1、 微专题 67 圆锥曲线的性质 一、基础知识 （一）椭圆： 1、定义和标准方程： （1）平面上到两个定点 12 ,F F的距离和为定值（定值大于 12 FF）的点的轨迹称为椭圆，其中 12 ,F F称为椭圆的焦点， 12 FF称为椭圆的焦距 （2）标准方程： 焦 点 在x轴 上 的 椭 圆 ： 设 椭 圆 上 一 点,P x y， 12 ,0 ,0FcF c， 设 距 离 和 12 2PFPFa，则椭圆的标准方程为： 22 22 1 xy ab ，其中 222 0,abbac 焦 点 在y轴 上 的 椭 圆 ： 设 椭 圆 上 一 点,P x y， 12 0,0,FcFc， 设 距 离 和 1
2、2 2PFPFa，则椭圆的标准方程为： 22 22 1 yx ab ，其中 222 0,abbac 焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大 2、椭圆的性质：以焦点在x轴的椭圆为例： 22 22 10 xy ab ab （1）a：与长轴的顶点有关： 12 ,0 ,0AaA a， 12 2AAa称为长轴长 b：与短轴的顶点有关： 12 0,0,Bb Bb， 12 2BBb称为短轴长 c：与焦点有关： 12 ,0 ,0FcF c， 12 2FFc称为焦距 （2）对称性：椭圆关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称 （3）椭圆上点的坐标范围：设 00 ,P x y，则 00 ,axabyb （4
3、）通径：焦点弦长的最小值 焦点弦：椭圆中过焦点的弦 过焦点且与长轴垂直的弦 2 2b PQ a 说 明 ： 假 设PQ过 1 ,0Fc， 且 与 长 轴 垂 直 ， 则 00 ,Pc yQcy ， 所 以 224 2 0 0 222 1 cyb y aba ，可得 2 0 b y a 。则 2 2b PQ a （5）离心率： c e a ，因为ca，所以0,1e （6）焦半径公式：称P到焦点的距离为椭圆的焦半径 设椭圆上一点 00 ,P x y，则 1020 ,PFaexPFaex（可记为“左加右减” ） 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为ac，最小值为ac （7）焦点三角形面积
4、： 12 2 tan 2 PF F Sb （其中 12 PFF ） 证明： 12 1212 1 sin 2 PF F SPFPFFPF 且 222 12121212 2cosFFPFPFPF PFFPF 2 121212 21cosPFPFPF PFFPF 22 1212 4421 coscaPF PFFPF 222 12 1212 222 1cos1cos acb PF PF FPFFPF 12 2 121212 12 112 sinsin 22 1cos PF F b SPFPFFPFFPF PFF 22 1212 12 sin tan 1cos2 FPFFPF bb FPF 因为 12
5、00 1 2 2 PF F Sc yc y，所以 2 12 0 tan 2 FPF bc y，由此得到的推论： 12 FPF的大小与 0 y之间可相互求出 12 FPF的最大值： 12 FPF最大 12 PF F S最大 0 y最大P为短轴顶点 （二）双曲线： 1、定义：平面上到两个定点 12 ,F F距离差的绝对值为一个常数（小于 12 FF）的点的轨迹称 为双曲线， 其中 12 ,F F称为椭圆的焦点， 12 FF称为椭圆的焦距； 如果只是到两个定点 12 ,F F距 离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支 2、标准方程： 焦点在x轴：设双曲线上一点,P x y， 12 ,0 ,0FcF c
6、，设距离差的绝对值 12 2PFPFa，则双曲线标准方程为： 22 22 1 xy ab ，其中 222 0,0,abbca 焦点在y轴：设双曲线上一点,P x y， 12 0,0,FcFc，设距离差的绝对值 12 2PFPFa，则双曲线标准方程为： 22 22 1 yx ab ，其中 222 0,0,abbca 焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数 2、双曲线的性质：以焦点在x轴的双曲线为例： 22 22 10,0 xy ab ab （1）a：与实轴的顶点有关： 12 ,0 ,0AaA a， 12 2AAa称为实轴长 b：与虚轴的顶点有关： 12 0,0,Bb Bb， 12 2BBb称为虚轴
