1、 微专题 86 事件的关系与概率运算 一、基础知识 1、事件的分类与概率： （1）必然事件：一定会发生的事件，用表示，必然事件发生的概率为100% （2）不可能事件：一定不会发生的事件，用表示，不可能事件发生的概率为0% （3）随机事件：可能发生也可能不发生的事件，用字母, ,A B C进行表示，随机事件的概率 0,1P 2、事件的交并运算： （1）交事件：若事件C发生当且仅当事件A与事件B同时发生，则称事件C为事件A与事 件B的交事件，记为AB，简记为AB 多个事件的交事件： 12n AAA：事件 12 , n A AA同时发生 （2） 并事件： 若事件C发生当且仅当事件A与事件B中至少一个
2、发生 （即A发生或B发生） ， 则称事件C为事件A与事件B的并事件，记为AB 多个事件的并事件： 12n AAA：事件 12 , n A AA中至少一个发生 3、互斥事件与概率的加法公式： （1）互斥事件： 若事件A与事件B的交事件AB为不可能事件，则称,A B互斥，即事件A 与事件B不可能同时发生。例如：投掷一枚均匀的骰子，设事件“出现 1 点”为事件A，“出现 3 点”为事件B，则两者不可能同时发生，所以A与B互斥 （2）若一项试验有n个基本事件： 12 , n A AA，则每做一次实验只能产生其中一个基本事 件，所以 12 , n A AA之间均不可能同时发生，从而 12 , n A A
3、A两两互斥 （3）概率的加法公式（用于计算并事件） ：若,A B互斥，则有 P ABP AP B 例如在上面的例子中，事件AB为“出现 1 点或出现 3 点”由均匀的骰子可得 1 6 P AP B，所以根据加法公式可得： 1 3 P ABP AP B （4） 对立事件： 若事件A与事件B的交事件AB为不可能事件， 并事件AB为必然事件， 则称事件B为事件A的对立事件，记为BA，也是我们常说的事件的“对立面”，对立事件 概率公式： 1P AP A ，关于对立事件有几点说明： 公式的证明：因为,A A对立，所以AA，即,A A互斥，而AA ，所以 PP AAP AP A ，因为 1P ，从而 1P
4、 AP A 此公式也提供了求概率的一种思路：即如果直接求事件A的概率所讨论的情况较多时，可 以考虑先求其对立事件的概率，再利用公式求解 对立事件的相互性：事件B为事件A的对立事件，同时事件A也为事件B的对立事件 对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层。由对立事件的定义可知： ,A B对立，则,A B一定互斥；反过来，如果,A B互斥，则不一定,A B对立（因为可能AB 不是必然事件） 4、独立事件与概率的乘法公式： （1）独立事件：如果事件A（或B）发生与否不影响事件B（或A）发生的概率，则称事 件A与事件B相互独立。例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是 1”为事件A，“
5、第二个 骰子的点数是 2”为事件B，因为两个骰子的点数不会相互影响，所以,A B独立 （2）若,A B独立，则A与B，B与A，A与B也相互独立 （3）概率的乘法公式：若事件,A B独立，则,A B同时发生的概率 P ABP AP B ， 比如在上面那个例子中， 11 , 66 P AP B，设“第一个骰子点数为 1，且第二个骰子点数 为 2”为事件C，则 1 36 P CP ABP AP B。 （4）独立重复试验：一项试验，只有两个结果。设其中一个结果为事件A（则另一个结果为 A） ， 已知事件A发生的概率为p， 将该试验重复进行n次 （每次试验结果互不影响） ， 则在n 次中事件A恰好发生k
6、次的概率为1 n k kk n PC pp 公式的说明：以“连续投掷3次硬币，每次正面向上的概率为 1 3 ”为例，设 i A为“第i次正面 向上”，由均匀的硬币可知 1 2 i P A，设B为“恰好 2 次正面向上”，则有： 123123123 P BP A A AP A A AP A A A 而 2 123123123 11 22 P A A AP A A AP A A A 223 2 2 3 1111 3 2222 P BC k n C的意义：是指在n次试验中事件A在哪k次发生的情况总数，例如在上面的例子中“3 次投掷硬币，两次正面向上”，其中 2 3 C代表了符合条件的不同情况总数共
7、3 种 5、条件概率及其乘法公式： （1）条件概率： （2）乘法公式：设事件,A B，则,A B同时发生的概率 |P ABP AP B A （3）计算条件概率的两种方法： （以计算|P B A为例） 计算出事件A发生的概率 P A和,A B同时发生的概率P AB，再利用 | P AB P B A P A 即可计算 按照条件概率的意义：即B在A条件下的概率为事件A发生后，事件B发生的概率。所 以以事件A发生后的事实为基础，直接计算事件B发生的概率 例：已知 6 张彩票中只有一张有奖，甲，乙先后抽取彩票且不放回，求在已知甲未中奖的情 况下，乙中奖的概率。 解： 方法一： 按照公式计算。 设事件A为
