1、 微专题 23 恒成立问题数形结合法 一、基础知识： 1、函数的不等关系与图像特征： （1）若xD ，均有 f xg xf x的图像始终在 g x的下方 （2）若xD ，均有 f xg xf x的图像始终在 g x的上方 2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数 3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等 4、作图时可“先静再动” ，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数 的不同取值而发生变化） 5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备 6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点： （1）所
2、给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及 的函数便于直接作图或是利用图像变换作图 （2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义 （3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征 二、典型例题： 例 1：已知不等式 2 1logaxx在1,2x上恒成立，则实数a的取值范围是_ 思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出 2 1yx的图像，观察图像可 得 ： 若 要 使 不 等 式 成 立 ， 则logayx的 图 像 应 在 2 1yx的上方，所以应为单增的对数函数，即1a ， 另一方面，观察图像可得：若要保证在1,2x时不等式 成立，只需保证在2x 时，
3、 2 1logaxx即可，代入 2x 可得：1log 22 a a，综上可得：12a 答案：12a 小炼有话说： （1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小 了参数讨论的取值范围。 （2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的2x ） （3）处理好边界值是否能够取到的问题 例 2：若不等式logsin2 (0,1) ax x aa对于任意的0, 4 x 都成立，则实数a的取值 范围是_ 思路：本题选择数形结合，可先作出sin2yx在0, 4 x 的图像，a扮演的角色为对数的 底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a，观察图像进一步可得只
4、需 4 x 时， logsin2 ax x， 即l o gs i n 21 444 a a ， 所 以 ,1 4 a 答案：,1 4 a 例 3：若不等式21xxc对任意xR恒成立，求c的取值范围 思路：恒成立不等式变形为21xcx ，即2yxc的图像在1yx 图像的上方即 可， 先作出1yx 的图像， 对于2yxc， 可看作yx 经过平移得到， 而平移的距离与c的取值有关。 通过观察图像， 可得只需21c ，解得： 1 2 c 答案： 1 2 c 小炼有话说： 在本题中参数c的作用是决定图像平移变换的程度， 要抓住参数在图像中的作用， 从而在数形结合中找到关于参数的范围要求 例 4：若| 2
5、p ,不等式 2 12xpxpx 恒成立,则x的取值范围是_ 思路：本题中已知p的范围求x的范围，故构造函数时可看作关于p的函数，恒成立不等式 变形为 2 210 xpxx ,设 2 2122f xxpxxp ,即关于p 的一次函数，由图像可得：无论直线方向如何，若要 0f x ，只需在端点处函数值均大于 0 即 可 ， 即 20 20 f f , 解 得 ： 11 3 2 x 或 113 2 x 答案： 113 2 x 或 113 2 x 小炼有话说： （1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知， 则以该字母作为自变量构造函数。 （2）线段的图像特征：若两个端点均在
6、坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧。 （3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线 上所有点均与端点同侧 例 5：已知函数 2 1f xxmx，若对任意的,1xm m，都有 0f x 成立，则实 数m的取值范围是_ 思路：恒成立的不等式为 2 10 xmx ，如果进行参变分离，虽可解决问题，但是因为x所 在区间含参，m的取值将决定分离时不等号方 向是否改变，需要进行分类讨论，较为麻烦。 换一个角度观察到 f x是开口向上的抛物线， 若要 0f x ，只需端点处函数值小于零即可 （无论对称轴是否在区间内） ，所以只需 2 2 22 210 22 31230
