1、 - 1 - 山东省烟台市 2018 届高三数学上学期期末自主练习试题 文 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已 知全集 U?R ， 集合 ? ?2 60A x x x? ? ? ?， ? ?1B xx?， 则 ? ?UC A B? ( ) A.? ?13xx? B.? ?23xx? C.? ?3xx? D.? 2.从 甲、乙 等 5 名 学生中随机选出 2 人 ，则甲被选中的概率为 ( ) A.15B.25C.825D.9253.已知 ? ? 1sin3? ?， 则 tan? ( ) A.22
2、 B. 24C. 24?D. 22? 4.已 知等比数列 ?na 中 ， 2 10 66aa a? ， 等差数列 ?nb 中 ， 4 6 6b b a? ， 则数列 ?nb 的 前 9 项 和为 ( ) A.9 B.27 C.54 D.72 5.如图所示 的 茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩，已知甲组数据的平均数为 18， 乙组数据的平均数为 16， 则 ,xy的 值分别为 ( ) A.8， 6 B.8， 5 C.5， 8 D.8， 8 6.设 变量 ,xy满足 约束条件 0302 1 0xyxxy? ? ?， 则 z x y? 的 最大值为 ( ) A.2 B.4
3、C.6 D.8 7.过 双 曲线 ? ?22 1 0, 0xy abab? ? ? ?的 右焦点 ? ?1,0F 作 x 轴 的垂线与双曲线交于 ,AB两点 ， O为 坐标原点，若 AOB 的 面积为 83， 则双曲 线的渐近线方程为 ( ) A. 32yx?B. 22yx? C. 23yx? D. 2yx? 8.函数 ? ? ? ?2 2 xf x x x e? 的 图象大致是 ( ) A B C D - 2 - 9.将函数 ? ? sin6f x x ?的 图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 12， 然后再将所得图象上的每一点向右平移6?个 单位长度，得到函数 ?gx的 图象，则
4、?gx的 一条对称轴方程可能是 ( ) A.3x ?B.6x ?C.3x ?D. 23x ?10.如图 ，正三棱 柱 1 1 1ABC ABC? 各 条棱的长度均相等， D 为 1AA 的 中点， ,MN分别 是线段 1BB和 线段 1CC 上 的动点 (含端点 )，且满足 1BM CN? ， 当 ,MN运动 时，下列结论中不正确的是( ) A.在 DMN 内 总存在与平面 ABC 平 行的线段 B.平面 DMN? 平面 11BCCB C.三 棱锥 1A DMN? 的 体积为定值 D. DMN 可能 为直角三角形 11.已 知函数 ? ? 2 2lnf x x x? 与 ? ? ? ? ?co
5、 s 0g x x? ? ? ? ?的 图象有两个公共点 ，则 满足条件的周期最大的函数 ?gx可能 为 ( ) A. ? ? ? ?cosg x x? B. ? ? ? ?cos 2g x x? C. ? ? cos42g x x?D 地中海 ? ? cos 24g x x ?12.已 知点 A 是抛物线 2 4xy? 的 对称轴与准 线 的交点，点 F 为 抛物线的焦点，点 P 在抛物线上且满足 PA mPF? ， 若 m 取 最大 值 时， 点 P 恰好 在 以 ,AF为 焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 ( ) A. 31? B. 21? C. 512?D. 212?二、填空题（每题
6、 5 分，满分 20 分，将 答案填在答题纸上） - 3 - 13.已知向量 ? ?1,am? ， ? ?3, 2b?， 且 ? ?a b b?，则 实数 m? _. 14.方程 ? ?f x x? 的 解称为函数 ?fx的 不动点，若 ? ?2axfx x? ?有 唯一不动点，且数列 ?na 满足1 12a?，111nnfaa? ?， 则 2018a ? _. 15.中 国古代数学 经 典九章算术中，将四个面都为直角三角形的 三棱 锥称之为 鐅臑 .若 三棱锥 P ABC? 为鐅臑， 且 PA? 平面 ABC ， 2PA? ， 3AB? ， 4BC? ， AB BC? ，则 该 鐅臑的 外接
7、球的 表 面积为 _. 16.已 知点 ? ?1,0A? ， ? ?1,0B ， 若曲线 C 上 存在点 P ， 使得 0PA PB?， 则称曲线 C 为 “ L? 曲线 ” ，给 出 下列曲线： 24xy? ； 2212xy?； 2 2 12x y?； 2221yx?； 2 2yx?.其中 是 “ L? 曲线 ” 的所 有序号为 _. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.在 ABC 中 ，角 ,ABC 的 对边分别是 ,abc， ? ? ? ? ?s in s in s in s inb c B C a A C? ? ? ?.