8、“甲未中奖”， 事件B为“乙中奖”， 所以可得： 5 6 P A ， 事件AB为“甲未中奖且乙中奖”，则 11 51 2 6 1 6 CC P AB A 。所以 1 | 5 P AB P B A P A 方法二：按照条件概率实际意义：考虑甲在抽取彩票后没有中奖，则留给乙的情况是剩下的 五张彩票中有一张是有奖的，所以乙中奖的概率为 1 5 P 6、两种乘法公式的联系： 独立事件的交事件概率： P ABP AP B 含条件概率的交事件概率： |P ABP AP B A 通过公式不难看出，交事件的概率计算与乘法相关，且事件,A B通常存在顺承的关系， 即一个事件发生在另一事件之后。所以通过公式可得出
9、这样的结论：交事件概率可通过乘法 进行计算，如果两个事件相互独立，则直接作概率的乘法，如果两个事件相互影响，则根据 题意分出事件发生的先后，用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率（即条件 概率） 二、典型例题： 例 1：从1,2,3,4,5这 5 个数中任取两数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至 少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇 数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是（ ） A. B. C. D. 思路： 任取两数的所有可能为两个奇数； 一个奇数一个偶数； 两个偶数 ， 若是对立事件， 则首先应该是互斥事件， 分别判断每种
10、情况： 两个事件不是互斥事件， “至少有一个奇数” 包含“两个都是奇数”的情况，所以不互斥， “至少一个奇数”包含“两个奇数”和“一奇一偶” 所以与“两个偶数”恰好对立， “至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”均包含“一奇一偶”的 情况，所以不互斥。综上所述，只有正确 答案：C 例 2：5 个射击选手击中目标的概率都是 2 3 ，若这 5 个选手同时射同一个目标，射击三次则至 少有一次五人全部集中目标的概率是（ ） A. 3 5 1 1 3 B. 5 3 1 1 3 C. 3 5 2 11 3 D. 5 3 2 11 3 思路：所求中有“至少一次”，且若正面考虑问题所涉及的情况较多。所以考虑从
11、问题的对立面 入手，设所求事件为事件A，则A为“射击三次没有一次五人均命中目标”，考虑射击一次五 人没有全命中目标的概率为 5 2 1 3 ，所以 3 5 2 1 3 P A ，从而可得 3 5 2 111 3 P AP A 答案：C 例 3：甲，乙，丙三人独立的去译一个密码，分别译出的概率为 1 1 1 , , 5 3 4 ，则此密码能译出概 率是（ ） A. 1 60 B. 1 5 C. 3 5 D. 59 60 思路：若要译出密码，则至少一个人译出即可。设事件A为“密码译出”，正面分析问题情况 较多，所以考虑利用对立面，A为“没有人译出密码”，则 1112 111 5435 P A ，从
12、而 3 1 5 P AP A 答案：C 例 4：某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问 题，即停止答题，晋级下一轮，假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的 回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率是_ 思路：因为选手回答 4 个问题就晋级下一轮，所以说明后两个回答结果正确，且第二次回答 错误（否则第二次与第三次连续正确，就直接晋级了） ，第一次回答正确错误均可。所以 2 1416 55125 P 答案： 16 125 例 5：掷 3 颗骰子，已知所得三个数都不一样，求含有 1 点的概率 思路：首先判断出所求
13、的为条件概率，即在 3 个数都不一样的前提下，含有 1 点的概率，设 事件A表示“含有 1 点的概率”，事件B为“掷出三个点数都不一样”，事件AB为“三个点数都 不一样且有一个点数为 1”，则有 12 35 3 5 618 C A P AB ， 3 6 3 5 69 A P B ，所以由条件概率 公式可得： 1 | 2 P AB P A B P B 答案： 1 2 例 6：甲乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结 束，乙胜出。已知每一局甲，乙两人获胜的概率分别为 2 3 , 5 5 ，则甲胜出的概率为（ ） A. 16 25 B. 18 25 C. 19 2
