1、 微专题 30 函数sinyAx解析式的求解 在有关三角函数的解答题中，凡涉及到 sinf xAx的性质时，往往表达式不 直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得, ,A 得到，本讲主要介绍求解 sinyAx解析式的一些技巧和方法 一、基础知识： （一）表达式的化简： 1、所涉及的公式（要熟记，是三角函数式变形的基础） （1）降幂公式： 22 1cos21cos2 cos,sin 22 （2）2sincossin2 （3）两角和差的正余弦公式 sinsincossincos sinsincossincos coscoscossinsin coscoscossinsin （4） 合角公式： 22
2、 sincossinabab， 其中tan b a （这是本讲的主角， 也是化简的终结技） 2、关于合角公式： 22 sincossinabab的说明书： （1）使用范围：三个特点： 同角（均为） ，齐一次，正余全 （2）操作手册：如果遇到了符合以上三个条件的式子，恭喜你，可以使用合角公式将其化为 sinf xAx的形式了，通过以下三步： 一提：提取系数： 22 ab，表达式变为： 22 2222 sincossincos ab abab abab 二找： 由 22 2222 1 ab abab ， 故可看作同一个角的正余弦 （称为辅助角） ， 如 2222 cos,sin ab abab ，
3、可得： 22 sincoscos sinsincosabab 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角： 22 sincossinabab （3）举例说明： sin3cosyxx 13 2sincos 22 yxx 13 cos,sin2 cossinsincos 232333 yxx 2sin 3 yx （4）注意事项： 在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余 弦公式，所以构造的正余弦要同角 此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的 角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如上面的那个例子： 13 2sincos
4、 22 yxx ，可视为 13 sin,cos 2626 ，那么此时表达式就变为： 2 sinsincoscos 66 yxx ，使用两角差的余弦公式：2cos 6 yx 所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式。找角灵活，也要搭配好对应的三角函数公式。找角灵活，也要搭配好对应的三角函数公式。 当然， 角寻找的不同， 自然结果形式上也不一样， 但2cos 6 yx 与2sin 3 yx 本 质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用） 通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，这也为我们的化简提供了便利，如果提完系数发现 括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的来代替，再在旁边标注的一个三角函数值。 3
5、、表达式的化简攻略： 可化简的表达式多种多样，很难靠列举一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来 进行操作，所以说几条适用性广的建议： （1）观察式子：主要看三点 系统：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦） ，确定后进行项的 统一（有句老话：切割化弦） 确定研究对象：是以x作为角来变换，还是以x的表达式（例如2x）看做一个角来进行变 换。 式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次） ， 若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式，那么很有可能要 使用合角公式，其结果成为 sinf xAx的形式。例如： 齐二次式：
6、2 sin2cos sin2yxxx，齐一次式：sincos 6 yxx （2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂：常用到前面的公式 22 1cos21cos2 cos,sin 22 ，2sincossin2（还有句老话：平方降幂） 例如：sincos 6 yxx ，确定研究对象了：x，也齐一次，但就是角不一样（一个是 x ，一个是 6 x ）那么该拆则拆，将cos 6 x 打开 3113 sincossinsincos 2222 yxxxxx 于是就可合角了 （二）求解, ,A 的值以确定解析式 1、, ,A 的作用 （1）:A称为振幅，与sinyAx一个周期中所达到的波峰波谷
