1、 微专题 14 函数的切线问题 一、基础知识： （一）与切线相关的定义 1、切线的定义：在曲线的某点 A 附近取点 B，并使 B 沿曲线不断接近 A。这样直线 AB 的极限 位置就是曲线在点 A 的切线。 （1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面 也可理解为一个动态的过程，让切点 A 附近的点向A不断接近，当与A距离非常小时，观察 直线AB是否稳定在一个位置上 （2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数 3 yx在 1, 1 处的切线，与曲线有两个公共点。 （3） 在定义中， 点B不断接近A包含两个方向，A点右边的点向左接
2、近， 左边的点向右接近， 只有无论从哪个方向接近，直线AB的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A处 的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如yx在0,0处，通过观 察图像可知，当0 x 左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为yx ，而当0 x 右边 的点向其无限接近时，割线的极限位置为yx，两个不同的方向极限位置不相同，故yx 在0,0处不含切线 （4）由于点B沿函数曲线不断向A接近，所以若 f x在A处有切线，那么必须在A点及其 附近有定义（包括左边与右边） 2、切线与导数：设函数 yf x上点 00 ,A xfx f x在A附近有定义且附近的点 00 ,B xx
3、 fxx ，则割线AB斜率为： 0000 00 AB f xxf xf xxf x k xxxx 当B无限接近A时，即x接近于零，直线AB到达极限位置时的斜率表示为： 00 0 lim x f xxf x k x , 即切线斜率，由导数定义可知： 00 0 0 lim x f xxf x kfx x 。故 0 fx为 f x 在 00 ,A xf x处切线的斜率。这是导数的几何意义。 3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点： （1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就 无从谈起极限位置。故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果
4、不连续，则断 开处的边界值也不存在导数 （2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数。例如前面 例子yx在0,0处不存在导数。此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选 点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可 （3）若在已知点处存在切线，但切线垂直x轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在。 例如： 3 yx在0,0处不可导 综上所述： （1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1） （2）所谈的点不存在切线， （3）中的 点存在切线，但没有导数。由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数 。 （二）方法与技巧： 1、 求切线方程的方法： 一点一
5、方向可确定一条直线， 在求切线时可考虑先求出切线的斜率 （切 点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程 2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点A的横坐标 0 x，因为 0 x可“一点 两代” ，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标 0 f x，代入到导函数中可得到切线的斜率 0 fxk,从而一点一斜率，切线即可求。所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千 方百计的把它求解出来。 3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与 导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标 00 ,x y,再考虑 利用条件解出核心要素 0 x
6、，进而转化成第一类问题 4、 在解析几何中也学习了求切线的方法， 即先设出切线方程， 再与二次方程联立利用0 求 出参数值进而解出切线方程。解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互 通。若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解， 例如： 2 1yx（图像为圆的一部分）在 13 , 22 处的切线方程，则可考虑利用圆的切线 的求法进行解决。若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在y轴的抛物线，可看作y关于x 的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在y轴的 抛物线切线问题的重要方法） 5、在处理切线问题时要注意审清所给