7、 0 2 m f mm f mmm m ， 解得 2 ,0 2 m 答案： 2 ,0 2 小炼有话说：本题也可以用最值法求解：若 0f x ，则 max0f x，而 f x是开口向 m+1 m 上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以 0 10 f m f m ，再解出m的范围即可 例 6：已知函数 1fxxa x，设关于x的不等式 f xaf x的解集为A，若 1 1 , 2 2 A ，则实数a的取值范围是_ 思路：首先理解条件 1 1 , 2 2 A ，即 1 1 , 2 2 x 时，不等式 f xaf x恒成立， 可判断出函数 f x为奇函数，故先作出0 x 的图像， 即 2 yaxx，
8、参数a的符号决定开口方向与对称轴。 故分类讨论：当0a 时， 2 yaxx单调递增，且 f xa为 f x向左平移a个单位， 观察图像可得不 存在满足条件的a， 当0a时， 2 yaxx开口向下， 且f xa为 f x向右平移a个单位，观察可得只需 11 , 22 xx ， f xaf x， 即可保证 1 1 , 2 2 x ，f xa的图像始终在 f x的下方。 1 2 1 2 faf x faf x 解得： 15 0 2 a ；当0a 时，代入验证不符题意。 答案： 15 0 2 a 小炼有话说： （1）注意本题中“恒成立问题”的隐含标志：子集关系 （2）注意函数奇偶性对作图的影响 （3）
9、本题中参数a扮演两个角色： f x二次项系数决定抛物线开口， 决定二次 函数对称轴的位置； 图像变换中决定平移的方向与幅度，所以要进行符号的分类讨论。 例 7：已知函数 2 1 2ln 2 fxaxaxx .当x1,+时，不等式 0f x 恒成立， 则实数a的取值范围是_ 思路：所证不等式可转化为 2 1 2ln 2 axaxx ，作出lnyx 的图像，当 1 2 a 时a 的取值决定 2 1 2 2 yaxax 的开口，观察可得 1 0 2 a ，且1x 时， 2 1 2ln 2 axaxx 即 可， 1 0 11 2 122 20 2 a a aa 当 1 2 a 时，不等式为ln0 xx
10、，可证明其成立 答案： 1 1 , 2 2 a 小炼有话说：原不等式无法直接作出图像，则考虑先变形再数形结合，其原则为两个函数均 可进行作图。 例 8：设aR，若0 x时均有 2 1110axxax ，则a_ 思路：本题如果考虑常规思路，让两个因式同号去解a的值（或 范围） ，则不可避免较复杂的分类讨论，所以可以考虑利用图像 辅助解决。将两个因式设为函数： 11f xax， 2 1g xxax，则在图像上要求这两个函数同时在x轴的 上方与下方。这两个函数在图像上有公共定点0, 1，且 g x为开口向上的抛物线。所以 f x的斜率必大于 0，即1a ，通过观察图像可得： f x与 g x与x轴的
11、交点必须重合。 1 0 1 f xx a ，所以 2 111 010 111 ga aaa ，解得：0a（舍） 或 3 2 a 答案： 3 2 a 小炼有话说： （1）在处理不等式的问题时要有两手准备，一是传统的代数方法，二是通过数 形结合的方式。要根据题目选择出合适的方法。对于数形结合而言，要求已知条件与所求问 题都具备一定的图像特征。所以在本题中一旦确定了使用图像，则把条件都翻译为图像上的 特点。 （2） 本题中隐藏的公共定点是本题的一个突破口， 这要求我们对于含参的函数 （尤其是直线） ， 要看是否具备过定点的特征。 例9 ： (2015山 东 烟 台 高 三 一 模 ） 已 知 2 2
12、 43,0 23,0 xxx f x xxx ， 不 等 式 2fxafax在,1a a 上恒成立，则实数a的取值范围是( ) A. , 2 B. ,0 C. 0,2 D. 2,0 思路：本题有两个难点，一是所给区间含参，一个是xa与2ax很难确定其范围，从 而f xa与2fax无法化成解析式。但由于所给不 等式可视为两个函数值的大小，且分段函数图像易于作出， 所以考虑作出 f x图像，看是否存在解题的突破口。通过 图像可以看出虽然 f x是分段函数， 但是图像连续且单调 递减。所以 f x是R上的减函数。那么无论xa与 2ax位 于 哪 个 区 间 ， 由2f xafax及 单 调 性 均
13、可 得 到 ： 只 需 22xaaxax，所以 max 221axa，解得2a 答案：A 例10 ： 已 知 函 数 f x是 定 义 在R上 的 奇 函 数 ， 当0 x 时 ， 222 1 23 2 f xxaxaa ，若 ,1xR f xf x ，则实数a的取值范围 是_ 思路： f x是奇函数且在0 x 时是分段函数（以 22 ,2aa为界） ，且形式比较复杂，恒成立 的不等式 1f xf x较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法。 从数形结合的角度来看，一方面 f x的图像比较容易作出，另一方面1f x 可看作是 f x的图像向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图像。所以考虑利用图像寻找a满足 的条件。先将 f x写为分段函数形式： 22 222 2 3,2 ,2 ,0 xaxa f xa axa xxa ，作出正半轴图像后再 根据奇函数特点，关于原点对称作出x负半轴图像。 1f xf x恒成立，意味着 f x 的图像向右平移一个单位后，其图像恒在 f x的下方。通过观察可得在平移一个单位至少要 平移 2 6a个长度，所以可得： 2 66 61 66 aa 答案： 66 , 66