8、 (1)求 B 的 值； (2)若 3b? ，求 ac? 的 最大值 . 18.为 了解一家企业 生产 的某类产品的使用寿命 (单位：小时 )，现从中随机抽取一定数量的产品进行测试，绘制频率分布直方图如图所示 . (1)假设同一组中的每个数据可用该组区间 的 中点值代替，估算这批产品的平均使用寿命； (2)已 知该企业生产 的 这类产品有 甲、乙两个系列，产品 使用 寿命不低于 60 小 时为合格，合格产品中不低于 90 小 时为优异，其余为一般 .现 从 合格产品中，用分层抽样的方法抽取 70 件 ，其中甲系列有 35 件 (1 件 优异 ).请 完成 下面的列联表，并根据列联表判断能否有
9、95% 的 把握认为产品优异与系列有关？ 甲 系列 乙 系列 合 计 - 4 - 优异 一般 合计 参考 数据： ? ?2P K k? 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考 公式： ? ? ? ? ? ?22 n a d b cKa b c d a c b d? ? ? ? ?， 其中 n a b c d? ? ? ? . 19.如图 ，四棱锥 S ABCD? 的 底面为平行四边形， DA DS? ， DA DS? ，2AB BS SA BD? ? ? ?. (1)求证： 平面 ASD? 平面 ABS
10、； (2)求四棱锥 S ABCD? 的 体积 . 20.椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?离心率 为 63， 1F ， 2F 是 椭圆的左、右焦点，以 1F 为 圆心，31? 为 半径的圆和以 2F 为 圆心、 31? 为 半径的圆的交点在椭圆 C 上 . (1)求椭圆 C 的 方程； (2)设 椭圆 C 的 下顶点为 A ， 直线 3:2l y kx?与 椭圆 C 交于 两个不同的点 ,MN， 是否存在实数 k 使得 以 ,AMAN 为 邻边的平行四边形为菱形？ 若 存在，求出 k 的 值；若不存在，说明理由 . 21.已 知函数 ? ? ? ? ? ?2ln 2f
11、x x a x a x a? ? ? ? ? R. (1)讨论函数 ?fx的 单调性； (2)设 ? ? 2xxgx e?， 对任意的 ? ?0 0,2x? ， 关于 x 的 方程 ? ? ? ?0f x g x? 在 ? ?0,e 有 两个不同的实数根，求实数 a 的 取值范围 (其中 2.71828.e? 为 自然对数的底数 ). 22.已 知曲线 C 的 参数方程为2xtyt? ， l 是 过定点 ? ?1,2M? ， 倾斜角为 34? 的 直线 . - 5 - (1)以 坐标原点 为 极点 ， x 轴 正半轴为极轴，建立极坐标系，写出直线 l 的 极坐标方程； (2)已 知直线 l 与
12、 曲线 C 交 于 ,AB两点 ，求 11MA MB?的 值 . 23.已 知函数 ? ? 21f x x?， ? ? 1 2 3g x a x? ? ? ?. (1)当 5a? 时， 求 ? ? ? ?f x g x? 的 解集； (2)若 存在实数 x 使得 ? ? ? ?f x g x? 成立 ，求实数 a 的 取值范围 . - 6 - 参考答案 一、选择题 A B C B A C B C C D A B 二、填空题 13. 8 14. 1009 15. 29? 16. 三、解答题 17.解 :（ 1）在 ABC? 中，由正弦定理得， ( )( ) ( )b c b c a a c? ?
