1、 微专题 36 向量的数量积寻找合适的基底 在高考中经常会遇到几何图形中计算某两个向量, a b数量积的问题， 如果无法寻找到计算 数量积的要素（, a b模长，夹角）那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将, a b两个向量 表示出来，进而进行运算。这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法 一、基础知识： （一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则： 1、 平面向量基本定理： 若向量 12 e e ，为两个不共线的向量， 那么对于平面上任意的一个向量a， 均存在唯一一对实数 12 , ，使得 1 122 aee。其中 12 e e ，成为平面向量的一组基底。 （简 而言之，不共线的两个
2、向量可以表示所有向量） 2、向量数量积运算cosa bab，其中为向量, a b的夹角 3、向量夹角的确定：向量, a b的夹角指的是将, a b的起点重合所成的角，0, 其中0：同向 ：反向 2 ：ab 4、数量积运算法则： （1）交换律：a bb a （2）系数结合律： a bababR （3）分配律： abca cb c 因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘 的展开式规律相同： 例如： 2 22 2abaa bb 0abab 5、若 1 1221 122 +,+aee bee，则 22 1 1221 12211 1222122112 +=a b
3、eeeeeee e 由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将, a b用基底表示出来，则可计算a b （二）选择合适基底解题的步骤与技巧： 1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那 就是它们了。所以在此类题目中首在此类题目中首先可先确定那些先可先确定那些向量的数量积与模长已知。向量的数量积与模长已知。常见的可以边 所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等。 2、向量的表示：尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示，常用的方法 有： （1）向量的加减运算 （2） “爪”字型图：在ABC中，D是BC上的
4、点，如果 :BDCDm n，则 mn ADACAB mnmn ，其 中,AD AB AC知二可求一。特别的，如果AD是BC边上 的中线，则 11 22 ADACAB 3、计算数量积：将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即可，但在计算过程中要 注意基底的夹角 二、例题精炼 例 1:如图，在ABC中，120 ,2,1,BACABACD是边BC上一点，2DCBD， 则AD BC_ 思路：,AD BC模长未知（BC尚可求出） ，夹角未知， 所以很难直接求出数量积。考虑是否有合适基底，120 ,2,1BACABAC，可计算出 cos1201AB ACABAC ,进而对于,AB AC,模长均已知，
5、 数量积已求， 条件齐备， 适合作为基底。用,AB AC表示AD BC：BCACAB, 12 33 ADACAB, 22121128 333333 AD BCACABACABACAB ACAB 答案： 8 3 AD BC 例 2：如图，已知在ABC中，,3,1ADAB BCBD AD，则AC AD_ 思路： 观察条件，,AC AD很难直接利用公式求解.考虑选择 两个向量表示,AC AD,条件中 0ADABAD AB(数量积有了数量积有了） ，1AD （模长有了模长有了） ，所以考虑用,AB AD作为 B C A D B C A D mn A B C D B C A D E 基底。下一步只需将A
6、C表示出来， 3:1:31BCBDBD CD（底边比值底边比值 联想到“爪”字型图联想到“爪”字型图） 311 33 ADABAC ,解得： 331ACADAB 所以 2 33133AC ADADABADAD 答案：3AC AD 例 3:在边长为 1 的正三角形ABC中，设2,3BCBD CACE，则AD BE_ 思路：如图，等边三角形三边已知，夹角已知，由此对于三边所成的向量，两两数量 积均可计算，所以考虑,AD BE用三边向量进行表示，表示的方法很多，例如 观察“爪”字形图可得 1 2 ADABAC, 21 33 BEBCBA 1211 2334 AD BEABACBCBA (注意向量夹角
7、注意向量夹角） 答案： 1 4 AD BE 小炼有话说：这道题由于是等边三角形，故可以建系去做，以D为坐标原点，BC所在直线 为x轴，AD所在直线为y轴。,D E坐标完成之时，就是AD BE计算的完成之日，且此法 在计算上更为简便。 例 4： 如图， 在ABC中， 已知4,6,60ABACBAC， 点,D E分别在边,AB AC上， 且2,3ABAD ACAE，点F为DE中点，则 BF DE的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 思路：在本题中已知,ABAC及两个向量的夹角，所 以考虑将,AB AC作为一组基底。则考虑将,BF DE用,AB AC进行表示，再做数量积即可 解： 1
8、11111 11 222222 32 BFBDDFBADEBAAEADABACAB 13 64 ACAB F A BC D E 且 11 32 DEAEADACAB，所以有： 221311113 64321838 BF DEACABACABACAB ACAB 由已知可得： 22 16,36,cos12ABACAB ACABACBAC 4BF DE 答案：C 例 5：已知向量,AB AC的夹角是120，且2,3ABAC，若APABAC，且 APBC，则实数的值是_ 思路： 题中,AB AC模长夹角已知， 所以选择它们作为基底， 表示,AP BC， 再根据APBC 求出即可 解：BCACAB AP