7、已知点是否为切点。 “在某点处的切线”意味着该点即 为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点。如果该点恰好 在曲线上那就需要进行分类讨论了。 二、典型例题 例 1：求函数 32 x f xex在1x 处的切线方程 思路：本题切点已知，代入原函数求得函数值，代入导函数中求得切线斜率，进而利用点斜 式求出切线方程 解： 1fe 切点坐标为1,e 33231 xxx fxexexe 14fe 切线方程为：4143yee xyexe 小炼有话说：切点已知时求切线方程是切线问题中较简单的一类问题，体会切点分别代入到 函数与导函数中所起到的作用，体会切点横坐标在切线问题中的关键作
8、用 例 2：已知函数 ln2f xxx，则： （1）在曲线 f x上是否存在一点，在该点处的切线与直线420 xy平行 （2）在曲线 f x上是否存在一点，在该点处的切线与直线30 xy垂直 解： （1）思路：切点未知，考虑设切点坐标为 00 ,x y，再利用平行条件求出 0 x，进而求出 切线方程 设切点坐标为 00 ,x y 0 0 1 2fx x 由切线与420 xy平行可得： 00 0 11 24 2 fxx x 0 11 ln1 22 yf 切线方程为： 1 1ln244ln21 2 yxyx （2）思路：与（1）类似，切点未知，考虑设切点坐标为 00 ,x y，有垂直关系可得切线斜
9、率 与已知直线斜率互为负倒数，列出方程求出 0 x，进而求出切线方程 设切点坐标 00 ,x y 0 0 1 2fx x ，直线30 xy的斜率为1 00 0 11 21 3 fxx x 而 0 0,x 0 1 3 x 不在定义域中，舍去 不存在一点，使得该点处的切线与直线30 xy垂直 小炼有话说： （1）求切线的关键要素为切点，进而若切点已知便直接使用，切线未知则需先 设再求。两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条 件 （2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域。在解出自变量的值或范围时也要验证其是 否在定义域内 例 3：函数 2 lnf xaxbx上一
10、点 2,2Pf处的切线方程为32ln22yx ，求 , a b的值 思路： 本题中求, a b的值， 考虑寻找两个等量条件进行求解，P在直线32ln22yx 上， 3 22ln222ln24y ，即 2 =2ln24f，得到, a b的一个等量关系，在从切 线斜率中得到2x 的导数值，进而得到, a b的另一个等量关系，从而求出, a b 解：P在32ln22yx 上， 23 22ln222ln24f 2ln242ln24fab 又因为P处的切线斜率为3 2 a fxbx x 243 2 a fb ln242ln24 2 143 2 ab a a bb 小炼有话说： （1）本题中切线体现了两个
11、作用：切点在切线上，进而可间接求出函数值； 切线的斜率即为切点导数值 （2）一般来说，在求未知量的值题目中，未知量的个数与所用条件的个数相等。在本题中确 定, a b两个未知量，从而想到寻找两个条件来解决问题。 例 4：曲线 x ye在点 2 2,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A. 2 e B. 2 2e C. 2 4e D. 2 2 e 思路： x fxe 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线 方程 2 2fe所以切线方程为： 22 2yeex即 22 0e xye， 与两坐标轴的交点坐标为 2 1,00, e 2 2 1 1 22 e Se 答案：
12、D 小炼有话说：在平面直角坐标系中，我们研究的问题不仅有函数，还有解析几何。所以在求 面积等问题时也会用到解析几何的一些理念与方法。例如求三角形面积要寻底找高，而选择 底和高以计算简便为原则，优先使用点的坐标表示。在本题中选择横纵截距来刻画三角形的 两条直角边有助于简化计算。 例 5：一点P在曲线 3 2 3 yxx上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的取值范 围是( ) A.0, 2 B. 3 0, 24 C. 3 , 4 D. 3 , 24 思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来。 2 31yx，对于曲线上任 意一点P，斜率的范围即为导函数的值域： 2 =311,yx ，所
13、以倾斜角的范围是 3 0, 24 答案：B 小炼有话说： （1）对于切线而言，其倾斜角，斜率，切点处的导数联系紧密：倾斜角的正切 值为斜率，斜率即为切点的导数值。 （2）斜率范围到倾斜角范围的转化要注意一下两点： 斜率化倾斜角时尽量用图像进行辅 助，观察斜率变化时，倾斜角的变化程度。 直线倾斜角的范围为0, 例 6：求过点2,8A，且与曲线 3 f xx相切的直线方程 思路：2,8A满足 f x，但题目并没有说明A是否为切点，所以要分A是否为切点进行分 类讨论。当A是切点时，易于求出切线方程，当A不是切点时，切点未知，从而先设再求， 设切点 00 ,x y，切线斜率为k，三个未知量需用三个条件
