1、 微专题 27 三角函数的值域与最值 一、基础知识 1、 形如sinyAx解析式的求解： 详见“函数sinyAx解析式的求解”一节， 本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式： 22 1cos21cos2 cos,sin 22 （2）2sincossin2 （3）两角和差的正余弦公式 sinsincossincos sinsincossincos coscoscossinsin coscoscossinsin （4）合角公式： 22 sincossinabab，其中tan b a 2、常见三角函数的值域类型： （1）形如sinyAx的值域：使用换元法，设tx，根据x的范围确定t的范 围，然
2、后再利用三角函数图像或单位圆求出x的三角函数值，进而得到值域 例：求 2sin 2, 44 4 f xxx 的值域 解：设2 4 tx 当, 4 4 x 时， 3 2, 444 tx 22 sin, 22 t 2, 2f x （2）形如sinyfx的形式，即 yf t与sintx的复合函数：通常先将解析式化简为 同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的 函数，再求出值域即可 例：求 2 2 sincos2, 63 f xxxx 的值域 解： 22 sin1sin2sinsin1f xxxxx 设sintx 2 , 63 x 1 ,1 2 t 2 2 13
3、 1 24 yttt 3 ,3 4 y ，即 f x的值域为 3 ,3 4 （3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结 合法进行处理（详见例 5，例 6） 二、典型例题 例 1：已知向量 cos ,sin3cos,cos3sin , sin,axxxbxxxf xa b （1）求函数 f x的单调递增区间 （2）当）当, 6 4 x 时，求时，求 f x的取值范围的取值范围 解： （1） coscos3sinsin3cossinf xa bxxxxxx 22 cossin2 3sin cosxxxx cos23sin22cos 2 3 xxx 5 222
4、2 336 kxkkxkkZ 单调递增区间为： 5 , 36 kkkZ （2）思路：由（1）可得： 2cos 2 3 f xx ，从, 6 4 x 得到角2 3 x 的范围， 进而求出 f x的范围 解：由（1）得： 2cos 2 3 f xx , 6 4 x 5 2,20 , 3236 xx 3 cos 2,1 32 x 2 c o s23 , 2 3 fxx 小炼有话说：对于形如 sinf xAx的形式，通常可先计算出x的范围，再确 定其三角函数值的范围 例 2：已知函数 cos 22sinsin 344 f xxxx （1）求函数 f x的最小正周期和图像的对称轴方程 （2）求函数 f
5、x在区间, 12 2 的值域 解： （1） cos 22sinsin 344 f xxxx 132222 cos2sin22sincossincos 222222 xxxxxx 22 13 cos2sin2sincos 22 xxxx 1331 cos2sin2cos2sin2cos2 2222 xxxxx sin 2 6 x T 对称轴方程：2 6232 k xkxkZ （2）思路：将2 6 x 视为一个整体，先根据x的范围求出2 6 x 的范围，再判断其正弦值 的范围 解： sin 2 6 f xx , 12 2 x 5 2, 636 x 3 sin 2,1 62 f xx 例 3：函数
6、2 7 cossincos2 4 yxxx的最大值为_ 思路：解析式中的项种类过多，不利于化简与分析，所以考虑尽量转化为同一个角的某一个 三角函数。观察可得cosx次数较低，所以不利于转化，而 2 sin,cos2xx均可以用cosx进行 表示，确定核心项为cosx，解析式变形为 22 7 cos1cos2cos1 4 yxxx，化简 后为 2 2 71 coscoscos2 42 yxxx ，当 1 cos 2 x 时， max 2y 答案：2 小炼有话说：当解析式无法化成sinyAx的形式时，要考虑是否是三角函数与其他 函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用
7、核心变量进 行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可 例 4：设函数 sincos2f xxx，若, 6 2 x ，则函数 f x的最小值是_ 思路： 同例 4 考虑将解析式中的项统一， 2 2 cos212sin12 sinxxx ， 进而可将sinx 作为一个整体，通过换元来求值域。 解： 2 sincos2sin12 sinf xxxxx 设sintx，由, 6 2 x 可得： 1 sin,1 2 x ，从而0,1t 2 2 19 212 48 yttt ，所以 9 0, 8 y 所以最小值为0y 答案：0 例 5：函数 3sin 2sin x f x x 的值域为_ 思路：可将sinx
