1、1微分方程的基本概念2一阶微分方程3二阶微分方程2第一节 微分方程的基本概念第一节 微分方程的基本概念3 3 例7-1 某曲线过点(1,2)，且该曲线上任意一点 M(x,y)处的切线的斜率为3x2，求该曲线的方程。解 设所求曲线方程为 y=y(x)，根据导数的几何意义可知，该未知函数满足关系式：且满足条件：下面我们通过两个例子来说明微分方程的一些基本概念。方程两端积分，得23dyxdx1|2xy233yx dxxC31yx将条件代入上式解得 C=1，从而所求曲线方程为：第一节 微分方程的基本概念4 4 例7-2 某车在平直线路上以 20m/s（相当于 72km/h）的速度行驶。当制动时，该车获
2、得加速度 0.4m/s2。问开始制动后，该车多长时间才能停住，及在这段时间内行驶了多少路程？解 设该车在开始制动后，t 秒时行驶了 s 米。根据题意，反映制动阶段运动规律的函数 s=s(t)应满足关系式：此外，还应满足条件：，()0.4s t 0|0ts00|20ttvs方程两边逐次积分，得第一节 微分方程的基本概念51()()()(0.4)0.4v ts ts t dtdttC 2112()()(0.4)0.2s ts t dttC dttC tC 2()0.220s ttt 2(50)0.2 5020 50500s 将条件 ，代入上面两式，解得0|0ts0|20ts2=0C1=20C 令
3、，可得该车从开始制动到完全停止，所需时间 t=50 s，所行驶路程()0v t 从而有第一节 微分方程的基本概念6 定义 含自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。如果在微分方程中出现的未知函数是一元函数（即只含一个自变量），则称这个方程为常微分方程，也可以简单地叫做微分方程；如果在微分方程中出现的未知函数是多元函数，则称之为偏微分方程。上述例子都是常微分方程。本章也只讨论常微分方程。微分方程的实质：联系自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）之间的关系式。如：yxy ,23xyyye2,(1)0 xdyxydx第一节 微分方程的基本概念7 定义 出现在微分方程中的未
4、知函数的最高阶导数（或微分）的阶数，称为微分方程的阶。23dyxdx()0.4s t 32243x yx yxyx二阶微分方程一阶微分方程三阶微分方程 一阶微分方程的表达通式为 n 阶微分方程的表达通式为(,)0F x y y(,)yf x y()(,)0nF x y yy()(1)(,)nnyf x y yy或或第一节 微分方程的基本概念8 定义 若微分方程中出现的未知函数及其导数的次数均为一次，则称之为线性微分方程；否则，称之为非线性微分方程。23dyxdx()0.4s t 32243x yx yxyx23sinxyyex sinyyyx 定义 代入微分方程后，能使方程成为恒等式的函数称为
5、微分方程的解。二阶线性微分方程一阶线性微分方程三阶线性微分方程二阶非线性微分方程一阶非线性微分方程第一节 微分方程的基本概念 又如 ，通解为 例如 ，通解为9yy 又如 为 的特解。sincosyxx0 yyxyCe12sincosyCxCx 例如 、，均为 的特解；2xyexyeyy 0 yy 定义 确定了微分方程通解中的任意常数以后的解（即不含任意常数的解）称为微分方程的特解。定义 若微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解。第一节 微分方程的基本概念10 例7-3 验证：函数 是微分方程 的解。12cossinxCktCkt222
6、0d xk xdt12sincosdxkCktkCktdt 222212122cossin(cossin)d xk Cktk CktkCktCktdt 221212(cossin)(cossin)0kCktCktkCktCkt+解 求出所给函数的导数：将上面两个表达式代入微分方程左端，得方程成为恒等式，因此所给函数是微分方程的解。第一节 微分方程的基本概念11 定义 要得到微分方程的特解，需要给定一些条件，用来确定通解中的任意常数，这些条件统称为微分方程的定解条件。微分方程与定解条件一起称为微分方程的定解问题。定义 一类重要的定解条件是给定微分方程中的未知函数及其各阶导数在某一点处的取值，这种
