1、 微专题 74 利用几何关系求解最值问题 一、基础知识： 1、利用几何关系求最值的一般思路: （1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关 （2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线时， 便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法 取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要注意动点与定点相对位置关系。一般的， 寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在 定点连成的线段延长线上。 （3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段 用其它线段进行表
2、示，进而找到最值位置 （4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时 最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。 2、常见的线段转移： （1）利用对称轴转移线段（详见例 1） （2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切 线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移。 （3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的 相互转化。 （4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径 （5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移
3、至另一条焦半径（注 意点在双曲线的哪一支上） 3、与圆相关的最值问题： （1）已知圆C及圆外一定点P，设圆C的半径为r则圆上点到P点 距离的最小值为PMPCr，最大值为PNPCr（即连 结PC并延长，M为PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交点 （2） 已知圆C及圆内一定点P， 则过P点的所有弦中最长的为直径， 最短的为与该直径垂直的弦MN 解： ，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为 22 2ABrd，若AB最小，则d C C P P A A B B 要取最大，在圆中CP为定值，在弦绕P旋转的过程中， dCP，所以dCP时，AB 最小 （3）已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距
4、离的 最小值为 C l PMdr ，距离的最大值为 C l PNdr （过圆心C作l的垂线，垂足为P，CP与圆C交于M，其 反向延长线交圆C于N （4） 已知圆C和圆外的一条直线l， 则过直线l上的点作圆的 切线，切线长的最小值为PM 解： 2 2 PMCPr，则若PM最小，则只需CP最小即可， 所以P点为过C作l垂线的垂足时，CP最小 过P作圆的切线，则切线长PM最短 4、与圆锥曲线相关的最值关系： （1）椭圆：设椭圆方程为 22 22 10 xy ab ab 焦半径：焦半径的最大值为ac，最小值为ac 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为 2 2b a ，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直
5、（2）双曲线：设双曲线方程为 22 22 10,0 xy ab ab 焦半径：焦半径的最小值为ac，无最大值 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为 2 2b a ，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直 （3）抛物线：设抛物线方程为 2 2ypx 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即 2 p 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为2p 二、典型例题： l l M M C C P P N N l l C C P P M M 例 1：已知在平面直角坐标系中，点1,1 ,3,4AB，P为x轴上一动点，则PAPB的 最小值为_ 思路：从所求可联想到三点不共线时
6、，三角形两边之和大 于第三边（而三点共线时可能相等） ，由已知可得： 5AB ，但从图像上发现无论P在何处， PAPBAB，无法取到等号。 （即使, ,P A B共线时 等号也不成立） ，为了取到最值。考虑利用对称转移所求线 段。作A关于x轴的对称点 A，从而有 APAP，所 以PAPB转化为 PAPB，可知当 , , A P B三点共线时， min 41PAPBAB，即min41PAPB 答案：41 小炼有话说： （1）三点共线取得最值的条件：动点位于两定点之间时，则距离和取到最小值。 同理；当动点位于两定点同一侧时，距离差的绝对值取到最大值。 （2）处理线段和（差）最值问题时，如果已知线段
