1、 微专题 32 解三角形中的不等问题 一、基础知识： 1、正弦定理：2 sinsinsin abc R ABC ，其中R为ABC外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具 备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如： （1） 222222 sinsinsinsinsinABABCababc （2）coscossincossincossinbCcBaBCCBA（恒等式） （3） 22 sinsin sin bcBC aA 2、余弦定理： 222 2cosabcbcA 变式： 2 2 21cosabcbcA 此公式在已知
2、, a A的情况下，配合均值不等式可得到 bc和bc的最值 3、三角形面积公式： （1） 1 2 Sa h （a为三角形的底，h为对应的高） （2） 111 sinsinsin 222 SabCbcAacB （3） 2 11 sin2 sin2 sinsin2sinsinsin 22 SabCRARBCRABC（其中R为外接圆 半径） 4、三角形内角和：ABC，从而可得到： （1）正余弦关系式：sinsinsinABCBC coscoscosABCBC （2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式： sinsincossincosABABBA c
3、oscoscossinsinABABAB 6、辅助角公式： 22 sincossinaAbBabA，其中tan b a 7、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比 第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： sinsincoscosabABABAB 其中由coscosABAB利用的是余弦函数单调性，而sinsinABAB仅在一 个三角形内有效。 8、解三角形中处理不等关系的几种方法 （1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，
4、从而 将问题转化为求函数的值域 （2）利用均值不等式求得最值 二、例题精析： 例 1：ABC各角的对应边分别为cba,，满足 1 bc acab ，则角A的范围是 A(0, 3 B(0, 6 C, ) 3 D, ) 6 思路：从所给条件入手，进行不等式化简：1 bc acab 222 b abc acacabbcabc，观察到余弦定理公式特征，进 而利用余弦定理表示cosA： 222 bcabc 222 1 cos 22 bca A bc ，可解得： 0, 3 A 答案：A 例 2：在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知 sin3cos ac CA （1）求A的大小
5、 （2）若）若6a ，求，求bc的取值范围的取值范围 解： （1）由条件 sin3cos ac CA 可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角” sinsin 1 sinsin3cos3cos acAC CCAA t a n3A 3 A （2）思路：考虑在ABC中，已经已知,A a，从而可求出外接圆半径R，进而,B C与, b c 也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”， 但不易利用60A 这个条件，考虑利用角来解决 解：4 3 sinsinsin bca BCA 4 3sin ,bB 4 3sincC 3 A 22 33 BCCB 2 4 3 sin
6、sin4 3 sinsin 3 bcBCBB 3131 43s i nc o ss i n1 2s i nc o s1 2 s i n 22226 BBBBBB 2 0 3 B 51 ,sin,1 66662 BB 6,12bc 例 3：在锐角ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且2 cos2bCac （1）求角B （2）求）求sinsinAC的取值范围的取值范围 解： （1）方法一：使用余弦定理 222 2 cos222 2 abc bCacbac ab 222222 bcaacbacac 由余弦定理得： 222 2cosbacacB 1 c o s 23 BB 方法