7、定解条件称为微分方程的初始条件。带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题。一阶微分方程的初值问题为00(,)|x xyf x yyy 第一节 微分方程的基本概念12 定义 微分方程的特解的图像是一条曲线，称为微分方程的积分曲线。二阶微分方程的初值问题为 一阶微分方程初值问题的几何意义，就是求微分方程的通过点 的那条积分曲线。00(,)xy0001(,)|x xx xyf x y yyyyy 二阶微分方程初值问题的几何意义，就是求微分方程的通过点 且在该点处的切线斜率为 的那条积分曲线。00(,)xy1y第二节 一阶微分方程第二节 一阶微分方程 一阶微分方程也可以写成如下的形式：或(,)yf
8、 x y(,)(,)0P x y dxQ x y dy(,)(,)dyP x ydxQ x y(,)0Q x y（其中 ）本节讨论几种特殊的一阶微分方程的解法。第二节 一阶微分方程15一、可分离变量的微分方程 定义 形式为的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程，其中 f(x)、g(x)都是连续函数。可分离变量的微分方程的求解过程如下：首先，分离变量，得这种形式称之为已分离变量的微分方程。然后，两端积分，得()()dyf x g ydx1()()dyf x dxg y1()()dyf x dxg y第二节 一阶微分方程16 设 是 的一个原函数，是 的一个原函数，则微分方程一、可分离变量的微分方
9、程的通解为()y1()g y)(xF)(xf()()dyf x g ydx()()yF xC这就是微分方程的隐式通解。第二节 一阶微分方程17一、可分离变量的微分方程 例7-4 求微分方程 的通解。两端积分则微分方程的通解为 解 此方程是可分离变量的，分离变量得 得 从而 xydxdy212dyxdxy12dyxdxy21ln|yxC2211xCCxyee e 2xyCe第二节 一阶微分方程18一、可分离变量的微分方程 例7-5 求微分方程 满足 的特解。两端积分得 解 方程分离变量得 令 C=2C1，则原方程的通解为将初始条件 x=3 时 y=4 代入上式得 C=25，所以原方程的特解为0
10、xyy3|4xyydyxdx 2211122yxC Cyx222522 yx第二节 一阶微分方程19一、可分离变量的微分方程 例7-6 在商品的销售预测中，销售量 x 是时间 t 的函数，即 x=x(t)。如果商品销售的增长速度与销售量 x 和销售接近饱和程度 x 之积成正比，求销售函数即 x=x(t)。解 商品销售的增长速度即销售量对时间的变化率 ，由题意分离变量得两端积分dxdt()dxkxxdt1()dxkdtxx11dxk dtxx（其中 k 是比例常数）第二节 一阶微分方程令 ，则销售函数为20一、可分离变量的微分方程11dxk dtxx1ln|ln|xxktC1kt Cxex 11
11、kt Cxe1CCe 1ktxCe得整理得，即第二节 一阶微分方程21二、齐次微分方程 定义 如果一阶微分方程可化成形式为的方程，则称之为齐次微分方程，简称齐次方程。比如是齐次方程，因为它可化为dyydxx0)2()(22dyxyxdxyxy222dyxyydxxxy21 2yydyxxydxx即第二节 一阶微分方程22二、齐次微分方程 齐次方程的求解：作变量代换dyydxx yux，即 y=xu，于是dyduuxdxdx 代入原式得()duuxudx 即()duuudxx 可分离变量的方程分离变量得11()dudxuux 两端积分后，再把 u 带回便得齐次方程的通解。第二节 一阶微分方程23
12、二、齐次微分方程 例7-7 求微分方程 的通解。解 微分方程中变量不可分离，于是变形得 令 ，即 y=xu，于是代入原式得2dyxxyydx2dyyydxxxyuxdyduuxdxdx2duuxuudx2duxudx即第二节 一阶微分方程24二、齐次微分方程分离变量，得两端积分，得整理得将 代回，得原方程通解为2duxudx112dudxxuln|uxC2(ln|)uxCyux2(ln|)yxxC第二节 一阶微分方程25 变量代换是求解微分方程的一种常用方法，有些微分方程可以经过适当的变量代换转化为可分离变量的微分方程，但所取变量代换的技巧性较强，没有一定的规律，只能通过练习达到熟能生巧的目的