7、无法找到最值关系，则可考虑利用“线段 转移法” ，将某一线段替换成另一长度相等线段，从而构造出取得最值的条件 例 2：设抛物线 2 4yx上一点P到此抛物线准线的距离为 1 d，到直线:34120lxy的 距离为 2 d，则 12 dd的最小值为（ ） A. 3 B. 16 5 C. 18 5 D. 4 思路：通过作图可观察到直接求 12 dd的最值比较困难，所以考虑转移某个距离，由已知可 得 1 d为P到准线的距离，所以可根据抛物线定义转移为PF （其中F是抛物线的焦点，1,0F） ， 所以 122 ddPFd， 观察图像可得： 2 3 1 12 3 5 Fl PFdd 答案：A 例 3：已
8、知过抛物线 2 4yx的焦点F的弦与抛物线交于,A B两点，过,A B分别作y轴的垂 线，垂足分别为,C D，则ACBD的最小值为_ 思路：设抛物线的准线为l，由抛物线 2 4yx可知:1l x ， 观察图像可知1,1 A lB l ACdBDd 。 而由抛物线定义可 得：, A lB l dAF dBF ，所以 112ACBDAFBFAB， 即 要 求 出 ACBD的最小值， 只需求出AB的最小值， 即抛物线焦点弦 的最小值，由抛物线性质可知当ABx轴时，AB最小， min 24ABp，所以 min 2ACBD 答案：2 例 4：已知点 3 , 1 2 P 在抛物线 2 :20E xpy p
9、的准线上，过点P作抛物线的切线， 若 切 点A在 第 一 象 限 ，F是 抛 物 线 的 焦 点 ， 点M在 直 线AF上 ， 点N在 圆 22 :221Cxy上，则MN的最小值为（ ） A. 1 5 B. 6 5 C. 2 D. 6 21 思路：由图像可知，固定M点，则圆C上到M距离的最小值1CMrCM，所以只 需在直线上找到与圆心C距离最小的点，即C到直线AF的 距离。 需要确定抛物线方程和A点坐标， 由 3 , 1 2 P 可得准 线 方 程 为1y ， 所 以2p ， 抛 物 线 方 程 为 22 1 4 4 xyyx， 焦点0,1F 设 2 1 , 4 A aa ， 则 1 2 yx
10、， 切 线 斜 率 1 2 ka， 从 而 2 1 1 1 4 4 3 2 2 a kaa a ， 即4,4A， 413 404 AF k ， 所以直线AF方程：3440 xy， 从而 min 2 2 6841 1 5 34 MN 答案：A 例 5：抛物线 2 yx 上的点到直线4380 xy距离的最小值是（ ） A. 1 4 B. 4 3 C. 8 5 D. 3 思路一：直接利用点到直线距离公式得到距离关于x的函数，设抛物线上的点 2 ,P xx，则 2 2 220 3 43833 20 14 55353 P l x xx d ，所以最小值为 4 3 思路二：本题也可将直线进行平移，平移至与
11、抛物线相切，则两直线之间的距离即为所求最 小值。所以只需求与已知直线平行且与抛物线相切的直线，设切 点坐标为 00 ,x y，所求函数的导数 2yx ，因为切线与 4380 xy平行，所以 0 4 2 3 x ，可得 0 2 3 x ，进而 2 00 4 9 yx ，故切线方程为： 442 933 yx ，整理后 可得： 4 430 3 xy，所以两直线距离 4 8 34 53 d ， 即抛物线上的点到距离的最小值 答案：B 例6 ： 已 知 点M是 抛 物 线 2 4yx的 一 点 ，F为 抛 物 线 的 焦 点 ，A在 圆 22 :411Cxy上，则MAMF的最小值为（ ） A. 2 B.
12、 3 C. 4 D. 5 思路：本题含两个动点,M A，先固定一个点不动，寻找最小值的规律。考虑固定M，则圆 上距离M最近的点为MC与圆的交点，即 min 1MAMCrMC，所以只需考虑 MCMF的最小值即可，通过移动M可知，无论M位于何处，MCMFCF， 所以CF不是最小值。考虑转移线段，抛物线的准线:1l x ，则 M l MFd ，所以 5 MlCl MCMFMCdd （即C到准线的距离，所以 114 C l MAMFMCMFd 答案：C 例 7：已知动点,P x y在椭圆 22 1 2516 xy 上，若点A的坐标 为3,0，1,0AMPM AM，则PM的最小值是（ ） A. 2 B.
13、 3 C. 2 D. 3 思路：由椭圆方程可知A即为椭圆的焦点，由1AM 可知M是以A为圆心，半径为 1 的 圆上的点，P在圆外， 且由0PM AM可得PMAM， 所以PM即为圆上的切线，PM 的 最 小 值 即 切 线 长 的 最 小 值 ， 由 圆 的 性 质 可 得 ： 22 2 1PMPArPA， 所以只需找到PA的最小 值即可，由椭圆性质可知： min 532PAac，故 2 minmin 13PMPA 答案：B 例 8： 设 1 F是椭圆 22 1 2516 xy 的左焦点，P是椭圆上的任意一点， 点M的坐标为6,4，则 1 PMPF的最大值为_ 思路： 先作出椭圆图像， 标出定点
14、 1 ,M F的位置， 若从 1 FM入手， 则由图发现无论P在何处， 11 PMPFFM。与所求最大值 不符。考虑进行线段转移，发现 1 PF为左焦半径，所以考虑作出右焦点 2 3,0F，利用 12 210PFPFa进行线段转移。即 12 10PMPFPMPF，只需求出 2 max PMPF，结合图像可得 22 PMPFF M，且 22 2 63405F M ，从而可得： 12 max 1015PMPFF M 答案：15 例 9：设P是椭圆 22 1 95 xy 上一点，,M N分别是两圆 2 2 1: 21Cxy和 2: C 2 2 21xy上的点，则PMPN的最小值和最大值分别为（ ）
