1、 微专题 77 定点定直线问题 一、基础知识： 1、处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为k） （2）利用条件找到k与过定点的曲线,0F x y 的联系，得到有关k与, x y的等式 （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点 00 ,x y，使得无论k的值如何变化，等式恒成立。 此时要将关于k与, x y的等式进行变形，直至易于找到 00 ,xy。常见的变形方向如下： 若等式的形式为整式， 则考虑将含k的项归在一组，变形为“ k”的形式，从而 00 ,xy 只需要先让括号内的部分为零即可 若等式为含k的分式， 00 ,xy的取值一方面可以考虑使其分子为 0，从而分式与分母的取
2、值无关； 或者考虑让分子分母消去k的式子变成常数 （这两方面本质上可以通过分离常数进行 相互转化，但通常选择容易观察到的形式） 2、一些技巧与注意事项： （1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线） 。然后再验证该 点（或该直线）对一般情况是否符合。属于“先猜再证” 。 （2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件。 所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线） ，从而观察这一类曲线是否 过定点。尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件。例如：直线 :1l ykxk，就应该能够意识到11yk x，进而直线
3、绕定点1, 1 旋转 二、典型例题： 例 1：椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，其左焦点到点2,1P的距离为10 （1）求椭圆C的标准方程 （2）若直线: l ykxm与椭圆C相交于,A B两点（,A B不是左右顶点） ，且以AB为直径 的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标 解： （1） 1 :2:3:1 2 c ea b c a ，设左焦点 1 ,0Fc 22 1 20 110PFc ，解得1c 2,3ab 椭圆方程为 22 1 43 xy （2）由（1）可知椭圆右顶点2,0D 设 1122 ,A x yB x y，以AB为直径的圆过
4、2,0D DADB即DADB 0DA DB 1122 2,2,DAxyDBxy 12121 21212 22240DA DBxxy yx xxxy y 联立直线与椭圆方程： 22 3412 ykxm xy 222 348430kxmkxm 2 1212 22 43 8 , 4343 m mk xxx x kk 22 12121 212 y ykxmkxmk x xmk xxm 22 22 2 222 43 8312 434343 km mk mkmk m kkk ，代入到 2 22 222 43 8312 240 434343 m mkmk DA DB kkk 2222 2 412161612
5、312 0 43 mmkkmk k 22 716407220mmkkmkmk 2 7 mk 或2mk 当 2 7 mk 时， 22 : 77 l ykxkk x l恒过 2 ,0 7 当2mk 时，:22l ykxkk x l恒过2,0，但2,0为椭圆右顶点，不符 题意，故舍去 l恒过 2 ,0 7 例 2：已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 经过点 3 3, 2 ，且椭圆的离心率为 1 2 e （1）求椭圆的方程 （2） 过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线， 分别交椭圆于,A C和,B D， 设线段,AC BD 的中点分别为,P Q，求证：直线PQ恒过一个定点 解： （1）
6、1 2 c e a : :2: 3:1a b c 22 22 1 43 xy cc 代入 3 3, 2 可得： 22 331 11 44 3 c cc 2,3ab 椭圆方程为 22 1 43 xy （2）由（1）可得：1,0F 当直线AC斜率不存在时，:1,:0AC xBD y 所以可得：1,0 ,0,0PQ PQ为x轴 当AC斜率存在时，设:1 ,0AC yk xk，则 1 :1BD yx k 设 1122 ,A x yC x y，联立方程可得： 2222 22 1 4384120 3412 yk x kxk xk xy 2 12 2 8 43 k xx k 121212 2 6 112 4