13、。下面仅举一例。二、齐次微分方程 解 令 u=x+y，则 y=u x，将其代入方程，得 例7-8 求微分方程 的通解。1dydxxy1dydudxdx11dudxu 1duudxu即第二节 一阶微分方程26二、齐次微分方程分离变量，得两端积分，得将 u=x+y 代回并整理，得原方程通解为1ududxu1ln|1|uuxC1ln|1|yxyC11()CyxCeyCe 1duudxu或第二节 一阶微分方程27三、一阶线性微分方程 定义 形式为 如()()dyP x yQ xdx 的微分方程称为一阶线性微分方程。当 Q(x)=0 时上式称为齐次的；当 Q(x)0 时上式称为非齐次的。20dyx yd
14、x 齐次微分方程非齐次微分方程2sindyx yxdx 第二节 一阶微分方程28三、一阶线性微分方程 1.一阶线性齐次微分方程的解法()0dyP x ydx 分离变量1()dyP x dxy 两边积分1ln|()yP x dxC 1()dyP x dxy 得()P x dxyCe 一阶线性齐次微分方程的通解为第二节 一阶微分方程29三、一阶线性微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程的解法（常数变易法）()()dyP x yQ xdx 先求出对应齐次微分方程()0dyP x ydx 再令 C=u(x)，即假设()P x dxyCe 的通解：()()P x dxyu x e 为原方程的解第二节 一阶
15、微分方程30三、一阶线性微分方程代入非齐次微分方程即()()()P x dxu x eQ x ()()()P x dxu xQ x e ()()()()()P x dxP x dxyu x eu x P x e ()()P x dxyu x e 积分得()()()P x dxu xQ x edxC 则得()()dyP x yQ xdx第二节 一阶微分方程31三、一阶线性微分方程对应齐次方程通解一阶线性非齐次微分方程 的通解为()()()P x dxP x dxyeQ x edxC ()()()()P x dxP x dxP x dxCeeQ x edx 非齐次方程特解 一阶非齐次线性微分方程的
16、通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和。()()dyP x yQ xdx第二节 一阶微分方程32三、一阶线性微分方程 例7-9 求微分方程 的通解。解 这是一个一阶非齐次线性微分方程，将方程两边同除以 x 得xydxdyxcosxxxydxdycos0dyydxxdydxyx ln|ln|ln|yxC Cyx对应齐次方程为分离变量，得两端积分，得即第二节 一阶微分方程33三、一阶线性微分方程 利用常数变易法，令 C=u(x)，即()u xyx2uxuyx 21cosuuuxxxx xxcosuxsinuxCsin xCyx则代入微分方程 ，有即积分得于是原方程的通解为xxx
17、ydxdycos第二节 一阶微分方程34三、一阶线性微分方程 常数变易法是非齐次线性微分方程的基本方法，要了解它的求解思想。在求解时也可以直接利用通解公式()()()P x dxP x dxyeQ x edxC即确定 P(x)及 Q(x)后，代入公式求得方程的通解。解 此时 ，代入上面公式得原方程的通解为2()1P xx 3()(1)Q xx32(1)1dyyxdxx 例7-8 求微分方程 的通解。第二节 一阶微分方程35三、一阶线性微分方程22311(1)dxdxxxyexedxC2(1)(1)xxdxC221(1)(1)2xxC421(1)(1)2xC x2ln|1|32ln|1|(1)x