15、A. 4,8 B. 2,6 C. 6,8 D. 8,12 思路：本题有三个动点,P M N，但观察可得,PMPN之间没 有联系，所以若PMPN达到最小，则只需,PMPN分别 达到最小即可。固定P点，可知 111222 minmin 1 ,1PMPCrPCPNPCrPC ，所以 12 2PMPNPCPC，可知 12 2,0 ,2,0CC恰好为椭圆两个定点，所 以由椭圆定义可得： 12 26PCPCa，所以min624PMPN，同理可知： 111222 maxmax 1,1PMPCrPCPNPCrPC，所以 m ax 628PMPN 答案：A 例 10：设,P Q分别为 2 2 :62Cxy和椭圆
16、 2 2 1 10 x y上 的 点 ， 则,P Q两 点 间 的 最 大 距 离 是 _ 思路：本题中,P Q均为动点，所以考虑先固定一点不动， 比如Q点， 寻找此时达到最值时P位置的规律， 进而再让 Q运动起来，找到最值。观察图像可得Q点固定时，PQ达到的最大值时P在QC延长线与 C的交点处，即PQQCr，由于2r ，所以只需找到QC的最大值即可，设 ,Q x y，而0,6C，则 22 2 6QCxy，由 2 2 1 10 x y可得 22 10 1xy，代入 消去x可得： 2 22 22 2 10 1691246950 3 QCyyyyy ，因为 1,1y ，所以当 2 3 y 时， 2
17、 max 505 2QCQC，从而6 2PQQCr 答案：6 2 三、历年好题精选 1、 （2014，安徽）在平面直角坐标系xOy中，已知向量, ,1,0a b aba b，点 Q满足 2OQab，曲线 |cossin,02CP OPab，区域 |0,PrPQR rR ，若C为两段分离的曲线，则（ ） A. 13rR B. 13rR C. 13rR D. 13rR 2、 已知直线 1:4 360lxy和直线 2: 1lx ，则抛物线 2 4yx上一动点P到直线 12 ,l l 的距离之和的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 11 5 D. 37 16 3、已知点4,0A和2,2B，M是椭
18、圆 22 1 259 xy 上一动点，则MAMB的最 大值为_ 4、已知点 3 , 1 2 P 在抛物线 2 :20E xpy p的准线上，过点P作抛物线的切线，若切 点A在第一象限，F是抛物线的焦点，点M在直线AF上，点N在圆 22 :221Cxy上，则MN的最小值为（ ） A. 1 5 B. 6 5 C. 2 D. 6 21 5、已知圆 22 1: 231Cxy，圆 22 2: 349Cxy,M N分别是圆 12 ,C C 上的动点,P为x轴上的动点,则PMPN的最小值为 （ ） A5 24 B 171 C62 2 D 17 6、 （2016，绵阳二模）已知点 P 在单位圆1 22 yx上
19、运动，点 P 到直线34100 xy与 3x 的距离分别记为 12 ,d d，则 12 dd最小值为_ 7、已知点P是双曲线 22 1 3664 xy 的右支上一点，,M N分别是圆 2 2 104xy和 2 2 101xy上的点，则PMPN的最大值为_ 习题答案：习题答案： 1、答案：A 解析：由, a b的特点可以以, a b所在直线为坐标轴建系，则有1,0 ,0,1ab， 所以曲线C上点的坐标为cos ,sin，即圆心是原点的单位圆；另一方面 2, 2OQ 可得 2, 2 ,2QOQ ，所以区域为以Q为圆心，, r R为半径的 圆环。通过数形结合可得若C为两段分离的曲线，意味着以Q为圆心
20、，, r R为 半径的圆均与单位圆相交。所以 1 113 1 OQr RrR OQR 2、答案：A 解析：观察直线 2 l的方程恰好是抛物线的准线，所以想到P到 2 l的距离与PF相等（F是抛 物线的焦点） 。以此为突破口进行线段转移，所以 121 P lP lP l dddPF ，通过作图观察 可得 11 P lF l dPFd （等号成立条件：P为F到 1 l的垂线与抛物线的焦点） ，且1,0F ， 所以 121 min 406 2 5 P lP lFl ddd 3、答案：102 10 解析：可知A是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为 1 4,0A ，连接 1 BA 并延长交椭圆于
21、1 M，则 1 M是使MAMB取得最大值的点事实上，对于椭圆上 的任意点M有： 22 11 222 562102 10MAMBaMAMBaAB 4、答案：A 解析：由点 3 , 1 2 P 在抛物线准线上可得：2p 22 1 :4 4 E xyyx 1 2 yx 设 2 1 , 4 A aa 2 1 1 1 4 | 3 2 2 A Pxa a kya a 解得：4,1aa （舍） 4,4A 由0,1F可得AF的方程为： 3 13440 4 yxxy M在直线AF上，N在圆上 22 32424 61 11 55 34 C l MNdr 5、答案：A 解析：设圆 12 ,C C的半径为 12 ,r
22、 r，即 1 2 1 3 r r ，可知 1122 ,PMPCr PNPCr 121212 4PMPNPCPCrrPCPC 1 2,3C关于x轴对称点为 1 2, 3C 22 121212 23345 2PCPCPCPCCC 5 24PMPN，等号成立条件： 12 ,C C P共线 6、答案： 4 5 5 5 解析：设点cos ,sinP，可得 1 22 3cos4sin10104sin3cos 5 34 d ， 2 3cosd， 所以 12 14 5 54sin8cos5sin 55 dd， 所以 12 dd的 最小值为 4 5 5 5 7、答案：15 解析：在双曲线 22 1 3664 xy 中，6,8,10abc 12 10,0 ,10,0FF 12 212PFPFa 1122 ,MPPFMFPNPFNF 1122 15PMPNPFMFPFNF