7、3 k yyk xk xk xxk k 2 1212 22 43 , 2243 43 xxyykk P kk 同理，联立 22 1 1 3412 yx k xy ，可得： 2 2222 11 43 43 , 34 43 11 43 43 kkk Q kk kk 22 2 2 22 33 7 4343 4441 4334 PQ kk k kk k kk kk PQ的方程为： 222 374 434341 kk yx kkk ，整理可得： 22 4744044740ykxkyykkx 4 7 0 x y 时，直线方程对kR 均成立 直线PQ恒过定点 4 ,0 7 而AC斜率不存在时，直线PQ也过
8、4 ,0 7 直线PQ过定点 4 ,0 7 例 3：如图，已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左右焦点为 12 ,F F，其上顶点为A，已知 12 F AF是边长为 2 的正三角形 （1）求椭圆C的方程 （2） 过点4,0Q 任作一动直线l交椭圆C于,M N两点， 记MQQN， 若在线段MN上 取一点R使得MRRN ， 试判断当直线l运动时， 点R是 否在某一定直线上运动？若在， 请求出该定直线； 若不在请说 明理由 解： （1）由椭圆方程可得 12 ,0 ,0 ,0,FcF cAb 12 F AF为边长是 2 的三角形 12 2221FFcc 3OAb 222 4abc 22
9、 1 43 xy （2）设:4MN yk x 设 1122 ,M x yN x y， 1122 4,4,MQxyQNxy 由MQQN可得： 1 12 2 4 44 4 x xx x 设 00 ,R x y，则 01012020 ,MRxx yyRNxx yy 由MRRN 可得： 0120 xxxx 1 12 21212 12 0 1 12 2 4 424 4 18 1 4 x xx xx xxxxx x x xx x 联立方程组 22 3412 4 xy yk x ，消去y整理可得： 2222 343264120kxk xk 22 1212 22 326412 , 3434 kk xxx x
10、kk 代入到可得： 22 222 02 2 2 64123224 24 343434 1 24 32 8 34 34 kk kkk x k k k R在定直线1x 上 例 4： 已知椭圆C的中心在坐标原点， 左， 右焦点分别为 12 ,F F，P为椭圆C上的动点， 12 PFF 的面积最大值为3，以原点为中心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3450 xy相切 （1）求椭圆的方程 （2）若直线l过定点1,0且与椭圆C交于,A B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线 ,AM BM分别与y轴交于,P Q两点，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若 是，求出定点坐标；若不是，说明理由 解： （1）
11、12 12 max 1 3 2 PF F SFFbbc 因为圆与直线相切 22 5 1 34 O l dbb 3c 222 4abc 椭圆方程为： 2 2 1 4 x y （2）当直线l的斜率存在时，设:1l yk x，由椭圆方程可得点2,0M 设 1122 ,A x yB x y，联立方程可得： 22 44 1 xy yk x 2222 148440kxk xk 22 1212 22 844 , 1414 kk xxx x kk 由2,0M， 1122 ,A x yB x y可得： 12 12 :2 ,:2 22 yy AMyxBMyx xx ，分别令0 x ，可得： 12 12 22 0,
12、0, 22 yy PQ xx ，设x轴上的定点为 0,0 N x 若PQ为直径的圆是否过 0,0 N x，则0PN QN 12 00 12 22 , 22 yy PNxQNx xx 问题转化为 2 12 0 12 4 0 22 y y x xx 恒成立 即 2 12 0 1 212 4 0 24 y y x x xxx 由 22 1212 22 844 , 1414 kk xxx x kk 及1yk x可得： 22 12121212 111y ykxxkx xxx 2 2 3 41 k k 代入到可得： 2 2 2 022 22 3 4 41 0 448 24 1414 k k x kk kk
13、 2 22 00 2 12 30 4 k xx k 解得： 0 3x 圆过定点 3,0 当直线斜率不存在时，直线方程为1x ，可得PQ为直径的圆 22 3xy过点 3,0 所以以线段PQ为直径的圆过x轴上定点 3,0 例 5：如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为 2 2 的椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的 左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交 于,P Q两点，直线,PA QA分别与y轴交于,M N两点，当直线 PQ的斜率为 2 2 时，2 3PQ （1）求椭圆C的标准方程 （2）试问以MN为直径的圆是否过定点（与PQ的斜率无关）？请证明你的结论 解： （1