7、二：观察等式, ,a b c齐次，考虑使用正弦定理 2 cos22sincosC2sinA sinCbCacB 2sincos2sinsinsin2sincosBCBCCCCB 1 cos 23 BB （2） 22 33 ACCA 2 23131 sinsinsincossinsincossin 32222 AAAAAAAA 31c os 211 s i n 2s i n2 44264 A AA ABC为锐角三角形 , ,0, 2 A B C 0 2 262 0 32 A A A 5 2, 666 A 1 s i n2, 1 62 A 1 3 sinsin, 2 4 AC 小炼有话说：要注意对
8、锐角三角形条件的运用：三个角均为锐角，而C用A代换，所以C满 足锐角的条件也由A来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有 范围，则这个范围由主元承担。 例 4：在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知sinsinsinACpB pR， 且 2 1 4 acb （1）当 5 ,1 4 pb时，求, a c的值 （2）若角B为锐角，求p的取值范围 解： （1） 555 sinsinsin 444 ACBacb 1 4 ac 5 1 4 1 1 4 4 aac c ac 或 1 4 1 a c （2）思路：以“角B为锐角”为突破口，联想到余弦定理，而
9、2 1 , 4 acpb acb也刚好得 到p与cosB的关系式，再由0cos1B可解得p的范围 解：考虑余弦定理 2 222 2cos21cosbacacBacacB 2222 1 1cos 2 bp bbB 2 31 cos 22 pB B为锐角，0cos1B 2 3 ,2 2 p 0acp bp 6 , 2 2 p 例 5：若ABC的内角满足sin2sin2sinABC，则cosC的最小值是 思路：所求cosC的最值可想到余弦定理用边进行表示， 222 cos 2 abc C ab ，考虑 sin2sin2sinABC角化边得到：22abc，进而消去c计算表达式的最值即可 解： 222
10、cos 2 abc C ab 由sin2sin2sinABC可得：22abc 2 2 ab c 2 22 22 222 2 312 2 312 422 cos 222844 ab ab abab abcab C abababba 36 2 844 ab ba 答案： 6 4 例 6：在锐角ABC中2,AB B、C的对边长分别是b、c,则 + b b c 的取值范围是 ( ) A 1 1 ( , ) 4 3 B 1 1 ( , ) 3 2 C 1 2 ( , ) 2 3 D 2 3 ( , ) 3 4 思 路 ： 本 题 所 给 条 件 为 角 的 关 系 ， 不 易 从 边 入 手 ， 所 以
11、 将 所 求 进 行 边 化 角 ： sin1 sin +sinsin 1 sin bB C b cBC B ，只需求出 sin sin C B 的范围即可。条件所给的是,A B关系，从 而 sinsincossincos sinsin CABBA BB ， 利 用2,AB 减 少 角 的 个 数 ： 2 sinsin22sincos ,coscos22cos1ABBBABB，代入可得： 2 sin 4cos1 sin C B B ，根据锐角三角形求出B的范围即可。 解： sin1 sin +sinsin 1 sin bB C b cBC B sinsinsincossincos sinsin
12、sin ABCABBA BBB 由 2 2sinsin22sincos ,coscos22cos1ABABBBABB 2 22 sin2sincossincos2 2coscos24cos1 sinsin CBBBB BBB BB 因为ABC为锐角三角形 0 2 02 2 03 2 B AB CB 解得： 64 B 23 cos, 22 B 2 s i n 4 c o s11, 2 s i n C B B 11 1 , sin +3 2 1 sin b C b c B 答案：B 小炼有话说：本题的关键点有两个，一个是解题系统的确定，由于题目中没有涉及到边的关 系，只是给了角的条件，所以优先选择
13、角的系统，从而进行角化边的处理，并进行了一个分 式的常见变形，将变量集中在分母上。另一个就是主元的确定：本题的主元是B，所以在求 表达式范围时将,A C均用B来进行表示，以便于求得值域。 例 7：已知ABC的角, ,A B C所对的边分别是, ,a b c，且 222 2 3 abcab，若ABC的 外接圆半径为 3 2 2 ，则ABC面积的最大值为_ 思路：由 222 2 3 abcab可联想到余弦定理求cosC，所以 222 1 cos 23 abc C ab ，从 而 2 2 sin 3 C ，所求面积可表示为 1 sin 2 ABC SabC，则只需解出ab的最大值即可。由外 接 圆