7、长 c：与焦点有关： 12 ,0 ,0FcF c， 12 2FFc称为焦距 （2）对称性：双曲线关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称 （3）双曲线上点坐标的范围：设 00 ,P x y，则有 0 xa 或 0 xa， 0 yR （4）离心率： c e a ，因为ca ，所以1,e （5）渐近线：当x 或x 时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠 近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。 双曲线渐近线的求法： 无论双曲线的焦点位于哪条轴上， 只需让右侧的 1 变为 0， 再解出y 关于x的直线即可。例如在 22 22 10,0 xy ab ab 中，求渐近线即解： 22 22 0
8、xy ab ，变 形为 b yx a ，所以 b yx a 即为双曲线的渐近线 渐近线的几何特点： 直线,xa xa yb yb 所围成的矩形， 其对角线即为双曲线 的渐近线 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现, ,a b c的关 系。 （6）通径： 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段 通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦PQx轴， 2 2b PQ a （7）焦半径公式：设双曲线上一点 00 ,P x y，左右焦点分别为 12 ,F F，则 1020 ,PFaexPFaex（可记为“左加右减” ） 由焦半径公式
9、可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为ca （8）焦点三角形面积：设双曲线上一点 00 ,P x y，则 12 2 cot 2 PF F Sb （其中 12 PFF ） （三）抛物线： 1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹 为抛物线 2、抛物线的标准方程及焦点位置： （1）焦点在x轴正半轴： 2 20ypx p，焦点坐标,0 2 p （2）焦点在x轴负半轴： 2 20ypx p ，焦点坐标,0 2 p （3）焦点在y轴正半轴： 2 20 xpy p，焦点坐标0, 2 p （4）焦点在y轴负半轴： 2 20 xpy p ，焦点坐标0,
10、2 p 小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其 坐标为一次项系数除以 4，例如： 2 4xy，则焦点在y轴上，且坐标为0,1 3、焦半径公式：设抛物线 2 20ypx p的焦点为F，,A x y，则 2 p AFx 4、焦点弦长：设过抛物线 2 20ypx p焦点的直线与抛物线交于 1122 ,A x yB x y， 则 12 ABxxp（ABAFBF，再由焦半径公式即可得到） 二、典型例题： 例 1：已知双曲线 22 2 1 4 xy b 的右焦点与抛物线 2 12yx的焦点重合，则该双曲线的焦点到 其渐近线的距离等于（ ） A. 5 B. 4 2
11、C. 3 D. 5 思路：先从常系数方程入手，抛物线 2 12yx的焦点为3,0，即双曲线中的3c ，所以 222 5bca，从而双曲线方程为： 22 1 45 xy ，其渐近线方程： 5 2 yx ，由对称 性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择:520lxy，右焦点 2 3,0F，所以 2 2 2 3 5 5 52 Fl d 答案：A 小炼有话说： （1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联 接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标， 进而解出其他圆锥曲线的要素 答案：A 例 2： 已知双曲线 22 22 10,0 xy
12、ab ab 的实轴长为4 2，虚轴的一个端点与抛物线 2 20 xpy p的焦点重合，直线1ykx与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行， 则p （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以p作 为 核 心 变 量 ， 抛 物 线 2 2xpy的 焦 点 为0, 2 p ， 所 以 可 得 2 p b ， 因 为 24 22 2aa， 所 以 双 曲 线 方 程 为 22 2 4 1 8 xy p ， 可 求 得 渐 近 线 方 程 为 4 2 p yx ，不妨设1ykx与 4 2 p yx平行，则有 4 2 p
