1、 微专题 44 线性规划中的非常规问题 一、基础知识： 在线性规划问题中，除了传统的已知可行域求目标函数最值之外，本身还会结合围成可 行域的图形特点，或是在条件中设置参数，与其它知识相结合，产生一些非常规的问题。在 处理这些问题时，第一依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的 图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言，并进行精确 计算。做到以上三点，便可大大增强解决此类问题的概率。 二、典型例题： 例 1：不等式组 0 01 4 x yk ykxk 所表示的平面区域为D，若D的面积为S，则 1 kS k 的 最小值为_ 思路：先作出平面区域。直线
2、 44ykxkkx ，可判断出过定点4,0， 通过作图可得平面区域D为直角三角形。所以三角形 面积 1 448 2 Skk。从而 2 811 81812 1111 kSk kk kkkk ，因为 1 12 1 k k ，所以32S 答案：32 例 2：关于, x y的不等式组0 yxa ba yxb 所确定的区域面积为2，则2ba的最 小值为（ ） A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 1 思路：要求出2ba的最值，则需要, a b的关系，所以要借助不等式组的面积，先作出不等 式的表示区域，从斜率可判断出该区域为一个矩形，可得长为 2 ab ，宽为 2 ba ，所以 22 2 2 ba S
3、，即 22 4ba，作出双曲线，通过平移 2zba可得直线与 22 4ba相切时，2ba取得最小 值。即： 22 22 4 32160 2 ba aazz zba 2 4 4480z 解得2 3z ，所以2zba的最小 值为2 3 答案：B 例 3： 若不等式组 0 0 24 x y xys xy 表示的平面区域是一个三角形， 则实数s的取值范围是 （ ） A. 02s或4s B. 02s C. 4s D. 2s 或4s 思路：本题约束条件含参，所以先从常系数不等式入手作图，直线xys为一组平行线， 在平移的过程中观察能否构成一个三角形。 一方面， 0 0 24 x y xy 本身就构成一个三
4、角形。所以当4s 时，不等式组的区域与 0 0 24 x y xy 区域相同，从而 符合题意。继续将直线xys向下平移。可得 24s时，不等式组的区域为一个四边形。当 02s时，xys从 0 0 24 x y xy 的区域中切 割出来了一个三角形。 所以符合题意。 而0s 时， 不等式组无公共区域。 综上所述，02s 或4s 答案：A 例 4：已知平面区域 0 0 240 x y xy 恰好被面积最小的圆 22 2 :Cxaybr及其内 部所覆盖，则圆C的方程为_ 思路：作图可得可行域为直角三角形，所以覆盖三角形最小的圆即为该三角形的外接圆。 4,0 ,0,2AB ，所以外接圆圆心为AB中点2
5、,1C，半径为 1 5 2 rAB，所以圆方 程为 22 215xy 答案： 22 215xy 例 5：过平面区域 20 20 20 xy y xy 内一点P作圆 22 :1O xy的两条切线，切点分别为,A B， 记APB，则当最小时cos的值为( ) A. 95 10 B. 19 20 C. 9 10 D. 1 2 思路：通过作图可知PAO与PBO关于OP对称，从而2 APB ，从而问题转化为寻 找APB的 最 小 值 。 可 利 用 三 角 函 数 ， sin OA APB OP ，且1OA ，所以OP越大，则 sinAPB越小，从而APB越小。将问题转化为在平 面区域中寻找距离0,0O
6、最远的点。 通过数形结合可 得点4,2P ，所以 11 sin 2 5 OA APB OPOP 。从而 2 9 coscos 212sin 10 APBAPB 答案：C 例 6：(2013,北京，8)设关于, x y的不等式组 210 0 0 xy xm ym ，表示的平面区域内存在点 00 ,P x y满足 00 22xy，则m的取值范围是_ 思路：约束条件含参，但两条直线有特点，xm和ym的交点,m m，依题意可得平 面区域与直线22xy有公共点，结合图像可判断出 0m，从而不等式组在直角坐标系中的区域为一个直角 三角形（如图） 。若区域与22xy有公共点，则只需 ,m m位于22xy的下
7、方即可。 因为22xy的 下方区域对应的不等式为22xy，代入,m m可得 2 22 3 mmm 答案： 2 3 m 例 7：当实数, x y满足 240 10 1 xy xy x 时，14axy恒成立，则实数a的取值范围是 _ 思路一：先作出不等式组所表示的区域（如图） ，设 zaxy，则有 minmax 1,4zz，yaxz，则 要对斜率a的符号进行分类讨论， 若00aa ， 从 图 上 可 看 出 min 0z， 不 符 题 意 ；0a 时 ， m i n 01z不符题意；若0a ，无论a为何值，最优 解在顶点处取得，所以代入区域的顶点 3 1,0 , 1, 2,1 2 ，可得： 14
8、3 14 2 1214 a a a ，解得 3 1, 2 a 思路二：从恒成立的不等式入手，考虑进行参变分离。由约束条件可得1x ，所以恒成立不 等式为 14 14 yy axya xx ，所以 max min 1 4 y a x y a x ，只需找到两个分式的 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 20151055101520 x=1 x+2y-4=0 x-y-1=0 最值即可，而由分式可联想到斜率，所以作出平面区域，分别找区域中的点, x y与定点 0,1 , 0,4连线斜率的最值即可。 max 1 1 y x （1,0 xy处取得） ， min 43 2 y x （2
9、,1xy处取得） ，可得： 3 1, 2 a 答案： 3 1, 2 例 8：若不等式组 0 34 34 x xy xy 所表示的平面区域被直线4ykx分成面积相等的两部分， 则k的值为（ ） A. 7 3 B. 3 7 C. 17 3 D. 3 17 思路：在坐标系中作出可行域，如图所示为一个三 角形，动直线4ykx为绕定点0,4的一条动 直线， 设直线交AC于M， 若将三角形分为面积相 等的两部分，则 ABMBCM SS，观察可得两个三 角形高相等，所以AMMC即M为AC中点， 联 立 直 线 方 程 可 求 得 4 0,1,1 3 AC ， 则 1 7 , 2 6 M ，代入直线方程可解得
10、 17 3 k 答案：C 例 9：在约束条件 0 0 24 x y xys xy ，当35s时，目标函数32zxy的最大值的变化范围 是（ ） A. 6,15 B. 7,15 C. 6,8 D. 7,8 思路：目标函数可化为 3 22 z yx ，斜率为 3 2 介 于直线,24xysxy斜率之间， 先在坐标系中 作出 0 0 24 x y xy 的范围，再平移直线xys，在 移动过程中可发现34s时，可行域为四边形；当 45s时，可行域为三角形。所以进行分类讨论：当34s，可行域为四边形OABC， 最优解为B，联立方程：4,24 24 xys Bss xy ，所以 max 47,8zs ；当
11、 45s时，可行域为三角形 AOC，最优解在 0,4C取到，此时 max 8z，综上所述， max 7,8z 答案：D 例 10：已知区域 2 :20 10 y Dxy xy ，则圆 22 :22Cxay与区域D有公共点，则 实数a的取值范围是_ 思路：先在坐标系中作出区域D，圆C的圆心为,2a，半径为2，所以只需确定圆心的取 值范围即可，通过左右平移圆可观察到圆C与直线 1: 20lxy和 2: 10lxy 相切 是a取值的临界条件。当圆与 1: 20lxy相切时，则 1 22 2 C l a da ，由 圆心位置可得2a ；当圆与 2: 10lxy 相切时， 2 3 25 2 C l a da ，所以2,5a 答案：2,5a
