1、 - 1 - 河南省南阳市 2018 届高三数学上学期期末考试试题 文 第卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 ? ?13A x x? ? ? ， ? ?2 4B x x?，则 ? ?AB?RI （ ） A ? ?1,2 B ? ?2,1? C ? ?1,2 D ? ?1,2 2已知 ? ?21 1i iz? ?（ i 为虚数单位），则复数 z （ ） A 1i? B 1i? C 1i? D 1i? 3 已知双曲线 C 的一条渐近线的方程是： xy 2? ，且该双曲线 C 经过点
2、 )2,2( ，则双曲线C 的方程是 （ ） A 222 17 14xy? B 11472 22 ?xy C 1422 ?xy D 1422 ?yx 4设 sin53 a? ，则 cos2017? （ ） A a B a? C 21 a? D 21 a? 5从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（ ） A 15 B 25 C 825 D 925 6 已知实数 ,xy满足?62321xyyxxy ，则目标函数yxz 32 ? （ ） A 7max ?z ， 9min ?z B 311max ?z， 7min ?z C 7max ?z ， z 无最小值 D 311max ?z
3、， z 无最小值 7 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多 面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积 V? （ ） - 2 - A 23 B 43 C 83 D 4 8运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ） A 2017 B 2016 C 1009 D 1008 9为得到 cos 26yx?的图象，只需要将 sin2yx? 的图象（ ） A向右平移 3? 个单位 B向右平移 6? 个单位 C向左平移 3? 个单位 D向左平移 6? 个单位 10函数 ? ? 3lnf x x x?的大致图象为（ ） - 3 - A B C D 11设数列 ?na 的通项公式 ? ?1 1
4、1 11 1 2 1 2 3 1 2 3nan n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *NL L，若数列 ?na 的前 n 项积为 nT ，则使 100nT? 成立的最小正整数 n 为（ ） A 9 B 10 C 11 D 12 12抛物线 ? ?2: 2 0C y px p?的焦点为 F ，过 F 且倾斜角为 60的直线为 l ， ? ?3,0M ? ，若抛物线 C 上存在一点 N ，使 ,MN关于直线 l 对称，则 p? （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 第卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13曲线 ? ? 2 xf x
5、x e?在点 ? ? ?0, 0f 处的切线方程为 14已知点 ? ?2,Am， ? ?1,2B ， ? ?3,1C ，若 0AB BC AC? ? ?uur uur uuur ，则实数 m 的值为 15已知 ABC? 得三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于 16若不等式 ? ?22 12ab m a b? ? ? ?对任意正数 ,ab恒成立，则实数 m 的取值范围为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 等差数列 ?na 中，已知 0na? ， 1 2 3 15a a a? ? ? ，且 1 2a? ， 2 5a? ，
6、3 13a? 构成等比数列 ?nb 的前三项 . （ 1）求数列 ? ? ?,nnab的通项公式； （ 2）设 n n nc a b?，求数列 ?nc 的前 n 项和 nT . 18 某二手车 交易市场对某型号二手汽车的使用年数 ? ?0 10xx? 与销售价格 y （单位：万元 /辆）进行整理，得到如下的对应数据： - 4 - 使用年数 2 4 6 8 10 售价 16 13 9.5 7 4.5 （ 1）试求 y 关于 x 的回归直线方程；（参考公式： 1221?niiiniix y n x ybx nx?， ?a y bx? .） （ 2）已知每辆该型号汽车的收购价格为 20 .0 5 1
7、 .7 5 1 7 .2w x x? ? ?万元，根据（ 1）中所求的回归方程，预测 x 为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润 z 最大？ 19 如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，侧面 11ABBA 为矩形， 1AB? ， 1 2AA? ， D 是 1AA的中点， BD 与 1AB 交于点 O ，且 CO? 平面 11ABBA . （ 1）证明： 1BC AB? ； （ 2）若 2OC OA? ，求三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的高 . 20 平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 :C 12222 ?byax （ 0?ba ）的左焦点为 F ，离心率为 22 ，过点 F
8、 且垂直于长轴的弦长为 2 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若过点 ? ?2,0P? 的直线与椭圆相交于不同两点 M 、 N ，求 MNF? 面积的最大值 21 已知函数 ? ? 2lnf x x ax bx? ? ?（其中 ,ab为常数且 0a? ）在 1x? 处取得极值 . （ 1）当 1a? 时，求 ?fx的单调区间； （ 2）若 ?fx在 ? ?0,e 上的最大值为 1，求 a 的值 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 - 5 - 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为? ? ? ?si