8、视为研究对象，令sin ,1,1tx t ，进而只需求 3 2 t y t 的值域即可。 解：令sintx，可得1,1t 35 1 22 t y tt 1, 1t 21, 3t 55 ,5 23t 52 1,4 23 y t 答案： 2 ,4 3 小炼有话说：要注意在xR时sinx自身带范围，即sin1,1x 例 6：函数 2sin cos x f x x 的值域为_ 思路：可变形为 2sin 0cos x f x x ，且 2sin 0cos x x 可视为0,2与cos ,sinxx连线的斜率k 的取值范围，cos ,sinxx为单位圆上的一点，所以问题转化为直线:2lykx与圆 22 1
9、xy有公共点的k的范围。所以 2 2 1 1 O l d k ，解得：3k 或3k ，所 以 ,33,f x 答案： ,33, 小炼有话说： （1）对比例 5 和例 6，尽管都是同一个角的分式值域，但是例 5 的三角函数名相 同，所以可视为同一个量，利用换元求解，而例 6 的三角函数名不同，所以不能视为同一个 量。要采取数形结合的方式。 （2）本题还可利用方程与函数的关系求得值域，解法如下： 2sin cossin2 cos x yyxx x 2 2 2 1sin2sin 1 yxx y 所以y的取值范围（即值域）要能保证存在x使得等式成立 所以只需 2 2 1 1y 2 21y，解得： ,3
10、3,y 例 7：设函数 sin 2, 66 f xxxa 的值域是 1 ,1 2 ，则实数a的取值范围是 _ 思路：本题是已知值域求参数，所以考虑先带着a计算角2 6 x 的范围为,2 66 a ， 可知 1 62 f ，值域中最大值为 1，所以说明,2 66 a 经过 2 ，同时范围不能超 过 7 6 （否则最小值就要小于 1 2 ） ，从而可得 7 2 266 a ，解得： 62 a 答案： 62 a 例 8：已知函数 2 cossincos 2 a fxaxbxx的最大值为 1 2 ，且 3 34 f ，则 3 f （ ） A. 1 2 B. 3 4 C. 1 2 或 3 4 D. 1
11、2 或 3 4 思路：观察到 f x的项具备齐二次的特点，所以想到将解析式化为sinAx的形式， 通过变形可得： 22 1 sin 2 2 f xabx，所以最大值为 22 11 22 ab，即 22 1ab，再利用 3 34 f 可得： 133 444 ab，通过可解得： 3 0 2 , 1 1 2 a a b b ，进而求出 3 f 的值为 1 2 或 3 4 解： 2 1cos21 cossin cossin2 2222 axa f xaxbxxabx 22 11 cos2sin2sin 2 22 axbxabx 所以可得： 22 max 11 22 f xab 另一方面： 2 133
12、cossincos 33332444 a fabab 整理可得： 22 1 33 ab ab ，解得： 3 0 2 , 1 1 2 a a b b 当 0 1 a b 时， 3 sincos 3334 f 当 3 2 1 2 a b 时， 2 313 cossincos0 3232334 f 3 f 的值为 1 2 或 3 4 例 9：当0 2 x 时，函数 2 1cos28sin sin2 xx f x x 的最小值为_ 思 路 一 ： 考 虑 将 所 有 项 转 变 为 关 于2x的 三 角 函 数 ， 即 5 cos2 1cos24 1cos253cos2 3 3 sin2sin20si
13、n2 x xxx f x xxx ，从而想到分式与斜率的 关系， 5 cos2 3 sin2 x x 可视为 5 0, sin2 ,cos2 3 xx ，结合0 2 x 可得sin2 ,cos2xx为单 位圆半圆上的点，通过数形结合可得：最小值为 4 思 路 二 ： 考 虑 将 所 有 项 转 变 为 关 于x的 三 角 函 数 ， 则 22222 1cos28sin2cos8sincos4sin sin22cos sincos sin xxxxxx f x xxxxx ，观察到分子分母为齐 二次式，从而上下同时除以 2 cos x，可得： 2 14tan1 4tan tantan x f x
14、x xx ，因为 0, 2 x ，所以tan0,x，所以利用均值不等式可得： 1 4tan4 tan f xx x 答案：4 例 10：求函数 sincossin cos1f xxxxx的值域 思路： 本题很难转化为同名三角函数解析式， 解题的关键在于了解sincosxx与sin cosxx之 间 的 联 系 ： 21 sincossincos1 2 xxxx ， 从 而 将 解 析 式 的 核 心 变 量 转 化 为 sincosxx，通过换元求出值域即可 解： 22 22 11 sin cossincossincossincos1 22 xxxxxxxx 21 sincossincos11 2 f xxxxx 21 sincos2 sincos12 2 xxxx 21 sincos12 2 xx 因为sincos2sin2, 2 4 xxx sincos1xx时， max2f x 当sincos2xx 时， min 1 2 2 f x 所以可得： f x的值域为 1 2,2 2