14、）由 2 2 PQ k可得： 2 : 2 PQ yx 00 2 , 2 P xx 由对称性可知： 1 3 2 OPPQ 2 2 000 2 32 2 xxx 2,1P 由 2 2 c e a 可得: :2:1:1a b c 椭圆方程为 22 22 1 2 xy bb 代入 2,1P，可得： 22 2,4ba 22 :1 42 xy C （2）设 00 ,P x y由对称性可知 00 ,Qxy，由（1）可知2,0A 设:2AP yk x，联立直线与椭圆方程： 2 22 22 2 224 24 yk x xkx xy ，整理可得： 2222 218840kxk xk 2 0 2 84 21 A k
15、 x x k 解得： 2 0 2 24 21 k x k ，代入2yk x可得： 2 0 22 244 2 2121 kk yk kk 2 22 244 , 21 21 kk P kk 从而 2 22 244 , 2121 kk Q kk 2 2 2 2 2 2 4 4 0 121 21 8224 2 2121 AQ k k k k k kkk kk 1 :2 2 AQ yx k ，因为,M N是直线,PA QA与y轴的交点 1 0,2,0,MkN k 以MN为直径的圆的圆心为 2 21 0, 2 k k ，半径 2 21 2 k r k 圆方程为： 22 22 2 2121 22 kk xy
16、 kk ，整理可得： 22 2222 2222 21212121 2 22 kkkk xyyxyy kkkk 所以令0y ，解得2x 以MN为直径的圆恒过 2,0 例 6：已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为 半径的圆与直线60 xy相切，过点4,0P且不垂直x轴的直线l与椭圆C相交于 ,A B两点 （1）求椭圆C的方程 （2）若B点关于x轴的对称点是E，求证：直线AE与x轴相交于定点 解： （1） 1 2 c e a 已知圆方程为： 222 xyb 因为与直线相切 6 3 2 dbb 222 2 12 aacb cac 椭圆C
17、的方程为： 22 1 43 xy （2）设直线:4l yk x， 1122 ,A x yB x y 22 ,E xy 联立方程可得： 22 1 43 4 xy yk x ，消去y可得： 2 22 34412xkx 2222 433264120kxk xk 22 1212 22 326412 , 4343 kk xxx x kk 考虑直线:AE 12 12 1212 AE yyyy k xxxx 直线AE的方程为： 12 11 12 yy yyxx xx 令0y 可得： 112121 y xxyyxx 122112 x yx yx yy 1221 12 x yx y x yy ，而 1122 4
18、 ,4yk xyk x，代入可得： 12211212 1212 4424 448 x k xx k xx xxx x k xk xxx ， 代入 22 1212 22 326412 , 4343 kk xxx x kk 可得： 22 222 2 2 2 64123224 24 434343 1 24 32 8 43 43 kk kkk x k k k AE与x轴交于定点1,0 例 7 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系x O y中 ， 已 知 椭 圆 22 22 :10 xy Cab ab 与 直 线 : lxm mR，四个点3, 1 ,2 2,0 ,3,1 ,3, 3中有三个点在椭圆C上，剩
19、 余一个点在直线l上 （1）求椭圆C的方程 （2） 若动点P在直线l上， 过P作直线交椭圆C于,M N两点， 使得PMPN， 再过P作 直线 lMN，求证：直线 l恒过定点，并求出该定点的坐标 解： （1）因为四个点中有三点在椭圆上，由椭圆的对称性可知： 3, 1 ,3,1必在椭圆上 若 2 2,0在椭圆上，则为椭圆的左顶点。 但32 2 ，所以与3,1在椭圆上矛盾 3, 3 在椭圆上 2 22 2 22 91 1 12 33 4 1 a ab b ab 椭圆方程为 22 1 124 xy （2）依题意可得2 2m ，l方程为：2 2x PMPN且,P M N共线 P为MN中点 P在椭圆内部
20、设 0 2 2,Py，因为2 2x 与椭圆交于 22 2 2,3 ,2 2,3 33 0 22 3,3 33 y P为MN中点且 lMN于P l为MN的中垂线 设 1122 ,M x yN x y 22 11 2222 1212 22 22 1 11 124 0 124 1 124 xy xxyy xy 12121212 30 xxxxyyyy P为MN中点 12120 4 2,2xxyyy 当 0 0y 时 1212 12120 2 2 33 MN yyxx k xxyyy lMN 00 0 334 2 :2 2 32 22 2 yy lyyxyx l恒过 4 2 ,0 3 当 0 0y 时
