1、 微专题 24 恒成立问题最值分析法 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种， 但往往会用在解决导数综合题目中 的恒成立问题。 此方法考研学生对所给函数的性质的了解， 以及对含参问题分类讨论的基本功。 是导数中的难点问题。 一、基础知识： 1、最值法的特点： （1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参 （2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响可 能经历分类讨论 2、理论基础：设 f x的定义域为D （1）若xD ，均有 f xC（其中C为常数） ，则 maxf xC （2）若xD ，均有 f xC（其中C为常数）
2、 ，则 minf xC 3、技巧与方法： （1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间， 所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作： 观察函数 f x的零点是否便于猜出（注意边界点的值） 缩小参数与自变量的范围： 通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析） 观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立） ，缩小 自变量的取值范围 （2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性。如果所构造 的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一 个新函数，再想办法解
3、决其符号。 （3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值 点才是最值点的候选点” ，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内。 二、典型例题： 例 1：设 2 22f xxmx，当1,x 时， f xm恒成立，求m的取值范围 思路：恒成立不等式为 2 220 xmxm，只需 2 min 220 xmxm，由于左端是 关于x的二次函数，容易分析最值点位置，故选择最值法 解：恒成立不等式为 2 220 xmxm，令 2 22g xxmxm则对称轴为xm （1）当1m时， g x在1, 单调递增， min 11 220g xgmm 3m即3, 1m （2
4、）当1m时， g x在1,m单调递减，在,m 单调递增 22 min 22021g xg mmmmm 1,1m 终上所述：3,1m 小炼有话说：二次函数以对称轴为分解，其单调性与最值容易分析。所以二次恒成立不等式 往往可考虑利用最值法，此题中对称轴是否在区间内将决定最值的取值，故以此为分类讨论 点。 思路二：从另一个角度看，本题,m x容易进行分离，所以也可考虑参变分离法 解： 22 220212xmxmxmx （1） 1 210 2 xx 时，则 2 min 2 21 x m x (由于m系数符号未定，故分类讨论进行参变 分离） 令21,0txt（换元时注意更新新元的取值范围） 则 2 22
5、 1 2 22919 4 =21 2144 t xtt t xttt （2） 1 210 2 xx ，不等式对任意的m均成立 （3） 1 210 2 xx ， 2 max 2 21 x m x (注意不等号变号！ ！ ） 令21, 10txt ,则 2 22 1 2 22919 4 =23 2144 t xtt t xttt 3m 综上所述：3,1m 小炼有话说： （1）此题运用参变分离法解题并不简便，不仅要对x分类讨论，还要处理一个分式函数的最 值，所以两个方法请作一对比 （2）最后确定m的范围时，是将各部分结果取交集交集，因为分类讨论是对x进行的，m的取值 要让每一部分必须同时成立才可，所
6、以是“且”的关系，取交集 例2 ： 已 知 函 数 2 ln x f xaxxa， 对 任 意 的 12 ,0,1x x ， 不 等 式 12 1f xf xa恒成立，则a的取值范围是_ 思路： 若不等式恒成立， 则 12 max 1af xf x ， 1 f x与 2 f x差的最大值即为 f x 最大值与最小值的差。所以考虑求 2 ln x f xaxxa在0,1的最大最小值， ln2ln1 ln2 xx fxaaxaaax，若1a ，则10, ln0 x aa ，所以 1 ln0 x aa，若01a，则10,ln0 x aa ，所以1 ln0 x aa。而20 x ， 所 以 无 论a为