14、半 径 3 2 2 R 及sinC可 得 ：2sin4cRC， 所 以 22 2 16 3 abab， 而 22 2abab，所以有 2 16212 3 ababab，所以 12 2 124 2 23 ABC S 答案：4 2 小炼有话说：本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出C，在计算面积时有 三组边角可供选择： 111 sinsinsin 222 SabCbcAacB，通常是“依角而选”，从而把目 标转向求ab的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再配上均值不等式往往可 以找到最值。 例 8：设ABC的内角, ,A B C所对的边为, ,a b c，若, ,a b c
15、成等比数列，则 sin sin B A 的取值范围 是_ 思路： 由, ,a b c成等比数列可得： 2 bac， 也可视为 2 sinsinsinBAC ， 所求表达式 sin sin B A 也可视为 b a 。 如果从角入手， 则 22 sinsinsinsinsinsinBACBAAB无法与 sin sin B A 联系。 所以考虑从边入手。 由 2 bac可得： 2 b c a ， 在ABC中， 若abc ， 则c a b， 所 以 2 b ab a ， 即 2 15 101 2 bbb aaa ， 同 理 ， 若cba， 则 2 b abcaba，解得： 51 1 2 b a 。综
16、上 sin5151 , sin22 Bb Aa 答案： 5151 , 22 例 9：已知ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为, ,a b c，且 BC 边上的高为a，则 bc cb 的取 值范围为_ 思路：一方面由所求 bc cb 出发，可用均值不等式得到22 bcb c cbc b ，验证bc时 存在这样的三角形，得到最小值；再从另一个角度入手 22 bcbc cbbc 可联想到余弦定理 222 2cosabcbcA，而由题目中的底和高可得 22 11 sinsin 22 ABC SabcAabcA，所以有： 2 2cossin2cos sin2cos bcabcAbcAbcA AA
17、cbbcbc ， 只需求得sin2cosAA的 范围即可，考虑 12 sin2cos5sincos5sin 55 AAAAA ，tan2， 所以sin2cos5AA，综上：2, 5 bc cb 答案：2, 5 小炼有话说： （1）在解三角形中，能够从所给式子中发现定理的影子，可帮助你迅速确定解题方向，本题 没有选择边化角，而是抓住余弦定理的影子为突破口，然后再去寻找条件能否把多余的元消 去（比如本题中的 2 a） ，从而整理出一个可操作的表达式 （2）最后运用辅角公式时，辅助角并不是特殊角。这种情况下可用代替俯角，并用的一 个三角函数值刻画其大小。本题可通过作图大致观察到A的范围，从而确定A的
18、范围能 经过 2 ，所以5能够取到 例10： （2014，重庆）已知ABC的内角, ,A B C满足 1 sin2sin()sin 2 AABCCAB，面积S满足12S，记, ,a b c分别是 , ,A B C所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 8bc bc B. 16 2ab ab C. 612abc D. 1224abc 思 路 ： 本 题 需 判 断 的 式 子 比 较 多 ， 先 从 条 件 出 发 向 所 求 靠 拢 。 化 简 已 知 条 件 1 sin 2sin()sin 2 AABCCAB可得 1 4sinsinsin 2 ABC，即 1 sinsinsin 8
19、ABC， 联 想 到 面 积 公 式 2 2sinsinsinSrABC及12S可 得 ： 2 1 12222 4 rr， 从 而abc可 用r进 行 表 示 求 出 范 围 ， 另 一 方 面 可 由 bcabc bcabc，利用不等式的传递性即可求出bc bc的范围 解： 1 sin2sin()sin 2 AABCCAB 1 sin2sin2sin 2 2 ABC 1 sin2sin2sin2 2 ABC 1 sin2sin2sin 22 2 ABAB 1 sin2sin2sin2 cos2sin2 cos2 2 ABABBA 1 sin21cos2sin21cos2 2 ABBA 22