21、，直线:2 2MN x l为x轴，过 4 2 ,0 3 无论P位于哪个位置，直线 l恒过 4 2 ,0 3 例 8：已知圆 2 2 1: 18Cxy，点 2 1,0C，点Q在圆 1 C上运动， 2 QC的垂直平分线交 1 QC于点P （1）求动点P的轨迹W的方程 （2）过 1 0, 3 S 且斜率为k的动直线l交曲线W于,A B两点，在y轴上是否存在定点D，使 得以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标；若不存在，说明理由 解： （1）由图像可得： 1211 2 2PCPCPCPQCQ P点的轨迹为以 12 ,C C为焦点的椭圆 2,1ac 222 1bac 2 2 1 2 x y （
22、2）设直线 1 : 3 l ykx， 1122 ,A x yB x y，与椭圆方程联立可得： 22 1 3 22 ykx xy 消去y可得： 2 2 1 22 3 xkx ，整理后可得： 22 416 210 39 kxkx 1212 22 416 , 3 219 21 k xxx x kk 设0,Db，因为以AB为直径的圆过D点 DADB 0DA DB 1122 ,DAx ybDBx yb 2 1 2121 21212 0DA DBx xybybx xy yb yyb 1212 2 22 33 21 yyk xx k 2 12121212 1111 3339 y ykxkxk x xk xx
23、 2 2 181 9 21 k k 代入到可得： 2 2 222 218116 0 3 219 219 21 bk b kkk 222 2 2 22 61325 265 00 3 213 21 kbbb bk b kk 所以只需： 222 613250kbbb 22 613510kbbb 22 166350bk bkb 可得1b 所以存在定点0, 1 例 9：已知椭圆 2 2 1: 1 2 x Cy和圆 22 2: 1Cxy，, ,A B F分别为椭圆的左顶点，下顶点 和右焦点 （1）点P是曲线 2 C上位于第二象限的一点，若APF的面积为 12 24 ，求证：APOP （2） 点,M N分别
24、是椭圆 1 C和圆 2 C上位于y轴右侧的动点， 且直线BN的斜率是直线BM斜 率的 2 倍，求证：直线MN恒过定点 解： （1）由椭圆可得 2,0 ,0, 1 ,1,0ABF 设 00 ,P x y，由P在第二象限可得： 00 0,0 xy APF的面积为 12 24 0 122 24 APF SAFy 12AF 0 2 2 y，代入圆方程可得： 0 2 2 x 22 , 22 P 2222 , 2222 APOP 0AP OP APOP （2）设直线BM的斜率为k，则直线BN的斜率为2k :1BMykx :21BN ykx，联立BM与椭圆方程： 2 2 22 1 1240 2 1 x y
25、kxkx ykx 2 4 12 M k x k 代入直线方程可得： 2 2 21 21 M k y k 联立BN与圆方程： 22 22 1 1440 21 xy kxkx ykx 2 4 14 N k x k 代入直线方程可得： 2 2 41 41 N k y k 22 2222 421441 , 12211441 kkkk MN kkkk 22 2222 22 22 22 2141 41 2141 21 1 2141 44 2421441 1214 MN kk kkkk kk k kk kkkkk kk MN的方程为： 2 22 2114 21221 kk yx kkk 整理可得： 1 1
26、2 yx k 直线MN恒过定点0,1 例 10：已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的右焦点 1 F与抛物线 2 4yx的焦点重合，原点 到过点,0 ,0,A aBb的直线距离是 2 21 7 （1）求椭圆C的方程 （2）设动直线: l ykxm与椭圆C有且只有一个公共点P，过 1 F作 1 PF的垂线与直线l交 于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程 解： （1）抛物线 2 4yx的焦点坐标为1,0 1c 直线AB的方程为：10 xy bxayab ab 22 2 21 7 O l ab d ab 2 22 2 222 2 21 4 7 3 1 ab a ab b a
27、bc 椭圆方程为 22 1 43 xy （2）因为直线l与椭圆相切 联立直线与椭圆方程： 222 22 4384120 1 43 ykxm kxkmxm xy 2222 644 412430k mmk 222222 6464192481440k mk mkm 即 2222 43043kmmk 切点坐标 22 444 43 P kmkmk x kmm 2 43 pp k ykxmm mm 即 43 , k P m m 1 3 3 4 4 1 PF m k k km m 1 4 3 QF km k 1 FQ的方程为 4 1 3 km yx 联立 1 ,FQ l方程： 4 1 3 km yx ykxm 4134433kmxkxmkxmxkmkxm 4km xkm 解得4x Q在4x 这条定直线上