13、k 。从相切可想到与抛物线 联 立 消 元 后 的 方 程0 ： 2 2 2 1 204 2 2 2 2 p yx p xxp xpy ， 所 以 2 80 2 2 p p 解得4p 答案：A 例3： 如图， 12 ,F F是椭圆 22 1 22 :10 xy Cmn mn 与双曲线 22 2 22 :10,0 xy Cab ab 的公共焦点， 将 12 ,C C的离心率分别记为 12 ,e e， 点A是 12 ,C C 在第一象限的公共点，若 2 C的一条渐近线是线段 1 AF的中垂 线，则 22 12 11 ee （ ） A. 2 B. 5 2 C. 7 2 D. 4 思 路 ： 椭 圆
14、与 双 曲 线 共 焦 点 ， 所 以 有 22222 cmnab， 所 求 表 达 式 2222 22222 12 11mama eeccc ，本题与焦半径相关，所以考虑 1212 2,2A FA FmA FA Fa。 结合 1 AF的中点与 12 FF的中点可得双曲线的渐近线与 2 AF平行，从而 12 AFAF，所以有 222 2 1212 4AFAFFFc，联系上面条件可得： 22 22 222 121212 1 422 2 cAFAFAFAFAFAFma ，所以 22 222 12 11 2 ma eec 答案：A 例 4： 已知椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 与双
15、曲线 2 2 2: 1 4 y Cx 有公共的焦点， 2 C的一 条渐近线与以 1 C的长轴为直径的圆相交于,A B两点， 若 1 C恰好将线段AB三等分， 则 （ ） A. 2 13 2 a B. 2 13a C. 2 1 2 b D. 2 2b 思路：因为 12 ,C C有公共焦点，所以通过 2 C可得 12 5,0 ,5,0FF，从而5c ，圆的 直径为2a，所以AB截椭圆的弦长为 2 3 a 。由双曲线得:2AB yx，进而与椭圆方程联立， 再利用弦长公式即可得到关于a（或b）的方程，解方程即可 解：通过 2 C可得 12 5,0 ,5,0FF，5c 不妨设:2AB yx，则 2222
16、2222 2 22 42 b xa ya ba b x abyx ，所以 22 4 ab x ab 利用弦长公式可得 2 12 22 2 52 12 3 4 ab dxxa ab 又因为 222 5abc 22 22 2 52 3 4 5 ab a ab ab 解得： 2 2 11 2 1 2 a b ，故选 C 答案：C 例 5： （2014，山东，10）已知0ab，椭圆 1 C的方程为 22 22 1 xy ab ，双曲线 2 C的方程是 22 22 1 xy ab ， 1 C与 2 C的离心率之积为 3 2 ，则 2 C的渐近线方程为（ ） A. 20 xy B. 20 xy C. 20
17、 xy D. 20 xy 思路：要想求渐近线方程，关键在, a b的比值，所以将两个离心率均用, a b表示，再利用乘积 为 3 2 即可得到, a b关系，进而求出渐近线方程 解：设曲线 12 ,C C的离心率分别为 12 ,e e，则 2222 12 , cabcab ee aaaa 222244 1 2 2 3 2 ababab ee aaa 即 1 444 4 44 3112 4442 abbb aaa 因为双曲线的渐近线方程为： b yx a ，代入可得： 2 20 2 yxxy 答案：A 小炼有话说：本题在设计上利用椭圆和双曲线中c的求法不同，从而使得两条曲线在, a b相同 的情
18、况下，离心率的乘积中含有平方差公式的特点，从而简化运算，较易得出, a b关系 例 6： 椭圆 22 22 10 xy mn mn 和双曲线 22 22 10 xy ab ab 的公共焦点为 12 ,F F，P 是两曲线的一个交点，那么 12 PFPF的值是（ ） A. ma B. 22 ma C. 2 ma D. ma 思路：所求 12 ,PFPF既是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。所以由椭圆和双曲线定义 可得： 12 2PFPFa， 12 2PFPFm，由此联想到两个式子的完全平方公式，进而 可求出 12 PFPF，则 22 22 121212 1 4 PFPFPFPFPFPFma 答案