9、n2 cos1 ty tx（ t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 xoy 取 相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 ? sin6? （ 1）求圆 C 的直角坐标方程； （ 2）若点 )2,1(P ，设圆 C 与直线 l 交于点 BA, ，求 | PBPA ? 的最小值 23选修 4-5：不等式选讲 已知 0?a ， 0?b ，函数 |)( bxaxxf ? 的最小值为 2 （ 1）求 ba? 的值； （ 2）证明： 22 ?aa 与 22 ?bb 不可能同时成立 - 6 - 2017 秋期终高三数学试题参考答案（文） 一、选择题 1-5:AC
10、DBB 6-10:CCDDC 11、 12： CA 二、填空题 13 01?yx 14 37 15 733 16 1,(? 三、解答题 17解析（ 1）设等差数列的公差为 d ，则由已知 2321 315 aaaa ? 2 5a? 又 ,100)135)(25 ? dd（ 解得 2?d 或 13?d （舍去） 31?a ， 12 ? nan 又 10,5 21 ? bb ， 2q? ， 125 ? nnb （ 2） 12)12(5 ? nnnn nbac 2)12(272535 12 ? nn nT ? ?nT2 2)12(2)12(25235 12 nn nn ? ? 两式相减得 2)12(
11、22222235 12 nnn nT ? ? 12)21(5 ? nn 则 12)12(5 ? nn nT 18 解 ：（ 1） 由已知 ： 6, 10xy?, 51 242iii xy? ?, 5 21 220ii x? ?, 1221? =1niiiniix y n x ybx n x?， ? =18.7a y bx? ； - 7 - 所以回归直线的方程为 7 ? 1.45 18.7yx? ? ? （ 2） ? ?21 .4 5 1 8 .7 0 .0 5 1 .7 5 1 7 .2z x x x? ? ? ? ? ? 2= 0.05 0.3 1.5xx? ? ? ? ?20.05 3 1
12、.95x? ? ? ?， 所以预测当 3x? 时 ,销售利润 z 取得最大值 19 解：（ 1）在矩形 11AABB 中，由平面几何知识可知 BDAB?1 又 ?CO 平面 11AABB ， DBDCOCOAB ? ?,1 ， ,BDCO 平面 BCD 1AB?平面 ,BCD BC 平面 BCD ， 1BC AB? . （ 2）在矩形 11AABB 中，由平面几 何知识可知 36,33 ? OBOA ， 2OC OA? ， 63OC? ， 231, 3AC BC?，ABC 26S ?设三棱柱 111 CBAABC? 的高为 h ，即三棱锥 ABCA?1 的高为 h . 又 221ABA ?S，
13、由ABCAABAC VV ? ? 11 三棱锥三棱锥得 ?hS ABC OCS ?1ABA , 6h? . 20解：（ 1）由题意可得 22?ace ， 令 cx ? ，可得 aby 2? ，即有 22 2 ?ab ， 又 222 cba ? ，所以 2?a ， 1?b 所以椭圆的标准方程为 12 22 ?yx ； （ 2）设 ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN ， 直线 MN 方程为 2?myx ， 代入椭圆方程，整理得 024)2( 22 ? myym ， 则 0168)2(816 222 ? mmm ，所以 2?m - 8 - 2224 221221 ? myym myy ，
14、 |21 21 yyPFSSS P MFP N FMN F ? ? 42222221681212222 ?mmmm当且仅当242 22 ? mm，即 62?m （此时适合 0? 的条件）取得等号 则 MNF? 面积的最大值是 42 21解： (1)因为 ? ? 2lnf x x ax bx? ? ?， 所以 ? ? 1 2f x ax bx? ? ? ?. 因为函数 f ? ? 2lnf x x ax bx? ? ?在 1x? 处取得极值， 所以 ? ?1 1 2 0f a b? ? ? ? ?. 当 1a? 时， 3b? ， ? ? 22 3 1xxfx x? ? ， ? ? ? ?,f x
15、 f x? 随 x 的变化情况如下表： 所以 ?fx的单调 递增区间为 10,2?和 ? ?1,? ， 单调递减区间为 1,12? (2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 2 1 1 2 1 1a x a x a x xfx xx? ? ? ? ? ?， 令 ? ? 0fx? ? ，解得1211, 2xxa?. - 9 - 因为 ?fx在 1x? 处取得极值，所211 12xxa? ? ?. 当 1 02a? 时， ?fx在 ? ?0,1 上单调递增，在 ? ?0,e 上单调递减 所以 ?fx在区间 ? ?0,e 上的最大值为 ?1f 令 ?11f ? ，解得 2a? . 当 10
16、12a?时， ?fx在 10,2a?上单调递增，在 1,12a?上单调递减，在 ? ?1,e 上单调递增， 所以最大值 1 在 12x a? 或 xe? 处取得 而 ? ?21 1 1 1 1 1l n 2 1 l n 1 02 2 2 2 2 4f a aa a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ?2ln 2 1 1f e e a e a e? ? ? ? ?，解得 12a a? ? . 当 11 2 ea?时， ?fx在区间 ? ?0,1 上单调递增，在 11,2a?上单调递减，在 1,2 ea?上
17、单调递增 所以最大值 1 在 1x? 或 xe? 处取得 而 ? ? ? ?1 ln 1 2 1 0f a a? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ?2ln 2 1 1f e e a e a e? ? ? ? ?， 解得 12a e? ? ，与 11 2 ea?矛盾 当 12 ea? 时， ?fx在区间 ? ?0,1 上单调递增，在 ? ?1,e 上单调递减，所以最大值 1 在 1x? 处取得，而 ? ? ? ?1 ln 1 2 1 1f a a? ? ? ? ?，矛盾 综上所述， 12a e? ? 或 2a? . 22解：（ 1）由 ? sin6? 得 ? sin62 ? ，化为直角坐标方程为 9)3( 22 ? yx （ 2）将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 07)s in(co s22 ? tt ? （ *） 由 028)co s(s in4 2 ? ? ，故可设 21,tt 是方程（ *）的两根， ? ? 7 )co s(sin22121 tt tt ? - 10 - 又直线过点 )2,1(P ，故结合 t 的几何意义得： 212212121 4)(| ttttt