7、有关 （2）：称为频率，与sinyAx的周期T相关，即 2 T （3）：称为初相，一定程度上影响sinyAx的对称轴，零点 2、, ,A 的常规求法： （1）A： 对于sinyAx可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到 对于sinyAxb可通过一个周期中最大，最小值进行求解： maxmin 2 yy A （2）：由 2 T 可得：只要确定了sinyAx的周期，即可立刻求出，而T的 值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解 如果sinyAx相邻的两条对称轴为,xa xb ab，则2Tba 如果sinyAx相邻的两个对称中心为 ,0 ,0abab，则2Tba 如果si
8、nyAx相邻的对称轴与对称中心分别为,0 xa b，则4Tba 注：在sinyAx中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价。 （3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要 注意题目中对的限制范围 3、确定解析式要注意的几个问题： （1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于,A 与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定A的值，再根据对称轴对称中心 的距离确定T，进而求出，最后再通过代入一个特殊点，并根据的范围确定。 （2）求时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的值唯一，不会 出现多解的情况。如
9、果代入其它点（比如零点） ，有时要面临结果取舍的问题。 二、典型例题： 例 1：化简： 2 2sin cos 42 f xxx 解：原式 222 2sincossin 222 xxx 2 2 2sin cos2sin 2 xxx 2 1 cos222 sin2 222 x x 22 sin2cos2sin 2 224 xxx 例 2：化简： 2 2cos2 3sin cos1f xxxx 解： cos21 23sin21 2 x f xx cos23sin22sin 2 6 xxx 例 3： sin 2cos 2 63 fxxx 解：方法一：拆开化简 3113 sin2cos2cos2sin2
10、3sin2cos22sin 2 22226 f xxxxxxxx 方法二：将2 6 x 视为一个整体，则22 362 xx sin 2cos 2sin 2cos 2 63662 fxxxxx s i n2s i n22 s i n2 666 xxx 例 4：如图，函数sin0,02yAxA的图像经过点 7 ,0 ,0 66 ， 且该函数的最大值为2，最小值为2，则该函数的解析 式为（ ） A. 3 2sin 24 x y B. 2sin 24 x y C. 3 2sin 26 yx D. 2sin 26 x y 思路：由题目所给最值可得2A ，图中所给两个零点的 距离刚好是函数一个周期的长度。
11、所以 7423 6632 T T ，此时解析式 为 3 2sin 2 yx ，优先代入最值点，尽管其横坐标未在图上标明，但可知最大值点横坐 标与 6 x 的距离为 646 T ，所以代入,2 6 可得： 3 2 s i n22 2642 kkZ ，由02可解得： 4 ，所以解 析式为 3 2sin 24 yx 答案：A 小炼有话说： （1）本题在求时，最值点的横坐标未知。但为了避免结果的取舍，依然优先选择最值点， 那么在sinyAx的图像中可根据零点的位置结合图象和周期确定最值点的横坐标。 只要最值点可求，就用最值点求得 （2） 为什么不能用其它点？不妨以此题为例， 代入零点求解再进行对比。
12、代入,0 6 可得： 3 2sin0 264 kkZ ， 从 而 在0,2中的 值 有 两 个 ： 5 , 44 ， 那么到底哪个是符合图像的呢？不 妨 再 代 入 最 值 点 验 证 ， 会 发 现 5 4 时 ， 6 |2 x y ，与图像不符，所以舍去。为什么代入最值点就算出一个解，而代入其它点会出 两个解呢？从表达式上看源自正弦值与角的特点。一个周期里当正弦值取到1, 1时，对应的 角只有一个，而正弦值取到1,1时，会出现一个正弦值对应两个角的情况。所以自然就会 出现多解问题。那么 5 4 时对应的图像是什么样的呢？如右图所示：可发现其周期与零点 和已知图像完全一致， 只是在最值点处刚