9、BC 00AP BCABACACAB 即 22 10ABACAB AC 22 4,9,cos3ABACAB ACABACBAC 式变为：49310解得 12 7 答案： 12 7 例 6：在边长为1的正三角形ABC中，,0,0,1BDxBA CEyCA xyxy，则 CD BE的最大值为_ 答案： 3 8 思路：所给ABC为等边三角形，则三边所成向量两两数量 积可解。所以用三边向量将,CD BE表示出来，再作数量积运 算并利用1xy消元即可求出最值 解：CDCBBDCBxBA BEBCCEBCyCA A B C D E 2 CD BECBxBABCyCABCyCB CAxBA BCxyBA C
10、A 1111111 11 2222222 yxxyyxxyxy 1xy 1yx 且01x 2 2 1111133 11 2222248 CD BExxxxx 等号成立条件： 1 2 x max 3 8 CD BE 答案： 3 8 小炼有话说： （1）本题在最后求最值时还可以利用均值不等式迅速把问题解决： 2 1111113 111 22222288 xy CD BEyxxyyx （2）在消元时要注意，如果所消去的元本身有范围，则这个范围由主元来承担，比如本题中 用x把y消掉，则x所满足的条件除了已知的0 x 之外，还有010yyx ，即 1x 例 7：如图，在四边形ABCD中，,3,4,ABB
11、C ABBCACD是等边三角形，则 AC BD的值为_ 思路：从条件中可分析ABC，ADC的边所成的向量两两之间 数量积可求，其公共边为AC，所以以AC作为突破口，所求数 量积中只有BD需要转换，可得BDBCCD，所以 AC BDACBCCDAC BCAC CD， 进而可解 解：BDBCCD AC BDACBCCDAC BCAC CD 在Rt ABC中， 22 5ACABBC 在等边三角形ADC中，5DCAC A B C D 2 cos16 BC AC BCACBCACBACBCBC AC 25 cos 2 AC CDACCDACD 7 2 AC BD 答案： 7 2 小炼有话说： （1）在求
12、AC CD时要注意夹角不是ACD，而是它的补角！ （2）在求AC BC也可以用投影定义来解，即AC在BC上的投影为BC，所以 2 AC BCBC 例 8：如图，四边形ABCD满足0,22AB ACDB DCABDC，若M是BC的 中点，则AB AMDM DC（ ） A. 1 B. 1 C. 3 2 D. 3 2 思路：本题要抓住0AB ACDB DC这个条件，所 求表达式中主要解决,AM DM。 从图中可发现,AM DM分别是,ABCBDC的中线， 从而 ,AM DM可用条件中的向量进行表示： 11 , 22 AMABACDMDBDC， 从而求 得表达式的值 解： 11 , 22 AMABAC
13、DMDBDC 11 22 AB AMDM DCABABACDCDBDC 221111 2222 ABAB ACDC DBDC 0,22AB ACDB DCABDC 1DC 22113 222 AB AMDM DCABDC 答案：D 例 9：菱形ABCD边长为2，120BAD，点,E F分别在,BC CD上，且 ,BEBC DFDC，若 3 1, 2 AE AFCE CF ，则（ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 5 4 D. 7 12 思路：本题已知菱形边长和两边夹角，所以菱形四条边所成向量两两数量积可求，所以可以 考虑将题目中所给的 3 1, 2 AE AFCE CF 所涉及的向量用菱形
14、的边和, 进行表示， 进而列出关于, 的方程，解出方程便可求出 解：,AEABBEABBC AFADDFADDC 1,1CECB CFCD AE AFABBCADDC 2442AB ADBC ADDC ABBC DC 1121CE CFCB CD 73 24212 122 3 11 21 2 34 答案：D 例 10：已知向量,OA OB OC满足条件：0OAOBOC，且2OAOBOC， 点P是ABC内一动点，则AB APBC BPCA CP_ 思路：本题已知,OA OB OC模长，可对0OAOBOC进行变形得到更多条件： 2 2 02OAOBOCOAOBOCOAOBOCOA OB ，同理 2
15、OB OCOC OA ，从而可将所求式子中的向量均用,OA OB OC表示再进行计算即 可。 解： 22 0OAOBOCOAOBOCOAOBOC 222 2OAOBOA OBOC，代入2OAOBOC 可得：2OA OB ，同理2OB OCOC OAOA OB AB APBC BPCA CP OBOAOPOAOCOBOPOBOAOCOPOC OBOAOPOBOAOAOCOBOPOCOBOB OAOCOPOAOCOC OBOAOCOBOAOCOPOB OAOC OBOA OC 222 OAOBOC 61218 答案：18 小炼有话说： （1）本题在处理,OA OB OC关系时，从OAOBOC 入手两边同时模长平 方，得到数量积的关系，这也是“向量等式数量积等式”的常见变形方法 （2）在处理,OA OB OC关系时也可以通过数形结合，从0OAOBOC和 2OAOBOC中发现,OA OB OC在图像上的特点，推断出两两夹角120从而计算 出它们的数量积 （3）P为动点，但从所求来看表达式有极大可能是一个定值，所以在应试时如果想不到正规 方法，也可以考虑利用特殊值进行处理，比如利用条件构造出一个特殊模型，即ABC为等 边三角形，且O是中心，然后再给P选择一个特殊位置（比如与O重合）计算出结果。