7、 何 值 ， 0fx ， 则 f x在0,1单 调 递 增 。 maxmin 10lnf xf xffaa，从而1lnaaa ，解得ae 答案：, e 例 3：已知函数 ln10f xaxa，在区间1,e上， f xx恒成立，求a的取值范 围 思路一：恒成立的不等式为ln1axx 即ln10axx ,令 ln1g xaxx观察到 两点特征：(1) g x导函数易分析单调性， （2） 10g,对单调性会有一定要求进而限制参 数a的取值。所以考虑使用最值法求解。 解： f xx恒成立即不等式ln10axx 恒成立，令 ln1g xaxx 只需 min0g x即可， 10g 1 aax gx xx
8、，令 00 ax gxxa x （分析 g x的单调性） 当1a 时 g x在1,e单调递减，则 0 10g xg (思考：为什么以1a 作为分界点讨论？因为找到 10g，若要不等式成立，那么一定从1x 处 起 g x要增（不一定在1,e上恒增，但起码存在一小处区间是增的） ，所以1a 时导致 g x在1x 处开始单减，那么一定不符合条件。由此请体会零点对参数范围所起的作用） 当1a 时，分xa是否在1,e中讨论（最小值点的选取） 若1ae，单调性如表所示 x 1,a , a e g x + g x 10 1 0 g ae g e 1eae （ （1） 可以比较 1 ,gg e的大小找到最小的
9、临界值， 再求解， 但比较麻烦。 由于最小值只会在1,xxe 处取得，所以让它们均大于 0 即可。 （2）由于1,xxe并不在1,e中，所以求得的只是临界值，临界 值等于零也符合条件） 若ae，则 g x在1,e上单调递增， 10g xg，符合题意 综上所述：1ae 小炼有话说：此题在1a 的情况也可不分类讨论，因为从单调区间分析来看，在1+，中 xa是极大值点，不可能是最小值，所以无论xa是否在1,e，最小值（或临界值）均 只会在边界处产生，所以只需 10 1 0 g ae g e 即可 思路二：不等式 ln10axx 中a与x便于分离，所以只要分离后的x的函数易分析出单 调性，那么就可考虑
10、运用参变分离法 解： 1 ln10 ln x axxa x ，令 1 ln x g x x ，则只需 maxag x即可 2 1 ln1 ln x x gx x （单调性受分子影响，但无法直接分析） 令 1 ln1h xx x ， 10h（ h x求导函数，便不含lnx，可分析单调性，且零点找到， 所以方法二可继续进行） 22 111 ( )01, x h xxe xxx h x在1,e上单调递增 10h xh （体会零点配合单调性对确定函数符号的作用） ( ) g x0， g x在1,e上单调递增 1g xg ee 1ae （ g x无最大值，只有临界值，故可取等号） 小炼有话说：第一点是分
11、析 ( ) g x时由于 ( ) g x形式复杂并没有对 ( ) g x直接求导，而是把分 子拿出来分析。因为我们只关心导函数的符号，而分母符号恒正，所以要体会导函数的符号 是对原函数的单调性最有价值的。第二点是体会零点与单调性合作可确定函数的符号，这也 是分析 h x的重要原因 例 4： 已知 1 1 ax x fxe x ，若对任意的0,1x，均有 1f x ，求a的取值范围 思路：恒成立不等式为 1 1 1 ax x e x ，可参变分离但函数比较复杂，所以考虑利用最值法来 分析。发现0 x 时，左右两边刚好相等。这也为最值分析提供方向 解：令 1 1 1 ax x g xe x ， 0
12、0g （ g x从0 x 起应单调递增） 2 2 2 1 ax axa gxe x 令 0g x ，即 22 202axaaxa 下面分情况讨论： 0a 时， 0g x 恒成立， g x在0,单调递增 0,1 ,00 xg xg 0a时， 2 22 1 a x aa 2 11 a 0,1x ， 0g x 恒成立， g x在0,单调递增 0,1 ,00 xg xg 0a 时， 2 22 1 a x aa 2a 时， 2 2a x a 恒成立， g x在0,单调递增 0,1 ,00 xg xg 2a 时， 2 22aa xx aa g x在 2 0, a a 单调减，在 2 ,1 a a 单调递增