18、xexedxC第三节 二阶微分方程第三节 二阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程 二阶及二阶以上的微分方程统称高阶微分方程，这里仅介绍两种特殊的可降阶高阶微分方程及其解法。解 方程两边逐次积分，得 一种是最简单的高阶微分方程，形如可以通过逐次求积分而得到通解。()()nyf x 例7-11 求微分方程 的通解。cosyx sinyxC 2cosyxCxC 2231sin2yxCxC xC 即2123sinyxC xC xC 37第三节 二阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程 另一种是不显含未知函数的二阶微分方程，形如(,)yf x y 可以通过变量代换 化为 z 以为未知函数的一阶微分方程，进而求
19、得通解。zy 例7-12 求微分方程 的通解。32(1)1yyxx 解 令 ，则 ，得zyzy32(1)1zzxx 32(1)1dzzxdxx即38第三节 二阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程这是关于 z 的一阶非齐次线性微分方程。由例7-10的结果，得积分得即即原方程通解为32(1)1dzzxdxx421(1)(1)2zxC x421(1)(1)2yxC x 5321(1)(1)103CyxxC53121(1)(1)10yxC xC39第三节 二阶微分方程二、二阶常系数齐次线性微分方程 定义 形式为 的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程。其中 p 与 q 是常数。0 qyypy 定理 如
20、果函数 y1(x)与 y2(x)是二阶常系数齐次线性微分方程的两个解，C1 与 C2 是两个任意常数，则 y=C1y1(x)+C2y2(x)也是微分方程的解。所以只需找到二阶常系数齐次线性微分方程的两个解 y1(x)与 y2(x)，且使得 常数，那么 y=C1y1(x)+C2y2(x)就是微分方程的通解。12()()y xyx 下面来解决求 y1(x)与 y2(x)的问题。40第三节 二阶微分方程二、二阶常系数齐次线性微分方程 由于微分方程 左边系数 p 与 q 都是常数，可以设想微分方程有形如 的解，这里 r 是待定系数。将代入微分方程得即则0 qyypyrxyerxye这表明，只要 r 满
21、足特征方程，函数 就是微分方程的解。rxyerxyre 2rxyr e 21,242ppqr2()0rxrprq e02qprr特征方程特征根41第三节 二阶微分方程二、二阶常系数齐次线性微分方程 特征根有三种不同的情形，由此得到二阶常系数齐次线性微分方程三种不同结构的通解。0ypyqy20rprq的特征方程0ypyqy的通解两个不相等的实根 r1，r2 两个相等的实根 r1=r2 一对共轭复根 r1,2=i 1212r xr xyC eC e112()r xyCC x e12(cossin)xyeCxCx 20rprq的根42第三节 二阶微分方程二、二阶常系数齐次线性微分方程 求二阶常系数齐
22、次线性微分方程通解的方法为：0ypyqy 20rprq 第一步：写出微分方程的的特征方程 第二步：求出特征方程的两个根 r1，r2 第三步：根据两个根的三种不同情形，按照表写出微分方程的通解。解 特征方程为 ，即 ，得特征根 例7-13 求微分方程 的通解。032 yyy因此所求通解为0322 rr(1)(3)0rr11r 23r xxeCeCy32143第三节 二阶微分方程44二、二阶常系数齐次线性微分方程 例7-14 求微分方程 满足 ，的特解。解 特征方程为 ，即 ，得特征根20yyy0|4xy0|1xy0122 rr2(1)0r 121 rr因此所求微分方程的通解为12()xyCC x
23、 e212212()()xxxyC eCC x eCCC x e 于是于是所求特解为(45)xyx e把 、分别代入上两式，解得 ，0|4xy0|1xy41C25C 44第三节 二阶微分方程45二、二阶常系数齐次线性微分方程 例7-15 求微分方程 的通解。解 特征方程为 ，则052 yyy0522 rr21,22(2)20122ri 为一对共轭复根，因此所求通解为)2sin2cos(21xCxCeyx45第三节 二阶微分方程46三、二阶常系数非齐次线性微分方程 定义 形式为)(xfqyypy 的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其中的 p 与 q 是常数，且 f(x)0。而方程 称为
