1、 - 1 - 2016-2017 学年度第二学期期中考试 高三数学试题 （考试时间： 120 分钟 总分： 160 分） 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效 . 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 请把答案填写在 答题纸相应位置上 ） 1设集合 1, 2, 2, 3AB?，则 AB? . 2 函数 ( ) 1f x x?的定义域是 . 3函数 |( ) 2xfx? 的值域为 . 4 已知 函数 ( ) lnf x x? ，则导函数值 1()2f ? . 5若 3sin 3? ，则 cos2? . 6 在 ABC? 中，若 1, 2 , 3
2、 0A B B C C? ? ? ?， 则 A? . 7设向量 ( ,1), (1, 2)a m b?，且 /ab，则 m? . 8 已知 na 为等差数列， nS 为其前 n 项和，若 1 3 56, 0a a a? ? ?，则 6S? . 9关于 x 的不等式 222 8 0 ( 0 )x a x a a? ? ? ?的解集为 12( , )xx ，且 2115xx? ，则 a 的值为 . 10 函数 1( ) , ( 1)1f x x xx? ? ? 的最小值为 . 11 已知 函数 ()fx的导函数为 ()fx，若 ()2fxy? 的图象如图，则函数 ()fx的单调增区间为 . - 2
3、 - 12 在矩形 ABCD 中， 21AB AD?， ，边 DC 上（包含端点）的动点 P 与 CB 延长线上（ 包含点 B ）的动点 Q 满足 | | | |CP BQ? ，则 PAPQ? 的最小值是 . 13 各项均为正数的等比数列 na 满足 1 2 31, 1 0 0 , 1 0 0 0a a a? ? ?，则 4a 的取值范围是 . 14若实数 ,xyz 满足 2 4 2 , 4 2 4x y z x y z? ? ? ?，则 z 的最小值为 . 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 15（本题满分 14 分） 已知函数 2
4、 1( ) s i n c o s c o s 2f x x x x? ? ?. （ 1）求 ()fx最小正周期； （ 2）当 0, 4x ? 时，求函数 ()fx的值域； （ 3）将函数 ()fx的图象向右平移 8? 个单位，得到函数 ()y g x? 的图象，求 ()gx的解析式 . 16（本题满分 14 分） 设 ABC? 的内角 ,ABC 所对 的边分 别 为 ,abc.已知 11, 2 , co s 4a b C? ? ?. （ 1） 求 ABC? 的周长 ； （ 2） 求 cos( )AC? 的值 . - 3 - 17（本题满分 14 分） 已知函数 ( ) 4 2xxfx?，实数
5、 ,st满足 ( ) ( ) 0f s f t?，设 2 2 , 2s t s tab? ? ?. （ 1）当函 数 ()fx的定义域为 1,1? 时，求 ()fx的值域； （ 2）求函数关系式 ()b ga? （无需求函数 ()ga 的定义域） . 18 （本题满分 16 分） 如图所示的铁片由两部分组成，半径为 1 的半圆 O 及等腰直角 EFH? ，其中 FE FH? 现将铁片裁剪成尽可能大的直角梯形铁片 ABCD (不计损耗 ) ， / / / / , / /A D B C H F A B E F，且点 ,AB在弧EF 上点 ,CD在斜边 EH 上 , ,ADBC 分别交 EF 于 ,
6、MN设 AOE ?. （ 1）求梯形铁片 ABCD 的面积 S 关于 ? 的函数关系式，并写出其定义域； - 4 - （ 2）试确定 ? 的值，使得梯形铁片 ABCD 的面积 S 最大，并求出最大值 19（本题满分 16 分） 已知数列 na 是公差为正数的等差数列，其前 n 项和为 nS ，且 2 3 415, 16a a S? ? ? （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2） 数列 nb 满足1 1 1 11, nn nnb a b b aa? ? ? ? ? 求数列 nb 的通项公式； 是否存在正整数 , ( )m n m n? ，使得 2,mnb b b 成等差数列？若存 在，求出
7、 ,mn的值；若不存在，请说明理由 A D O F CA H E B M N- 5 - 20（本题满分 16 分） 已知常数 0a? ， 函数 312( ) 4 ( 1 ) , ( ) l n ( 1 )32 xf x a x a x g x a x x? ? ? ? ? ? ?. （ 1）当 1a? 时，求函数 ()gx 在点 (0, (0)g 处的切线方程 ； （ 2）讨论 ()fx在 (0, )? 上的单调性 ； （ 3）若 f (x)在 1,a? ?上存在两个极 值点 12,xx， 且 12( ) ( ) 0g x g x?，求实数 a 的取值范围 （参考公式 ： (ln( 1) 1a
8、ax ax? ?） 2016-2017 学 年度第二学期期中考试 高三数学参考答案 1.2 2.1, )? 3.1, )? 4.2 5.13 6.90 7.12 - 6 - 8.6 9.52 10.3 11.(0, )? 或 0, )? 12.34 13 4610,10 14.2 5log 3 3?15解： 2 1 1 1 c o s 2 1( ) s i n c o s c o s s i n 22 2 2 2xf x x x x x ? ? ? ? ? ? 2 sin(2 )24x ? -4 分 （ 1）所以最小正周期 22T ? ? -6 分 （ 2）当 0, 4x ? 时， 32 ,
