1、 微专题 84 古典概型 一、基础知识： 1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。例如：在扔 骰子的试验中，向上的点数 1 点，2 点，6 点分别构成一个基本事件 2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事 件空间，用表示。 3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为 12 , n A AA （1）基本事件两两互斥 （2） 此项试验所产生的事件必由基本事件构成， 例如在扔骰子的试验中， 设 i A为 “出现i点” ， 事件A为“点数大于 3” ，则事件 456 AAAA （3）所有基本事件的并事件为必然事件 由加法公式可得
2、： 1212nn PP AAAP AP AP A 因为 1P ，所以 12 1 n P AP AP A 4、等可能事件：如果一项试验由n个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相 等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。 5、等可能事件的概率：如果一项试验由n个基本事件组成，且基本事件为等可能事件，则基 本事件的概率为 1 n 证明：设基本事件为 12 , n A AA，可知 12n P AP AP A 12 1 n P AP AP A 所以可得 1 i P A n 6、古典概型的适用条件： （1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个 （2）每个基本事件出现的可能性相等 当满足这两
3、个条件时， 事件A发生的概率就可以用事件A所包含的基本事件个数 n A占基 本事件空间的总数 n 的比例进行表示，即 n A P A n 7、运用古典概型解题的步骤： 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具 体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种 排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件 ,n A n 可通过计数原理（排列，组合）进行计算 要保证A中所含的基本事件，均在之中，即A事件应在所包含的基本事件中选择符 合条件的 二、典型例题： 例 1：从1 6这 6 个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另外
4、两个数的和的概率为 _ 思路：事件为6 个自然数中取三个 ，所以 3 6 20nC ，事件A为一个数是另外 两个数的和 ，不妨设abc，则可根据a的取值进行分类讨论，列举出可能的情况： 3,2,1 , 4,3,1 , 5,4,1 , 5,3,2 , 6,5,1 , 6,4,2，所以 6n A 。进而计算出 3 10 n A P A n 答案： 3 10 例 2：从集合1,1,2A 中随机选取一个数记为k，从集合2,1,2B 中随机选取一个数 记为b，则直线ykxb不经过第三象限的概率为（ ） A. 2 9 B. 1 3 C. 4 9 D. 5 9 思路：设为, k b的所有组合 ，则 3 39
5、n ，设事件A为直线ykxb不经 过第三象限 ，则要求0,0kb，所以 1 22n A ，从而 2 9 n A P A n 答案：A 例 3：袋中共有 7 个大小相同的球，其中 3 个红球，2 个白球，2 个黑球。若从袋中任取三个 球，则所取 3 个球中至少有两个红球的概率是（ ） A. 4 35 B. 13 35 C. 18 35 D. 22 35 思路：设为袋中任取三球 ，则 3 7 35nC ，设事件A为至少两个红球 ，所以 213 343 13n AC CC，从而 13 35 n A P A n 答案：B 例 4： 设函数 1 1 x f xaxx x ， 若a是从0,1,2三个数中任
6、取一个，b是从1,2,3,4,5 五个数中任取一个，那么 f xb恒成立的概率是（ ） A. 3 5 B. 7 15 C. 2 5 D. 1 2 思路：设事件为, a b从所给数中任取一个 ，则 3 412n ，所求事件为事件A， 要计算A所包含的基本事件个数， 则需要确定, a b的关系， 从恒成立的不等式入手， f xb 恒成立，只需 minf xb，而 1 11 11 x f xaxa xa xx ，当0a 时， 11 1121121 11 a xaa xaaa xx ，所以当 11 11 1 a xx xa 时， 2 min 211f xaaa ，所以 2 1ab，得到关系后即可选出符
