 1af x x x a ax? ? ? ? ? ? R. (1)求函数 ?fx的 单调区间； (2)若 存在 1x? ， 使 ? ? 1 xf x xx?成立 ，求整数 a 的 最小值 . 22.已 知曲线 C 的 参数方程为 1 5 cos2 5sinxy ? ?(? 为参数 )， 以直角坐标 系 的原点为极点， x 轴正半冷眉冷眼为极轴建立极坐标系 . (1)求 曲线 C 的 极坐标方程，并说明其轨迹； - 5 - (2)若 曲线 1C 的 极坐标方程为 3sin cos?， 曲线 C 与 1C 相 交于 ,AB两点 ，求线段
12、AB 的 长度 . 23.已 知函数 ? ? 21f x x?， ? ? 1 2 3g x a x? ? ? ?. (1)当 5a? 时， 求 ? ? ? ?f x g x? 的 解集； (2)若 存在实数 x 使得 ? ? ? ?f x g x? 成立 ，求实数 a 的 取值范围 . - 6 - 参考答案 一、 选择题 C D B C C C A B D C B B 二、 填空题 13. 120? 14.4 15.4 16. 三、 解答题 17. 解： （ 1） ? ? 1 c o s 21 c o s ( 2 ) 1 323 2 2 2xxfx? ? ? ? ? ? ? 13s in 2
13、c o s 2 s in 22 2 3x x x ? ? ? ?. 由于 0 2x ? ， 223 3 3x? ? ? ? ? ?， 所以当 2 32x ?即 512x ? 时， ?fx取得最大值，最大值为 1. （ 2）由已知， A 、 B 是 ABC? 的内角， AB? ,且 ? ? ? ? 12f A f B?， 可解得 4A ? ， 712B ? . 所以 6C A B ? ? ? ?, 得 sin 2sinBC AAB C? . 18. 解：（ 1） 1( ) 5 0 .2 6 7 8 0 .1 6 .4E X a b? ? ? ? ? ? ? 即 6 7 4.6ab? 又 0.2
14、0.1 1ab? ? ? ?，即 0.7ab? 联立得 6 7 4.60.7abab? ?，解得 0.30.4ab? ?. （ 2） 由样本的频率分布估计总体分布，可得等级系数 2X 的分布列如下： 8.41.081.071.062.052.043.03)( 2 ?XE ， 2X 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 - 7 - 即乙车间的等级系数的均值为 8.4 . （ 3） 3 3 25 1 1 5( ) ( )2 2 1 6PC? ? ? ?. （ 4） 19. （ 1）证明：取 SA 中点 N ,连接 DNMN, ， 在 SAB? 中， MN /
15、AB , ABMN 21? , DCNMDCNM ? ,/ , ?四边形 CDNM 为平行四边形 . ? DNCM/ 又 ?CM? 平面 SAD ,DN ? 平面 SAD ? /CM 平面 SAD . （ 2）由已知得： ,AB AD AS 两两垂直 ， 以 ,AB AD AS 所在 直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， , , ,? ? ? ? ?A D S A A D A B S A A B A A D平面 SAB ， ? DMA? 就是 DM 与平面 SAB 所成的角 . 在 Rt AMDD 中， 3tan 2AMD?，即 32ADAM? ， 设 2?AB
16、 ，则 3AD? ， 1?DC 2?AM SABRt? 中， M 为斜边 SB 中点， 4?SB 3224 22 ? AS . 则 (0,0,0), (2,0,0)AB， (1, 3 , 0), (0, 3 , 0)CD， (0,0,2 3)S ， 13( , , 3)22F 所以 ( 0 , 3 , 0 ), (1, 3 , 0 )A D A C?， 13( , , 3)22AF ? . - 8 - 设 1 1 1( , , )? x y zm 是平面 ACF 的一个法向量，则 111 1 1300130 3022? ? ? ? ? ? ? ?xyACAF x y zmm，令 1 1y? ，
17、得 ( 3,1,0)?m . 设 2 2 2( , , )? x y zn 是平面 ADF 的一个法向量，则 22 2 2300130 3022? ? ? ? ? ? ? ?yADAF x y znn，令 2 1z? ? ?2 3,0,1? ? ?n . ? 6 3 1 3c o s , 131 3 2? ? ? ? ? ?mnmn mn. ?二面角 EAFC ? 的余弦值为 31313 . 20. 解：（ 1）由题意可知， 3c? ， ,AC BCbbkkaa? ? ?， 有 22 14ba? ?， 即 224ab? ，又 2 2 2a b c?， 解得 224, 1ab?，所以椭圆 C 的
18、方程为 2 2 14x y?. （ 2）存在； 以 PQ 为直径的圆经过点 C 可得， CP CQ? ，若直线 l 的斜率为 0 ，则 ,AB为点 ,PQ，此时222( 3 ) ( 3 ) 4 5c o s 032 3 3A C B ? ? ? ? ?，此时 ,CPCQ 不垂直，不满足题意，可设直线 l的方程为： 1x my?，联立 2 2 141x yx my? ?，消 x 可得， 22( 4 ) 2 3 0m y m y? ? ? ?， 则有12 212 22434myymyy m? ? ? ? ?. 设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y，由题意可知 120xx? ，因为 CP CQ? ， - 9 - 则 1CP CQkk? ，即 1211 1yyxx? ? ?， 整理可得： 2 1 2 1 2(1 ) ( 1 ) ( ) 2 0m y y m y y? ? ? ? ? ?， 将代入可得： 2223 (1 ) 2 ( 1 ) 2044m m mmm? ? ? ? ?， 整理得 23 2 5 0mm? ? ?，解得 1m? 或者 53m? ， 所以直线 l 的方程为： 10xy? ? ? 或 3 5 3 0xy? ? ? . 21. 解 ：（ 1）由题意可知， 0x? ， 2221( )