20、1 2sin2 sin2sin2 sin 2 ABBA 22 1 4sincossin4sincossin 2 AABBBA 1 sinsinsincossincos 8 ABABBA 1 sinsinsin 8 ABAB即 1 sinsinsin 8 ABC 由正弦定理可得：2 sin ,2 sin ,2 sinaRA bRB cRC 22 111 sin2 sin2 sinsin2sinsinsin 224 ABC SabCRARBCRABCR 所以由12S可得： 2 1 1222 2 4 RR 33 8sinsinsin8,16 2abcRABCR ，所以,C D均不正确 bca 8bc
21、 bcabc A正确 同理abc 8ab ababc，B不正确 三、近年好题精选 1、 （2016，上海十校联考）设锐角ABC的三内角, ,A B C所对边的边长分别为, ,a b c，且 1,2aBA，则b的取值范围为（ ） A. 2, 3 B. 1, 3 C. 2,2 D. 0,2 2、 （2016 江苏高三第一次联考）在ABC中，3,4,ABACN是AB的中点，边AC（含 端点）上存在点M，使得BMCN，则cosA的取值范围是_ 3、 （2015，新课标 I）在平行四边形ABCD中，75ABC，2BC ，则AB的取值 范围是_ 4、 （2016，哈尔滨六中上学期期末考试）在ABC中，内角
22、, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 2,2cba，则ABC的面积最大值为_ 5、 （2014，新课标全国卷 I）已知, ,a b c分别为ABC三个内角, ,A B C的对边，2a 且 2 sinsinsinbABcbC，则ABC面积的最大值为_ 6、 （2016，洛阳 12 月月考）在ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，则下列命题正确 的是_ 若 2 sinsin2sinABC，则0 4 C 若2abc，则0 3 C 若 444 abc，则ABC为锐角三角形 若2ab cab，则 2 C 7、 （2014，陕西）ABC的内角, ,A B C的对边分别为,
23、 ,a b c （1）若, ,a b c成等差数列，证明：sinsin2sinACAC （2）若, ,a b c成等比数列，求cosB的最小值 8、设ABC的内角CBA,所对的边分别为,cba且bcCa 2 1 cos. （1）求角A的大小； （2）若1a，求ABC的周长l的取值范围. 9、已知ABC和 111 ABC满足： 111 sincos,sincos,sincos,AABBCC （1）求证：ABC是钝角三角形，并求最大角的度数 （2）求 222 sinsinsinABC的最小值 10、 （2016，安徽六校联考）已知函数 2cos 2cos21 3 f xxx . （1）求 f x的
24、对称中心 （2）若锐角ABC中角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且 0f A ，求 b c 的取值范围 习题答案：习题答案： 1、答案：A 解析：2sinsin2BABA sin2sincosBAA 2 cos2 cosbaAA 由 锐 角ABC可 知 ： 02 2 0 2 03 2 BA A CABA ， 解 得 64 A ， 所 以 23 cos, 22 A ，从而 2cos2, 3bA 2、答案： 3 ,1 8 解析： 方法一：若AC存在点M，使得BMCN，则BNC为锐角或直角 在BNC中 222 0BNCNBC 222 222 2cos 2cos CNANACAN AC
25、A BCABACAB ACA 22222 2cos2cos0BNANACAN ACAABACAB ACA 代入 3 ,3,4 2 BNANABAC，可得： 99 1612cos91624cos0 44 AA 9 12cos 2 A 3 c o s 8 A 3 cos,1 8 A 方法二（向量法） 以A为原点，直线AB为x轴建系，则 3 3, 0 , 0 2 BN ，设4 cos, 4 sinCAA， 04AMtt cos , sinM tA tA 3 c o s3, s i n,4 c o s,4 s i n 2 B MtAtAC NAA 3 cos34cossin4sin0 2 BM CNB
26、MtAAtAA 155 cos8 38 A t 由0,4t和cos1,1A 可得 3 cos,1 8 A 3、答案： 62, 62 解析：延长,BA CD交于点E，则在ADE中，105 ,45 ,30DAEADEE 设ADx，则由正弦定理 sinsinsin ADAEDE EADEEAD 可得 62 2 , 2 AEx DEx 设CDm，则由正弦定理： sinsin CEBC BE 可得： 62 2 2 sin75sin30 mx ，整理后可得： 62 62 2 mx ， 所 以622ABBEAECEAEx ， 由 62 62 2 mx 可知0,2x，所以 62, 62AB 4、答案：2 2