24、此非齐次方程所对应的齐次方程。0 qyypy1122()()*()yC y xC yxyx 定理 设 是非齐次微分方程 的任一特解，是对应齐次方程的通解，则*()yyx)()(2211xyCxyCy)(xfqyypy 就是此非齐次方程的通解。由此定理可知，求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解归结为求对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。46第三节 二阶微分方程47三、二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题已解决，现在讨论当二阶常系数非齐次线性微分方程的非齐次项 f(x)取两种特殊形式时，如何利用待定系数法求非齐次线性微分方程的特解。（1），其中 是常数，是一个
25、 x 的 m 次多项式。()()xmf xP x e 由于多项式与指数函数的乘积的各阶导数仍然是多项式与指数函数的乘积，所以可设想非齐次微分方程 具有形式为)(xfqyypy*()xyQ x e的特解，Q(x)是一个多项式函数。47第三节 二阶微分方程48三、二阶常系数非齐次线性微分方程 通过讨论特征方程的的特征根与常数 的关系，可得下面三种情形下特解的取法：，()f x与特征根 ，的关系1r2r特解 的形式*y()xmPx e1r2r()xmQx e()xmPx e1r2r()xmxQx e()xmPx e12rr2()xmx Qx e其中 Qm(x)是一个系数待定的 m 次多项式函数。若非
26、齐次项 f(x)=Pm(x)，只需把它看成 =0 的特殊情形即可。48第三节 二阶微分方程49三、二阶常系数非齐次线性微分方程 例7-16 求微分方程 的通解。解 微分方程的非齐次项为 ，且 =0 对应的齐次方程的特征方程为 ，解得特征根为由于 =0 不是特征方程的根，故特解应设为 ，则2331yyyx()()xmf xP x e0322 rr11r 23r*yAxB*yA*0y 代入原方程，得23331AAxBx于是可确定 A=1，B=1，从而方程的通解为3121xxyC eC ex49第三节 二阶微分方程三、二阶常系数非齐次线性微分方程 例7-17 求微分方程 的通解。解 微分方程的非齐次
27、项为 ，且 =2 对应的齐次方程的特征方程为 ，解得特征根为由于 =2 是特征单根，故特解应设为 ，则代入原方程，整理得于是可确定 A=1，B=2，从而方程的通解为2322xyyyxe()()xmf xPx e2320rr11r 22r 2*()xyx AxB e22*22()xyAxAB xB e 22*44(2)24xyAxAB xAB e222AxABx2212(2)xxxyC eC ex xe50第三节 二阶微分方程51三、二阶常系数非齐次线性微分方程 （2），其中，M，N 都是常数，且 0。类似于（1），此时微分方程 的特解形式为取决于复数 是否为特征方程的特征根，特解的具体取法如表
28、所示。)(xfqyypy()(cossin)xf xeMxNx()f x特解 的形式*y(cossin)xeMxNx(cossin)xeAxBx(cossin)xeMxNx(cossin)xxeAxBxi与特征根的关系ii不是特征根i是特征根其中 A、B 是两个待定系数。51第三节 二阶微分方程52三、二阶常系数非齐次线性微分方程 例7-18 求微分方程 的通解。解 微分方程的非齐次项为 属于对应的齐次方程的特征方程为 ，解得特征根为32cos2xyyyexxexfx2cos)(cossin)xeMxNx2320rr11r 22r 由于 不是特征根，故特解应设为 1 2ii 型，其中 =1，=2，M=1，N=0。52第三节 二阶微分方程53三、二阶常系数非齐次线性微分方程代入原方程，整理得*(cos2sin2)xyeAxBx*(2)cos2(2)sin2xyeABxBAx*(43)cos2(43)sin2xyeBAxABx 此时可求得(42)cos2(24)sin2cos2ABxABxx从而可确定 ，因此方程的通解为15A 110B 21211cos2sin2510 xxxyC eC eexx5354Thank!