19、：B 例 7：已知抛物线 2 20ypx p的焦点F与双曲线 22 1 45 xy 的右焦点重合，抛物线的 准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且2AKAF，则A点的横坐标为（ ） A. 2 2 B. 3 C. 2 3 D. 4 思路：因为两条曲线的焦点重合，所以可用双曲线计算出焦点的坐标 2 459c ，所以 3,0F，进而可确定抛物线方程： 2 12yx，以及准线方程l ：3x 。所以3,0K ， 设A点横坐标为x，则 , 12A xx，所以 2 2 312AKxx ，由焦半径公式可得： 3 2 p AFxx，所以 22 22AKAFAKAF，即 22 31223xxx，可解得：3x 答案
20、：B 例 8：设F为双曲线 22 1 169 xy 的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的 圆与双曲线左，右两支在x轴上方的交点分别为,M N，则 FNFM FA 的值为（ ） A. 2 5 B. 5 2 C. 5 4 D. 4 5 思路：因为所求分式涉及到三条线段长度，若直接用距离公式则异常复杂，所以考虑时刻简 化 计 算 ， 首 先 由,FMFN联 想 到 焦 半 径 公 式 ， 设 1122 ,M x yN x y， 则 有 11 MFaexexa ， 22 NFaexexa，所以 12 2FNFMe xxa，设,0A m，由双曲线可知5,0F ，则FA的中点 5 ,0 2
21、 m C ，圆半径 5 2 m r ，所以圆方程为： 22 2 55 22 mm xy ，整理后 可得： 22 550 xmxym，因为FNFM的值与 12 xx相关，所以考虑联 立 圆 和 双 曲 线 方 程 ： 22 22 550 1 169 xmxym xy 消 去y可 得 ： 2 25 5950 16 xmxm， 所 以 12 165 25 m xx ， 代 入FNFM可 得 ： 165455 8 4255 mm FNFM ，因为5FAm，所以原式的值为 4 5 答案：D 小炼有话说：本题可发现无论A的位置如何，从选项上来看 FNFM FA 应该为定值，故可 以 利 用 特 殊 位 置
22、 ， 比 如A为 右 焦 点 时 ， 便 可 轻 松 得 到 答 案 ： 由 对 称 性 可 得 28FNFMa，且210FAc，所以 24 25 FNFMa FAc 例 9：如图，从双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左焦点F引圆 222 xya的切线，切点 为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则 MOMT的值为_（用含, a b的表达式表示） 思路： 首先要将,MOMT向, a b靠拢， 因为PF与圆切于T， 连结OT，可知OTra，且FOT为直角三角形， OFc， 从而 22 22 FTOFOTcab， 进而 1 2 MTFMFTPFb，在
23、寻找MO，因为M为线段FP的中点，且由双曲线性 质得O为 FF的中点，所以连结 PF，则由中位线性质可得 1 2 OMPF，而 PF恰好是 另一焦半径。所以 111 222 MOMTPFPFbbPFPF ，由双曲线定 义可得： 2PFPFa，从而MOMTba 答案：ba 小炼有话说： （1）题目中遇到中点问题，除了已知条件外，在椭圆和双曲线中还要注意“原 点也是两焦点的中点”这一隐藏条件 （2）在椭圆与双曲线中，因为两条焦半径存在几何关系（和差与a相关） ，所以题中出现一条 焦半径时，常见的辅助线是连出另一条焦半径。 例 10：如图，椭圆 22 2 :12 4 xy Ca a ，圆 222 :
24、4O xya，椭圆的左右焦点分别为 12 ,F F，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于,M N两点，若 12 6PFPF，则 PMPN的值为_ 思路：本题很难直接求出,PMPN的值，从而考虑将其视为整体，进行转化：从图上可得： ,PMOMOPrOP PNONOPrOP，从而 22 22 4PMPNrOPaOP，所以只需确定 2 OP即可，设,P x y，即 2 22 OPxy，已知 22 2 1 4 xy a ，则需利用好 12 6PFPF，想到焦半径公式：则 12 ,PFaex PFaex，所以 222 12 6PFPFae x，所以 222 22222 222 44 444 xac xyxxx aaa ，即 22222 42xye xa，所以 6PMPN 答案：6