13、 2 0,(0)0 a xg xg a ，不符题意，舍去 综上所述：2a 小炼有话说：本题导函数形式简单，所以直接对参数进行分类讨论与取舍 例 5： 已知函数 2 1 x f xexax 对任意的0,x，均有 0f x ，求实数a的 范围 思路：此题可用最值法求解，先做好准备工作， 00f，所以函数要从0 x 开始增，求 导观察特点： 解： 00f ( ) 21 x fxeax（不易直接出单调性，但是发现其中 00f，且 fx再 求一次导，其导函数容易分析单调性。进而可解） 00f 2 x fxea，令 0fx 即2 x ea，下面进行分类讨论： （1）当0a 时， 0fx ， fx单调递增。
14、 00fxf f x单调递增， 00f xf，满足条件 （此处为此题最大亮点，体会三点：单调性与零点是如何配合来确定 ,f xfx的符号的；每 一步的目的性很强， fx的作用就是以符号确定 f x的单调性，所以解题时就关注 fx的符号。而 符号的确定同样要靠二阶导数与一阶导函数的零点配合来得到； ,f xfx的零点是同一个，进而引 发的连锁反应） （2）当0a 时，ln2xa（ln2a可正可负，而0,x，所以讨论 ln2a的符号） 当 1 ln200 2 aa时，ln2xa恒成立，即 fx恒大于零，则： fx单调递增。 00fxf f x单调递增， 00f xf，满足条件 当 1 ln20 2
15、 aa，则0,ln2xa时， 0fx 即 fx在0,ln2a单调递减， 00fxf f x在0,ln2a单调递减， 00f xf，不符题意，故舍 去 综上所述： 1 2 a 时， 0f x 恒成立 小炼有话说：这道题的重要特点在于 ,f xfx的零点是同一个，进而会引发“连锁反应” 。 大家在处理多次求导问题时，一定要清楚每一层导数的目的是什么，要达到目的需要什么， 求出需要的要素。 例 6：已知函数 ln1f xxax，aR （1）求函数 f x的单调区间 （2 2）若）若 ln 20 x fx x 对于任意的对于任意的1,x恒成立，求恒成立，求a的取值范围的取值范围 解：（1） 1 axa
16、 fx xx 0 x 令 0fx 即0 xa 当0a 时， 0fx 恒成立。 f x在0,单调递增 当0a时，解得xa x 0, a , a g x + g x （2）思路：恒成立不等式为 ln 22 ln20 x xax x ，即 2 22ln2ln0 xaxxxx 若参变分离，分离后的函数较为复杂（也可解决）。所以考虑最值法，观察当1x 时，左边 的值为 0，所以对左边的函数的单调性有所制约，进而影响参数a的取值。 解：恒成立不等式等价于 2 22ln2ln0 xaxxxx 设 2 ( )22ln2lng xxaxxxx， 10g 1 421ln2gxxax x 1422 123gaa 0
17、g x 恒成立， 10g 10g 否则若 10g，由于 g x连续 所以必存在区间1,m使得 0g x ，即 g x在1,m单调递减 进而 0 1,xm， 0 10g xg，不符题意 （本质： 10g，所以要保证从1x 开始的一段小区间要单调增，进而约束导数符号） 3 2 a （这是a要满足的必要条件，最终结果应该是这一部分的子集，下面证 3 2 a 均满足条件或 者寻找一个更精确的范围） 下面证任意的 3 2 a 均满足条件。 构造函数 2 ( )23 ln2lnh xxxxxx（ 3 2 a 时的 g x） 则 ( )23ln0g xh xaxx 1,xg xh x ，若要 0g x 恒成
18、立，只需证明 0h x 即可 10h 11 ( )43 1ln243ln5h xxxxx xx 10h 2 222 41131431 40 xxxx hx xxxx 成立 h x在1,单调递增， 10h xh h x在1,单调递增， 10h xh成立 3 2 a 时， 1, ( )0 xg xh x 恒成立，符合题意 3 2 a 小炼有话说： （1） h x的构造的 g x的解析式可看为以a为自变量的一次函数 G a，且单调递增 （ln0 xx ） ， 所以对于 3 , 2 a ， 无论x为何值， 3 2 G aG ， 即 g xh x， 与恒成立的不等式不等号方向一致。 （2） 本题核心想法