13、好关于x轴对称。 如果是曲线上的其它点也是会出现 两个图像，而其中只有一个是正确的。当然有些题目对的取值范围刻画更加严格，那么代 入非最值点也可得到唯一解。 （3）本题除了可用纯代数方法计算，还可以利用图像变换得到的取值，由前面计算出 3 2, 2 A， 可得函数图象从sinyx进行了横纵坐标的放缩， 此时解析式为 3 2sin 2 yx， 这个函数图象的特点是过原点。而与已知图像比较，可得已知图像相当于 3 2sin 2 yx图像向 左平移了 6 个单位。所以 33 2sin2sin 2624 yxx 。利用图像变换求解析式 关键要分析出所求图像与sinyAx的联系（即如何平移得到） 。 例
14、 5： 如图所示为函数 sin0,0 2 f xAx 的部分图像， 其中,A B两点 之间的距离为5，那么1f _ 思路：如图可得4AC ，从而计算出3BC ，所以26TBC，进而 3 而2 y A ， 所 以2A ， 此 时 2 sin 3 fxx ， 而 02 sin1f， 解 得 1 sin 26 ，所以12sin1 36 f 答案：11f 例 6：已知函数 sin0,0,0f xAxA，其导函数 fx的部分图 像如图所示，则函数 f x的解析式是（ ） A. 1 2sin 24 f xx B. 1 4sin 24 f xx C. 2sin 4 f xx D. 13 4sin 24 f
15、xx 思路： cosfxAx，可先从周期入手确定的值， 3 24 22 T ， 所 以 1 2 ， 再 由 最 值 可 得 ：24AA， 代 入,2 2 即 可 解 出： 1 2cos2cos1 2224 f ，所以2 4 kkZ ，即 4 。从而 f x的解析式为 1 4sin 24 f xx 答案：B 例 7：已知函数 cosf xAx的图像如图所示， 2 23 f ，则 0f（ ） A. 2 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 1 2 思路一：可以考虑确定 f x的解析式进而求出 0f， 如图可计算出 1172 2 12123 T ，所以3 ， 取零点的中点可得对称轴 711 3 12
16、12 24 x 而 33 cos 3 44 fAA ，从而 9 2 4 k ，解出一个值 4 。所以 cos 3 4 f xAx ， 且 22 cos 32 22433 fAA ， 所 以 2 2 c o s3 34 f xx ，进而 2 0 3 f 思路二：同思路一先解出 2 3 T，则 2 0 3 ff ，从图中可得 2 3 x 与 2 x 关于 7 12 x 中心对称，从而 22 0 323 fff 答案：C 小炼有话说： （1）本题中尽管没有给出最值，但是并不妨碍的求解。从计算过程中也可以 看出 3 cos 3 4 AA ，A是可以消掉的。所以求关键在于找到最值点的横坐标 （2）思路二
17、跳过了求解析式，而是利用周期性与对称性直接得到 0f的值。对于函数 cosf xAx中，处处暗藏着对称与周期的关系，巧妙运用这些关系可以在求函数 值时事半功倍。 例 8：已知函数 sin,(0,0,0) 2 f xAxxR A 的图像与x轴的交点 中，相邻两个交点之间的距离为 2 ，且图像上一个最低点为 2 , 2 3 M ，则 f x的解析 式为_ 思路：可从文字叙述中得到图像的特点，从而求出参数的值：相邻交点距离 2 可得 2 2 T ，从而2，由最小值点 2 , 2 3 M 可得到两个信息：一个是2A ，另 一个是M点即为求所要代入的特殊点。此时 2sin 2f xx，则 2 2 3 f
18、 ，即 243 2sin 222 332 k ， 解得： 6 ， 所以 2sin 2 6 f xx 答案： 2sin 2 6 f xx 例 9：已知函数sin0,0 2 yAxm A 的最大值为 4，最小值为 0，两条 对称轴之间最短距离为 2 ，直线 6 x 是其图像的一条对称轴，则函数解析式为_ 思路：先求出A的值，由题目所给最值可得： 40 2 2 A ，再由对称轴距离为 2 可求得 2 2 T ，从而 2 2 T 。此时函数解析式为2sin 2yxm，因为一条对 称轴为 6 x ，所以2 626 kkZk ，由0 2 得： 6 2sin 2 6 yxm ， 当y取到最大值时， 即sin
19、 21 6 x ， 所以 max 24ym， 进而2m，解析式为2sin 22 6 yx 答案：2sin 22 6 yx 例 10： 已知, , ,A B C D E是函数sin0,0 2 yx 一个周期内图像上的五 个点，如图所示，,0 6 A ，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图象的 一个对称中心，,B D关于点E中心对称，CD在x轴上的投影为 12 ，则函数的解析式为 _ 思路： 设图像的最高点为M， 可知,M C关于E中心对称，,B D关于点E中心对称， 所以BM 与CD关于E中心对称， 所以BM在x轴上的投影也为 12 ， 而,0 6 A ， 所以可得AM在 x轴上的投影为 1264 ， 从而42 4 T ， 此时 sin 2f xx ， 将,1 12 M 代入 f x可得：sin 21 12 ，所以2 62 kkZ ，即 3 ，从而 sin 2 3 f xx 答案： sin 2 3 f xx