14、求解： 00 yf x， 0 kfx， 0 0 A A yy k xx 解： （1）当2,8A为切点时 2 3fxx 212f 切线方程为：81221216yxyx （2）当2,8A不是切点时，设切点 00 ,P x y 0 2x ，切线斜率为k 3 00 2 0 0 0 3 8 2 yx kx y k x ，消去 0 , k y可得： 3 2 0 0 0 8 3 2 x x x 而 32 0000 8224xxxx 0 2x 方程等价于： 222 00000 32420 xxxxx 解得： 0 2x （舍） ， 0 1x 0 1,3yk 切线方程为13132yxyx 综上所述：切线方程为12
15、16yx或32yx 小炼有话说： （1）由于在导数中利用极限的思想对切线进行了严格定义，即割线的极限位置 是切线，从而不能局限的认为切线与曲线的公共点一定就是切点，存在一条直线与曲线相切 于一点，并与曲线的另一部分相交于一点的情况，本题便是一个典型的例子 （2）在已知一点求切线方程时，要注意切线斜率不仅可用切点的导数值来表示，也可以用已 知点与切点来进行表示，进而增加可以使用的条件。 例 7：设函数 32 910f xxaxxa，若曲线 yf x的斜率最小的切线与直线 126xy平行，求a的值 思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为12，进而可得导函数的最 小值为12，便可求
16、出a的值 解： 2 22222 21111 3293939 39333 fxxaxxaaaxaa 2 min 11 9 33 fxfaa 直线126xy的斜率为12，依题意可得： 2 1 9123 3 aa 0a 3a 例 8：若存在过点(1,0)的直线与曲线 3 yx和 2 15 9 4 yaxx都相切,则a等于( ) A.1或 25 64 B. 1或 21 4 C. 7 4 或 25 64 D. 7 4 或7 思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线 2 15 9 4 yaxx含有参数，所以考虑先从 常系数的曲线 3 yx入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线 2 15 9 4 yax
17、x求出a 的值。设过1,0的直线与曲线 3 yx切于点 3 00 ,x x ,切线方程为 32 000 3yxxxx， 即 23 00 32yx xx， 因为1,0在切线上， 所以解得： 0 0 x 或 0 3 2 x ， 即切点坐标为0,0或 3 27 , 28 .当切点0,0时，由0y 与 2 15 9 4 yaxx相切可得 2 1525 490 464 aa ，同理，切点为 3 27 , 28 解得1a 答案：A 小炼有话说： （1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁。所以 可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系 （2）在利用切线与
18、 2 15 9 4 yaxx求a的过程中，由于曲线 2 15 9 4 yaxx为抛物线， 所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的0 来求 解，减少了运算量。通过例 7，例 8 可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关 导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数 的形式，那么也可以用导数来进行处理， （尤其是抛物线） 例 9：（2014， 北京） 已知函数 3 23f xxx， 若过点1,Pt存在 3 条直线与曲线 yf x 相切，求t的取值范围 思路：由于并不知道 3 条切线中是否存在以P为切点的切线，所以考虑先
19、设切点 00 ,xy，切 线斜率为k，则满足 3 000 2 00 23 63 yxx kfxx ，所以切线方程为 00 yyk xx，即 32 0000 2363yxxxxx，代入1,Pt化简可得： 32 00 463txx ，所以若 存 在3条 切 线 ， 则 等 价 于 方 程 32 00 463txx 有 三 个 解 ， 即yt与 32 463g xxx 有三个不同交点，数形结合即可解决 解：设切点坐标 00 ,xy，切线斜率为k，则有： 3 000 2 00 23 63 yxx kfxx 切线方程为： 32 0000 2363yxxxxx 因为切线过1,Pt，所以将1,Pt代入直线方
20、程可得： 32 0000 2363 1txxxx 23 0000 63 123txxxx 23332 0000000 636323463xxxxxxx 所以问题等价于方程 32 00 463txx ，令 32 463g xxx 即直线yt与 32 463g xxx 有三个不同交点 2 1212121gxxxx x 令 0gx 解得01x 所以 g x在 ,0 , 1,单调递减，在0,1单调递增 11,03g xgg xg 极大值极小值 所以若有三个交点，则3, 1t 所以当3, 1t 时，过点1,Pt存在 3 条直线与曲线 yf x相切 例 10：已知曲线 2 :C xy，点P在抛物线上且P的
21、横坐标为1，过P作斜率为0k k 的 直线交C于另一点Q，交x轴于M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是 否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。 思 路 ： 本 题 描 述 的 过 程 较 多 ， 可 以 一 步 步 的 拆 解 分 析 。 点1,1P， 则 可 求 出 :1PQ ykxk，从而与抛物线方程联立可解得 2 1,1Q kk，以及M点坐标，从 而可写出QN的方程， 再与抛物线联立得到N点坐标。 如果从,M N坐标入手得到MN方程， 再根据相切0 求k，方法可以但计算量较大。此时可以着眼于N为切点，考虑抛物线 2 xy本身也可视为