7、合条件的, a b： 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5共 8 个，当0a 时， 1 11 1 f x x ，所以0,1符合条件，综上 可得 9n A ，所以 3 5 n A P A n 答案：A 例 5：某人射击 10 次击中目标 3 次，则其中恰有两次连续命中目标的概率为（ ） A. 7 15 B. 1 2 C. 3 8 D. 3 10 思路：考虑设为10 次射击任意击中三次 ，则 3 10 120nC ，设事件A为恰有两 次连续命中 ，则将命中分为两次连续和一次单独的，因为连续与单独的命中不相邻，联想到 插空法， 所以 22 82
8、56n AC A（剩下七个位置出现八个空， 插入连续与单独的， 共有 2 8 C种， 然后要区分连续与单独的顺序，所以为 22 82 C A） ，从而 7 15 n A P A n 答案：A 例 6：已知甲袋装有 6 个球，1 个球标 0,2 个球标 1，3 个球标 2；乙袋装有 7 个球，4 个球标 0,1 个球标 1,2 个球标 2，现从甲袋中取一个球，乙袋中取两个球，则取出的三个球上标有的 数码乘积为 4 的概率是_ 思路：设为两个袋中取出三个球 ，则 12 67 126nCC ，事件A为三个球标记数 码乘积为 4 ，因为422 1 ，所以三个球中有两个 2 号球，1 个 1 号球，可根
9、据 1 号球的 来源分类讨论，当 1 号球在甲袋时，有 12 22 2CC种，当 1 号球在乙袋时，则乙袋一个 1 号 球，一个二号球，共有有 21 32 6CC种，即 8n A 种。则 84 12663 n A P A n 答案： 4 63 例 7：四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点，在其中任取 4 个点，则这四个点不共面的概率 为（ ） A. 5 7 B. 7 10 C. 24 35 D. 47 70 思路：设为10 个点中取 4 个点 ，则 4 10 210nC ，设事件A为4 个点不共面 ， 若正面寻找不共面的情况较为复杂，所以考虑问题的对立面，即A为4 个点共面 ，由图可 得四点
10、共面有以下几种情况： （1）四个点在四面体的面上，则面上 6 个点中任意 4 个点均共 面，则 4 16 460NC； （2）由平行线所产生的共面（非已知面） ，则有 3 对，即 2 3N ； （3）由一条棱上的三点与对棱的中点，即 2 6N ，所以共面的情况 603669n A ， 所以 21069141n Ann A ，所以 47 70 n A P A n 答案：D 例 8：袋子里有 3 颗白球，4 颗黑球，5 颗红球，由甲，乙，丙三人依次各抽取一个球，抽取 后不放回， 若每颗球被抽到的机会均等， 则甲， 乙， 丙三人所得之球颜色互异的概率是 （ ） A. 1 4 B. 1 3 C. 2
11、7 D. 3 11 思路：事件为不放回地抽取 3 个球 ，则 3 12 nA ，基本事件为甲，乙，丙拿球的各 种情况，且将这些球均视为不同元素。设所求事件甲，乙，丙三人所得之球颜色互异为 事件A， 则先要从白球黑球红球中各取一个 （ 111 345 CCC） ， 再分给三个人 （三个元素全排列） ， 所以 1113 3453 n ACCCA，从而 1113 3453 3 12 3 11 CCCA P A A 答案：D 例 9：甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字， 把乙猜的数字记为b，其中,1,2,3,4,5,6a b，若ab或1ab，就称甲乙“心有灵犀
12、” 现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A. 7 36 B. 1 4 C. 11 36 D. 5 12 思路：设为甲想乙猜的所有情况 ，则 6 636n ，设事件A为甲乙心有灵 犀 ， 可对甲想的数进行分类讨论： 当1 ,2 , 3 ,4 , 5a 时，b可取的值为a或1a ； 当6a 时， 6b，所以事件A包含的基本事件数 2 5 111n A ，所以 11 36 n A P A n 答案：C 例 10：将 1,2,3,4 四个数字随机填入右方22的方格中，每个方格中恰填一数字，但数字可 重复使用，试问时间“A 方格的数字大于 B 方格的数字，且 C 方格的数字大于 D 方格的数字” 的概率为（ ） A. 1 16 B. 9 64 C. 25 64 D. 9 256 思路：事件为4 个数字填入方框中，则 4 4256n 。设事件 E 为所求事件，可进 行分类讨论，若 A 填入 2，则 B 填入 1，若 A 填入 3，则 B 可填入 1,2；若 A 填入 4，则 B 可填 入 1,2,3；所以 A,B 两格的填法共有 6 种；同理 C,D 的填法也有 6 种，且 A,B 的填法与 C,D 的 填法相互独立，所以 6 636n P ，从而 369 ( ) 25664 n E P E n 答案：B