13、 ? ?， 即 2 2 2? ? ?b a c ac， 由余弦定理，得212co s 222 ? ac bcaB， ? ?,0?B ， 3?B ； （ 2）由（ 1）知 229? ? ?a c ac 2( ) 3? ? ?a c ac 于是 2 2( ) 9 ()32a c a cac? ? ?， 解得 6?ca ， 当且仅 3ac? 时，取等号 . 所以 ca? 的最大值为 6. 18.解：（ 1）由题意， 4 5 0 . 0 1 1 0 5 5 0 . 0 2 1 0 6 5 0 . 0 3 1 0 7 5 0 . 0 2 5 1 0x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8
14、5 0 .0 1 1 0 9 5 0 .0 0 5 1 0? ? ? ? ? ?67? （ 2）产品使用寿命处在 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的频率之比为1:2:5:605.0:1.0:25.0:3.0 ?， 因此，产品使用寿命处于 90， 100的抽样件数为 170 514?. ? 6 分 依题意，可得列联表： - 7 - 222 ( ) 7 0 ( 4 3 4 3 1 1 ) 1 . 9 3 8 3 . 8 4 1( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 3 5 6 5 5n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ? ? ?
15、? ? ? ? ? ?， 对照临界值表，没有 95%的把握认为产品优异与产品系列有关 19.（ 1）证明：取 AS 中点 H ，连接 ,DHBH ， 因为 ABS? 等边三角形，所以 ?BH AS ， 且 3?BH . 又 DAS? 为等腰直角三角形，斜边 2?AS ， 1.?DH 在 DHB? 中， 2 , 1, 3 ,? ? ?D B D H B H 2 2 2? ? ?DB DH BH BH DH?， ?BH AS ， ?BH DH ?AS DH H， ?AS 平面 ADS ， ?DH 平面 ADS BH ADS?平 面 ， 又 ?BH 平面 ABS ， 所以平面 ASD? 平面 ABS
16、 ； （ 2）由（ 1）知， 平 面?BH ADS， 所以， BH 为三棱锥 ?B ADS 的高 . 又 1 2 2 12? ? ? ? ?AD SS， 1 1 3313 3 3? ? ? ? ? ? ? ?S A B D A D SV B H S， 3 232 3S A B C D S A B DVV? ? ?. 20.解：（ 1）由题意可得?36)13()13(2aca ， - 8 - 解得 2,3 ? ca ， 所以 1?b ， 所以椭圆的方程为 13 22 ?yx； （ 2）由题意知 0?k ， 联立方程 223213? ? ?y kxx y ，整理得 04159)31( 22 ? k
17、xxk ， 22 158 1 4 (1 3 ) 04? ? ? ? ? ?kk（化简可得 1252?k ）， 设 ),(),( 2211 yxNyxM ，则 221 31 9 kkxx ?，12 2154(1 3 )? ?xx k, 设 MN 中点为 H ， 由221 31 9 kkxx ?，知22121 31 33)( kxxkyy ?， 所以点 H 的坐标为2293( , )2 6 2 6kH kk? ?， 因为 AM AN? ，所以 ?AH MN ， 又直线 ,AMMN 斜率均存在，所以 1? ?AH MNkk . 于是 ?AH MNkk 223 126 19026? ? ?k kkk， 解得 322?k ，即36?k， 将36?k代入，满足 0? 故存在 k 使得以 ,AMAN 为邻边的平行四边形可以是菱形，k 值为 63? 21.解：（ 1） ? ?1 ( 2 1 ) ( 1 )( ) 2 ( 2 ) 0? ? ? ? ? ? ?x a xf x a x a xxx， - 9 - 当 0?a 时， 0)( ?xf ， )(x