19、是利用不等式化参数函数为常值函数 （函数的放缩） ， 进而便于对参数a取 值范围的验证。 （3）归纳一下解决此题的方法：为最值法解恒成立问题的另一个方法构造中间函数 首先先说考虑使用这个方法的前提： 以参数为自变量的函数结构简单（最好单调） 参数缩小后的范围，其不等式与含参函数不等号方向，以及单调性保持一致（在本题中 3 2 a ，而 2 ( )22ln2lng xxaxxxx刚好关于a单调递增，且要( )0g x 。故可引 入 h x位于( )g x与0之间） 其步骤如下： 代入自变量的特殊值缩小参数的取值范围（有可能就得到最终结果），记为 A 因为最终结果 A 的子集，所以只需证明 A 均
20、符合条件或者寻找更小的范围 如果函数是关于参数的一次函数（或单调函数），可通过代入参数的边界值（临界值）构 造新函数并与原函数比较大小 证明新函数介于原函数与不等式右侧值之间，进而说明 A 中的所有值均满足条件，即为最 后结果 例 7： 已知函数 2 1 2ln , 2 fxaxaxx aR ，若在区间1,上， 0f x 恒 成立，求实数a的取值范围 思路：考虑用最值分析法，但可考虑先利用1x 缩小a的讨论范围 解： 1 120 2 faa 1 2 a 2 21112121 11 22 2 axxaxax fxaxa xxx 令 0fx ，即2110211axax （1） 1 210 2 aa
21、 时，即 1 1 , 2 2 a ， 0fx 恒成立 f x在1,单调递 减 10f xf 满足条件 （2） 1 2 a 时， 2 1 2ln 2 f xaxaxx ，考虑 44 ln0 2121 aa f aa ，不符题 意，舍去 （注：这里需要对函数值进行估计，显然 1 0 2 a ，总有一个时刻， 2 1 2 2 axax 大于零，进而 0f x ，所以考虑代入特殊值来说明。对于，所以构造时只需要 2 1 20 2 axax 即可，解得 4 1 21 a x a ，进而舍掉 1 2 a 的情况） 例 8 ： 已 知 函 数 1 x ax f x be ， 曲 线 yfx在 点 1,1f处
22、 的 切 线 方 程 为 2 10 xeye。其中2.71828e 为自然对数的底数 （1）求, a b的值 （2）如果当0 x 时， 1 2 x k fx e 恒成立，求实数k的取值范围 解： （1） 2 1 1 xx x a bebe ax fx be 22 1 1 11 a beabea f bebe ，切线方程： 22 1 11 e yx ee 22 1 11 a bee ，而 1 1 a f be 且在切线中， 1 1 y e 22 1 11 1 11 a bee a bee 解得： 1 1 a b 1 x x f x e （2）思路：恒成立不等式为： 2 21 1 xx xk ee
23、 ，若参变分离，则分离后的函数过于复杂，不 利于求得最值，所以考虑利用最值法，先变形不等式，由于 2 1 x e的符号不确定（以0 x 为 界） ，从而需进行分类讨论。当0 x 时，不等式变形为： 2 1210 xx k exek，设 2 121 xx g xk exek，可观察到 00g，则若要0 x 时， 0g x ，则需 00g，进而解出0k ，再证明0k 时， 0g x 即可。将k的范围缩至0k 时再证 明0 x 时， 0g x 即可。 解：由（1）可得恒成立的不等式为： 2 21 1 xx xk ee 当0 x 时， 2 2 21 211 1 xx xx xk xeke ee 2 1
24、210 xx k exek 设 2 121 xx g xk exek，可得 00g 2 2 121 xx g xk exe 若 00g，则 0 0 x，使得 0 0,xx时， 0g x g x在 0 0,x单调递减 则 0 0,xx时， 00g xg与恒成立不等式矛盾 00g不成立 00g 02 120gk解得：0k 下面证明0k 均可使得0 x 时， 0g x 2 2 121211 xxxx gxk exeek ex 0k 1110 xx k exex 0g x g x在0,单调递增 00g xg，即不等式恒成立 当0 x 时， 2 2 21 211 1 xx xx xk xeke ee 2
25、 12100 xx k exekg x 0k 同理， 2110 xx gxek ex g x在,0单调递增 00g xg 即0k 时不等式在,0 x 恒成立 综上所述，0k 例9： 设函数( )(1) x f xaex（其中2.71828.e） ， 2 ()2gxxb x ， 已知它们在0 x 处有相同的切线. （1）求函数( )f x，( )g x的解析式； （2）若对2,( )( )xkf xg x 恒成立，求实数k的取值范围. 解： （1）思路：由题意可知 ,f xg x在0 x处有公共点，且切线斜率相同 ,f xg x在0 x处有相同的切线. 00 00 fg fg 2 ,2 x fx