27、解 析 ： 由 余 弦 定 理 可 得 ： 222 2coscababC， 代 入2 ,2cba可 得 ： 222 422 2cosaaaC，即 2 2 34 cos 2 2 a C a ，所以有： 42 22242 4 12224161 sin1cos2416 22284 ABC aa SabCaCaaa a 2 2 1 1 21 2 8 4 a 所以当12a 时， ABC S有最大值为2 2 5、答案：3 解析：由正弦定理可得： 2 sinsinsin2bABcbCbabcb c 22 22abbabcbc 2222 44bcbcbcbc 222 42cosabcbcA 1 c o s 2
28、3 AA 13 sin 24 ABC SbcAbc 22 4bcbc且 22 2bcbc 24bcbc即4bc 3 ABC S 6、答案： 解析： 由正弦定理可知： 2 2abc，由余弦定理可得 222 2cos 2 ab cababC，整 理可得： 22 11132 2 cos1 224442 ab ab ab C abba ，所以0 4 C 2 22 22222 323314 cos 22884 ab ab abcaabbab C abababba 从而 31311 cos2 84842 aba b C bab a ，从而0, 3 C 22 44422222 20abcabca b，所以
29、22 222222222 0abcabcabc，即 222 0abc，则 222 cos0 2 abc C ab ，所以ABC最大角为锐角。即ABC是锐角三角形 取2,1abc满足2ab cab，则 32 C ，不符题意 7、解析： （1）, ,a b c成等差数列 2bac ，由正弦定理可得： 2sinsinsinBAC BAC sinsin2sin2sinACACAC （2）, ,a b c成等比数列 2 bac 由余弦定理可得： 22222 111 cos121 22222 acbacacaca c B acaccac a 等号成立当且仅当ac cosB的最小值为 1 2 8、解析： （
30、1） 11 cossincossinsin 22 aCcbACCB 1 sincossinsin 2 ACCAC 1 sincossinsincossincos 2 ACCACCA 1 cos 2 A 3 A （2） 12 sinsinsin33 2 bca BCA 22 sin,sin 33 bB cC 2 1sinsin 3 labcBC sinsinsinsinsinsin 3 BCBABBB 1333 sinsincossincos 2222 BBBBB 3sin 6 B 2 0 3 , 223 0 33 B AABC CB 解得： 2 0, 3 B 5 , 666 B 3 sinsi
31、n, 3 2 BC 2,3l 9、解析： （1）不妨设ABC，由 1 1 1 sincos sincos sincos AA BB CC 可得： 1 1 1 coscos 2 coscos 2 coscos 2 AA BB CC 若0, 2 A ，则,0, 2 B C 1 1 1 2 2 2 AA BB CC ，三式相加可得： 111 33 22 ABCABC ， 等式显然不成立 若 2 A ，则 11 cossin10 2 AA ，显然不成立 , 2 A ，此时 1 1 1 2 2 2 AA BB CC ，三式相加可得： 111 2 ABCABC 2 AA ，解得： 3 4 A （2）由（1
32、）可得： 3 4 CB 且0, 4 B 222 sinsinsinABC 23 1cos21cos2 sin 422 BC 31 cos2cos 2 224 BB 3132 cos2sin2sin 2 22224 BBB 0, 4 B 3 2, 444 B 2 sin 2,1 42 B 222 min 32 sinsinsin 2 ABC （在 8 B 处取得） 10、解析： （1） 13 2cos2sin2cos21 22 f xxxx 3sin2cos212sin 21 6 xxx 对称中心为：2 6122 k xkxkZ 对称中心为：,1 12 k （2）由已知可得： 1 2sin 210sin 2 662 AA 2 66 A （舍）或 5 2 663 AA 31 sin cossin sin313 22 sinsinsin2tan2 C CC bB cCCCC 因为ABC为锐角三角形 0 2 , 26 2 0 32 C C BC 3 tan 3 C 1 ,2 2 b c