9、4 4 4x ? ? ? ， 2sin (2 ) ,142x ? ， 所以 ()fx的值域为 2,2 -10 分 （ 3） 将函数 ()fx的图象向右平移 8? 个单位， 得到 22( ) s in 2 ( ) s in 22 8 4 2g x x x? ? ? ? -14 分 16解：（ 1）由余弦定理可得， 2 2 2 12 c o s 1 4 2 1 2 44c a b a b C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 2c? -4 分 所以 ABC? 的周长 为 5. -6 分 （ 2）在 ABC? 中，因为 1cos 4C? ，所以 15sin 4C? -7 分 由正弦定理
10、sin sinacAC? ，可得 15sin 8A? , -10 分 由余弦定理得 2 2 2 7c o s 28b c aA bc? -12 分 所以 11c o s ( ) c o s c o s s i n s i n 16A C A C A C? ? ? ? -14 分 - 7 - 17（ 1）令 2xt? ，当 1,1x? 时， 1 ,22t? ， -3 分 函数可化简为 2()h t t t?，可以判断 ()ht 在 1 ,22 上单调递增，所以 ()ht 的值域为 1 ,24? ， 即 ()fx的值域在 1,1? 的值域为 1 ,24? . -7 分 （ 2）由 ( ) ( )
11、0f s f t?可得 4 2 4 2 0s s t t? ? ? ?， 化简得 2( 2 2 ) 2 2 ( 2 2 ) 0s t s t s t? ? ? ? ? ?， -10 分 因为 2 2 , 2s t s tab? ? ?，所以 2 20a b a? ? ? ，即 22aab ? ， 2() 2aaga ? . -14 分 18 （ 1）因为 ,1A O E B O F O A O B? ? ? ? ? ?，所以1 c o s s i n , 1 c o s s i n , 2 c o sA D B C A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -4 分 所以 () 2 (
12、 1 s i n ) c o s , (0 , )22A B C D A D B C A BS ? ? ? ? ? ?-7 分 （ 2） 2 2( ) 2 c o s ( 1 s i n ) s i n 2 ( 2 s i n s i n 1 )S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ( 2 s in 1)(s in 1)? ? ? ?， (0, )2? -9 分 当 0 6? ， ( ) 0, ( )SS? 单调递增 , 当 62? ， ( ) 0, ( )SS? 单调递减 , -12 分 所以当且仅当 6? 时，max 332S ?. -16 分 答：当 6? 时，梯形铁片
13、 ABCD 的面积 S 最大，最大值为 33.219 解：（ 1）设数列 na 的公差为 d ，则 0d? 由 2 3 415, 16a a S?，得 111( )( 2 ) 1 54 6 1 6a d a dad? ? ? ?， - 8 - 解得 1 12ad? ?或 1 72ad? ?（ 舍去 ）， 所以 21nan? -5 分 （ 2）因为1 1 1 11, nn nnb a b b aa? ? ? ?， 所以1 1 1 11 1 1 1 11 , ( )( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1nn nnb a b b a a n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?
14、? ?， 所以 1121321111(1 )231 1 1()2 3 5.1 1 1( ) , ( 2)2 2 3 2 1nnbabbbbb b nnn? ? ? ? ? ? ? ?累加 得1 1 1 1(1 )2 2 1 2 1n nbb nn ? ? ? ?，所以 32,221n nbnn?-9 分 1 1b? 也符合上式故 32,21n nb n Nn ? -10 分 假设存在正整数 , ,( )m n m n? ，使得 2,mnb b b 成等差数列 ，则 2 2nmb b b? 又2 4 3 2 3 1 3 1,3 2 1 2 4 2 2 4 2nmnb b bn n m? ? ?
15、? ? ? ? ?， 所以 4 3 1 3 1( ) 2 ( )3 2 4 2 2 4 2nm? ? ? ? 化简得 7 2 92711nm nn? ? ? -12 分 当 13n? ，即 2n? 时， 2m? （舍去）； 当 19n? ，即 8n? 时， 3m? ，符合题意 所以存在正整数 3m? ， 8n? ，使得 2,mnb b b 成等差数列 -16 分 20. 解： (1) 当 1a? 时， 214( )= 1 ( 2 )gx xx?，当 0 (0) 0xg?时 , - 9 - 所以， ()gx在点 (0,0) 处的切线方程为 0y? -4 分 （ 2） 由题意可知： 2( ) 4
16、(1 )f x a x a? ? ? 当 1a? 时， ( ) 0fx? ，此时， ()fx在区间 (0, )? 上单调递增 -6 分 当 0 a 1 时，由 f x) 0 得： x1 2 a(1 a)a （ x2 2 a(1 a)a 0 舍去） 当 x (0, x1)时， f x) 0；当 x (x1, )时， f x) 0. 故 f (x)在区间 (0, x1)上单调递减，在区间 (x1, )上单调递增 综上所述，当 a 1 时， f (x)在区间 (0, )上单调递增； -8 分 当 0 a 1 时， f (x)在区间 (0, 2 a(1 a)a )上单调递减， 在区间 (2 a(1 a)a , )上单调递增 -10 分 （ 3）由（ 2）知，当 a 1 时， f x) 0，此时 f (x)不存在极值 点， 因而要使得 f (x)有两个极值点，必有 0 a 1. 又 f (x)的极值点只可能是 x1 2 a(1 a)a 和 x2 2 a(1 a)a ， 由 g(x)的定义可知， x 1a且 x 2， 2 a(1 a)a 1a且 2 a(1 a)a x 2 解得： 0 a 12或 12 a 1 -12 分 此时，由（ *）式易知， x1, x2分别是 f (x)的极小值点和极大值点 而 g(x1) g