26、aexg xxb 22 24 aa abb 2 21 ,42 x fxexg xxx （2）思路：恒成立不等式为 2 21420 x kexxx，尽管可以参变分离但分离后关 于x的函数结构复杂，不易分析单调性。所以考虑最值法 解：令 2 2142 x F xkexxx，只需 min0F x 2224212 xx Fxkexxkex 2x 令 01 x Fxke 2,( )0 xF x 均成立， 0220Fk 1k （上一步若直接求单调增区间，则需先 对k的符号进行分类讨论。但通过代入0 x （ 0 1e ，便于计算） ，解得了k要满足的必要条件，从而简 化了步骤。 ） 解得 11 ln x e
27、x kk 2,x 下面根据 1 lnx k 是否在2,进行分类讨论： 2 1 ln2ke k F x在2,单调递增。 22 2min 2 2220F xFkeek e 与已知矛盾（舍） 2 1 ln2ke k F x在2,单调递增。 22 2min 2 2220F xFkeek e 满足条件 2 1 ln21ke k 则 x 1 2,ln k 1 ln, k Fx F x 2 1 ln min 1111 ln2ln1ln4ln2 k F xFk e kkkk 11 lnln20 kk 恒成立，故满足条件 综上所述： 2 1,ke 小炼有话说：本道题的亮点在于代入0 x 以缩小k的范围，0 x
28、并不是边界点，但是由于 0F易于计算（主要针对指数幂） ，且能够刻画k的范围，故首选0 x 例 10： （2011 浙江,22）设函数 2 ln ,fxxax aR （1）若xe为 yf x的极值点，求实数a （2 2）求实数）求实数a的取值范围，使得对任意的的取值范围，使得对任意的0,3xe，恒有，恒有 2 4f xe成立成立. .注：注：e为自然为自然 对数的底数对数的底数 解： （1） 2 ( ) 2ln=2ln1 xaa fxxaxxax xx xe是 f x的极值点 30 a feeaae e 或3ae，经检验符合题意 ,3ae ae （2）思路一：恒成立的不等式为 2 2 ln4x
29、axe，考虑选择最值法 当0,1x时，无论a为何值，不等式恒成立（ f x的单调区间必然含参数，首先将恒成立 的部分剔除，缩小x的取值范围以方便后期讨论） ( ) fx ( )= 2ln1 a fxxax x ，记 2ln1 a h xx x 2 2 ln4f xxaxe恒成立，所以 2 2 33ln34feeaee 22 33 ln3ln3 ee eae ee （通过特殊值代入缩小a的范围，便于分析讨论） 110,2ln0hah aa 00 1,0 xah x （解不出具体的极值点，但可以估计其范围，利用零点存在性定理，同 时得到a与 0 x的关系： 00 0 210 a h xx x )
30、h x单调递增 00 1,0;,0 xxh xxx ah x 00 1,0;,0;,0 xxfxxx afxxafx x 0 1,x 0, x a , a fx f x 若 2 2 ln4fxxaxe，只需 2 2 000 2 2 ln4 33ln34 fxxaxe feeaee 由 00 0 2ln1 a h xx x 得 000 2lnaxxx代入得： 32 000 4ln41xxexe 000 2ln1,3axxxe 由式得 22 33 ln3ln3 ee eae ee 综上所述， 2 3,3 ln3 e aee e 小炼有话说：本题有以下几处亮点： 1、特殊值代入法特殊值代入法：这是本
31、题最大的亮点，通过代入特殊的值缩小, x a的范围，便于讨论，在 有关恒成立的问题中，通过代入特殊点（边界点，极值点等）可以简化运算，提供思路，而 且有一些题目往往不等关系就在自变量的边界值处产生 2、对极值点 0 x的处理，虽无法求值，但可求出它的范围，进而解决问题 思路二：参变分离法： 当0,1x时，无论a为何值，不等式恒成立 考虑1,3xe,则不等式 2 22 2 4 ln4 ln e xaxexa x (体会将x范围缩小后所带来的 便利） 22 lnln ee xax xx 恒成立 则只需 max min 2 ln 2 ln e ax x e ax x 成立 设 2 ln e g xx