22、函数 2 yx，从而可以N为入手点先求出切线，再利用切线过M代入 M点坐标求k，计算量会相对小些。 解：由P在抛物线上，且P的横坐标为 1 可解得1,1P 设:11PQ yk x 化简可得：1ykxk 1,0k M k 2 1 yx ykxk 消去y： 2 10 xkxk 12 1,1xxk 2 1,1Q kk 设直线 21 :11QNykxk k 即 21 11ykxk k 联立方程： 2 21 11 yx ykxk k 2 11 110 xxkk kk 11 111 QNN xxkkxk kk 2 11 1,1Nkk kk 由 2 yx可得： 2yx 切线MN的斜率 1 |21 N MNx
23、x kyk k 2 111 :1211MNykkxk kkk 代入 1 ,0 k M k 得： 2 1111 12111kkk kkkk 2 1 1210kkkk k 15 2 k 小炼有话说： （1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭圆 双曲线的一部分） ，则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方 程计算0 简便 （2）本题在求N点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知Q的横坐 标求出N的横坐标。这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点求另 一交点的问题。 三、近年好题精选： 1、设函数 2 f xg x
24、x，曲线 yg x在点 1,1g处的切线方程为21yx，则 曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为_ 2、已知直线1ykx与曲线 3 yxaxb切于点(1,3)，则b的值为_ 3、若曲线 2 1 xyC：与曲线 x aeyC： 2 存在公切线，则a的最值情况为（ ） A最大值为 2 8 e B最大值为 2 4 e C最小值为 2 8 e D最小值为 2 4 e 4 、 （ 2015 ， 新 课 标 II 文 ） ， 已 知 曲 线lnyxx在 点1, 1处 的 切 线 与 曲 线 2 21yaxax相切，则a _ 5、 （2015，陕西理）设曲线 x ye在点0,1处的切线与曲线 1 0y
25、x x 上点P处的切线 垂直，则P的坐标为_ 6、 （2014，广东）曲线 5 2 x ye在点0,3处的切线方程为_ 7、 （2014，江西）若曲线 x ye上点P处的切线平行于直线210 xy ，则点P的坐标 为_ 8、已知函数 lnx f x x ，则过原点且与函数 f x图像相切的直线方程为_ 9、已知函数 2 1 2 x fxexax aR，若函数 f x的图像在0 x 处的切线方程为 2yxb，则a _,b_ 习题答案：习题答案： 1、答案：4yx 解析：由切线过 1,1g可得： 13g，所以 2 1114fg，另一方面， 12g， 且 2fxg xx， 所 以 1124fg， 从
26、 而 切 线 方 程 为 ： 4414yxyx 2、答案：3b 解析： 代入(1,3)可得：2k ， 2 3fxxa， 所以有 113 132 fab fa ， 解得 1 3 a b 3 3、答案：B 解析：设公切线与曲线 1 C切于点 2 11 ,x x，与曲线 2 C切于点 2 2, x x ae，由 2 x yx yae 可得： 2 2 2 1 1 21 2 x x aex xae xx ，所以有 2 2 11 112 21 1 2 222 2 x xx xxx xx xae ，所以 2 2 44 x aex，即 2 2 41 x x a e ，设 41 x x f x e ，则 4 2
27、 x x fx e 。可知 f x在1,2单调递增， 在2,单调递减，所以 max 2 4 2af e 4、答案：8 解析： 1 1y x ，所以 1 |2 x y ，切线方程为12121yxyx ，联立方程 2 2 21 20 21 yx axax yaxax ，从而由相切可得： 2 808aaa 5、答案：1,1 解析： x ye的导数 x ye， 所以 0 |1 x ky ， 故P处的切线斜率为1， 设切点 00 ,P x y， 由 1 y x 的导数 2 1 y x ，可得： 0 2 0 1 11x x ，则 0 0 1 1y x ，即P点坐标1,1 6、答案：53yx 解析： 5 5
28、 x ye ，所以 0 |5 x y ，则切线方程为：3553yxyx 7、答案：ln2,2 解析： x ye ，因切点坐标未知，故设 00 ,P x y，由切线与210 xy 平行可知切线 斜率为2，即 0 0 | 2 x x x ye ，解得： 0 ln2x ，所以 ln2 0 2ye ，即P点坐 标ln2,2 8 8、答案： 1 2 yx e 解析：设切点坐标为 00 ,x y，切线的斜率为k，因为 2 1ln x fx x 0 20 0 2 0 00 000 22 000 20 00 0 1ln 1ln ln1ln ln ln x k x kx x xx ykxxe xxx k x yx x 1 2 k e 所以切线方程为： 1 2 yx e 9 9、答案：1,1ab 解析：将0 x 代入到直线方程可得切点坐标为0,b 01bf 直线方程为21yx x fxexa 0121faa 1,1ab