32、 x ， 33 22 2 110 2lnln ee gx xxxx g x在1,3e单调递增， max 2 33 ln3 e g xgee e 2 3 ln3 e ae e 再设 2 ln e h xx x , 3 2 333 222 ln2 11 2lnlnln xxeee h x xxxxxx 令 0h x 即 3 2 lnxxe,由左边可得xe时， 3 2 lnxxe， 而 3 2 lnyxx单调递增， 由此可得1,xe, 0h x ,3xe e, 0h x (单调性+根符号） h x在1,e单调增，在,3e e单调递减。故 min 3h xh ee 2 3 ln3 e ae e 综上所
33、述： 2 3,3 ln3 e aee e 小炼有话说：思路二有另外几个亮点： 1、缩小自变量x范围的作用：使lnx为正，进而对后面的变形开方起到关键性作用 2、在处理 h x的问题时，采取零点与单调性结合的方式来确定符号。其中 3 2 lnyxx的 单调性可以快速判断。yx增， 3 2 lnyx增，且两部分的函数值恒为正数，那么相乘后 的解析式依然是增函数。 三、近年模拟题题目精选（三类方法综合） 1 1、已知定义域为已知定义域为R的奇函数的奇函数 f x，当当0 x 时时， 0f xxaa a，且对且对 xR ，恒有恒有 f xaf x，则实数则实数a的取值范围是的取值范围是（ ） A. 0
34、,2 B. 02, C. 1 0,16 D. 016, 2、（2016， 山东潍坊中学高三期末）， 山东潍坊中学高三期末） 已知函数已知函数 2x f xx e， 当， 当1,1x 时， 不等式时， 不等式 f xm 恒成立，则实数恒成立，则实数m的取值范围是（的取值范围是（ ） A 1 , e B 1 , e C, e D, e 3 3、 （20142014，辽宁）当，辽宁）当2,1x 时时，不等式不等式 32 430axxx恒成立恒成立，则实数则实数a的取值范的取值范 围是围是（ ） A. A. 5, 3 B. B. 9 6, 8 C. C. 6, 2 D. D. 4, 3 4 4、 （2
35、0142014，新课标全国卷，新课标全国卷 IIII）设函数）设函数 3sin x f x m ，若存在若存在 f x的极值点的极值点 0 x满足满足 2 22 00 xf xm ，则则m的取值范围是的取值范围是（ ） A. A. , 66, B. B. , 44, C. C. , 22, D. D. , 11, 5 5、 （20152015，新课标，新课标 I I）设函数）设函数 21 x f xexaxa其中其中1a ，若存在唯一的整数若存在唯一的整数 0 x， 使得使得 0 0f x，则则a的取值范围是的取值范围是（ ） A. A. 3 ,1 2e B. B. 33 , 24e C. C
36、. 33 , 24e D. D. 3 ,1 2e 6 6、 （20142014，辽宁），辽宁）已知定义在已知定义在0,1上上的函数的函数 f x满足满足： 010ff 对所有的对所有的,0,1x y，且且xy，有有 1 2 f xfyxy 若对所有的若对所有的,0,1x y， f xfyk恒成立恒成立，则则k的最小值为的最小值为（ ） A A. . 1 2 B. B. 1 4 C. C. 1 2 D. D. 1 8 7 7、 （20162016，唐山一中）已知函数，唐山一中）已知函数 2 ln() () xxb f xbR x ，若存在若存在 1 ,2 2 x，使得，使得 0f xxfx ，则
37、实数，则实数b的取值范围是（的取值范围是（ ） A 3 (, ) 2 B 9 (, ) 4 C(,3) D(,2) 8、已知函数已知函数 2 ln1f xaxx，在区间，在区间0,1内任取两个不相等的实数内任取两个不相等的实数, p q，若不等式，若不等式 11 1 fpf q pq 恒成立，则实数恒成立，则实数a的取值范围是（的取值范围是（ ） A. 15, B. 6, C. ,15 D. ,6 9、已知已知 32 ln ,2f xxx g xxaxx ，若对任意的，若对任意的 0,22xf xg x 恒成立，则恒成立，则实数实数a的取值范围的取值范围是是_ 1010、已知不等式已知不等式x
38、ya xy对一切对一切0,0 xy恒成立恒成立，则则a的取的取值范围是值范围是_ 1111、若不等式若不等式 2 211xa x 对满足对满足11a 的所有的所有a都成立都成立，则则x的取值范围是的取值范围是 _ 12、 （2016，上海理工大附中一月考）已知不等式组，上海理工大附中一月考）已知不等式组 2 2 430 680 xx xx 的解集是关于的解集是关于x的不等的不等 式式 2 290 xax解集的一个子集，则实数解集的一个子集，则实数a的取值范围是的取值范围是_ 1313、 （20142014， 重庆） 若不等式， 重庆） 若不等式 2 1 2122 2 xxaa对任意实数对任意实
39、数x恒成立恒成立， 则实数则实数a的的 取值范围是取值范围是_ 14 、 （ 2016 ， 上 海 十 三 校， 上 海 十 三 校 12 月 联 考 ） 已 知月 联 考 ） 已 知 2 2 43,0 23,0 xxx f x xxx ， 不 等 式， 不 等 式 2f xafax在在,1a a上恒成立，则上恒成立，则a的取值范围是的取值范围是_ 1515、已知函数已知函数 | )( x exf，对任意的，对任意的) 1(, 1 mmx，都有，都有exxf )2(，则最大的正整，则最大的正整 数数m为为_ _ 16、关于关于x的不等式的不等式 2 130axxa的解集为的解集为, ，则实数，
40、则实数a的取值范围是的取值范围是_ 1717、 （20162016，内江四模），内江四模）已知函数已知函数 x e x xf | )(，1224)( 21 mmmxg xx ，若，若 RexgfxM)(|，则实数，则实数m的取值范围是的取值范围是 18 、 （ 2016 四 川 高 三 第 一 次 联 考 ） 已 知四 川 高 三 第 一 次 联 考 ） 已 知 22 0,lnaf xaxxax， 若 不 等 式， 若 不 等 式 32ef xe对任意对任意1,xe恒成立，则实数恒成立，则实数a的取值范围为的取值范围为_ 19、已知已知0,0 xy，若，若 2 28 7 yx mm xy 恒成
41、立，则实数恒成立，则实数m的取值范围是的取值范围是_ 20、若不等式若不等式12axy对满足对满足 22 5xy的一切实数的一切实数, x y恒成立，则实数恒成立，则实数a的取值范的取值范 围是围是_ 2121、已知已知0a，函数，函数 2 ( ), ( )lnf xaxx g xx. . (1)(1)若若 1 2 a ，求函数，求函数 ( )2 ( )p xf xg x的极值；的极值； (2)(2)是否存在实是否存在实数数a, ,使得使得( )()f xg ax恒成立？若存在恒成立？若存在, ,求出实数求出实数a的取值集合；若不存在，的取值集合；若不存在， 请说明理由请说明理由 22、 （2
42、014，庆安高三期中）已知函数，庆安高三期中）已知函数)0()(xb x a xxf，其中，其中Rba, （1）若曲线）若曲线)(xfy 在点在点)2(, 2(fP处的切线方程为处的切线方程为13 xy，求函数，求函数)(xf的解析式；的解析式； （2）讨论函数）讨论函数)(xfy 的单调性；的单调性； （3）若对于任意的）若对于任意的2 , 2 1 a，不等式，不等式10)(xf在在 1 , 4 1 上恒成立，求上恒成立，求b的取值范围的取值范围 23、 （2016，抚顺一模）已知函数，抚顺一模）已知函数 2 ( )ln ()f xxax aR 。 （1）当）当2a时，求函数时，求函数( )
43、f x在点在点(1,(1)f处的切线方程；处的切线方程； （2）若函数）若函数 2 ( )( )22g xf xxx，讨论函数，讨论函数( )g x的单调性；的单调性； （3）若（）若（2）中函数）中函数( )g x有两个极值点有两个极值点 12 ,x x 12 ()xx，且不等式，且不等式 12 ( )g xmx恒恒成立，求实成立，求实 数数m的取值范围。的取值范围。 2424、 （20152015，山东）设函数，山东）设函数 2 ln1f xxa xx，其中其中aR （1)1)讨论函数讨论函数 f x极值点的个数极值点的个数，并说明理由并说明理由 （2 2）若）若 0,0 xf x 成立成立，求求a的取值范围的取值范围 2525、 （20152015，新课标，新课标 IIII）设函）设函数数 2mx f xexmx （1 1）证明：）证明： f x在在,0单调递减单调递减，在在0,单调递增单调递增 （2 2）若对于任意）若对于任意 12 ,1,1x x ，都有都有 12 1f xf xe，求求m的取值范的取值范围围 2626、 （20152015，北京）已知函数，北京）已知函数 1 ln 1 x f x x （1 1）求曲线）求曲线 yf x在点在点 0,0f处的切线方程处的切线方程 （2 2）求证：当）求证：当0,1x时时， 3 2 3 x f xx （