14、5 D. 21 25 思路：考虑甲胜出的情况包含两种情况，一种是甲第一局获胜，一种是甲第一局输了，第二 局获胜，设事件 i A为“甲在第i局获胜”，事件B为“甲胜出”，则 112 P BP AP A A， 依题意可得： 1 2 5 P A，两场比赛相互独立，所以 1212 3 26 5 525 P A AP AP A 从而 16 25 P B 答案：A 例 7： 如图， 元件1,2,3,4 i A i 通过电流的概率均为0.9， 且各元件是否通过电流相互独立， 则电流能在,M N之间通过的概率是（ ） A. 0.729 B. 0.8829 C. 0.864 D. 0.9891 思路：先分析各元
15、件的作用，若要在,M N之间通过电流，则 4 A必须通过，且 12 ,A A这一组 与 3 A两条路至少通过一条。设A为“ 12 ,A A通过”，则 2 0.90.81P A ，设B为“ 3 A通过”， 0.9P B ，那么“至少通过一条”的概率 110.019PP ABP A P B ，从而 ,M N之间通过电流的概率为0.019 0.90.8829 答案：B 例 8：假设每一架飞机的引擎在飞行中出现的故障率为1p，且各引擎是否有故障是独立的， 已知 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2 引擎飞机要 2 个引擎全部 正常运行，飞机也可成功飞行；要使得 4 引擎飞机比
16、 2 引擎飞机更安全，则p的取值范围是 （ ） A. 2 ,1 3 B. 1 ,1 3 C. 2 0, 3 D. 1 0, 3 思路：所谓“更安全”是指成功飞行的概率更高，所以只需计算两种引擎成功的概率即可，引擎 正常运行的概率为p，设事件A为“4 引擎飞机成功飞行”，事件 i A为“i个引擎正常运行”，可 知引擎运行符合独立重复试验模型，所以 4 4 1 i ii i P AC pp ，所以 3344 343444 1P AP AAP AP AC ppC p。 设事件B为“2 引擎飞机成功 飞行”，则 2 P Bp，依题意： P AP B，即 33442 44 1C ppC pp，进而解出
17、1 1 3 p 答案：B 例 9：从1,2,3,15中，甲，乙两人各任取一数（不重复） ，已知甲取到的是 5 的倍数，则甲 数大于乙数的概率是_ 思路一:本题涉及条件概率的问题， 设事件A为“甲取到的数比乙大”，事件B为“甲取到的数是 5 的倍数”，则所求概率为|P A B。若用公式求解，则需求出 ,P AB P B，事件AB即 为“甲取到了 5 的倍数且甲数大于乙数”， 由古典概型可计算出概率。 甲能够取得数为5,10,15， 当甲取 5 时，乙有 1 4 C种取法，当甲取 10 时，乙有 1 9 C种取法，当甲取 15 时，乙有 1 14 C种取法， 所以 111 4914 2 15 9
18、70 CCC P AB A ，因为 1 3 1 15 1 5 C P B C ，所以 9 | 14 P AB P A B P B 思路二：本题处理条件概率时也可从实际意义出发，甲取 5,10,15 对乙的影响不同，所以分情 况讨论。当甲取的是 5 时，甲能从 5 的倍数中取出 5 的概率是 1 3 ，此时乙从剩下 14 个数中可 取的只有 1,2,3,4，所以甲取出 5 且大于乙数的概率 1 14 3 14 P ，同理，甲取的是 10 时，乙可 取的由 9 个数，所以甲取出 10 且大于乙数概率为 2 19 3 14 P ，甲取的是 15 时，乙可取 14 个 数，所以甲取出 15 且大于乙数
19、的概率为 3 1 3 P ，所以甲取到的数是 5 的倍数后，甲数大于乙 数的概率为 123 9 14 PPPP 答案： 9 14 小炼有话说：本题两种处理条件概率的思路均可解决问题，但第二种方法要注意，所发生过 的只是甲取到 5 的倍数，但不知是哪个数，所以在分类讨论时还要乘上某个 5 的倍数能抽中 的概率。即所求问题转变为“已知抽到 5 的倍数后，抽到哪个 5 的倍数（具体分类讨论）且甲 数大于乙数的概率”。 例 10：甲袋中有 5 只白球，7 只红球；乙袋中由 4 只白球，2 只红球，从两个袋子中任取一袋， 然后从所取到的袋子中任取一球，则取到白球的概率是_ 思路：本题取到白球需要两步：第一步先确定是甲袋还是乙袋，第二步再取球。所以本问题 实质上为“取到某袋且取出白球的概率”，因为取袋在前，取球在后，所以取球阶段白球的概率 受取袋的影响，为条件概率。设事件A为“取出甲袋”，事件B为“取出白球”，分两种情况进 行讨论。 若取出的是甲袋， 则 1 |PP AP B A， 依题意可得： 15 ,| 212 P AP B A， 所以 1 155 = 2 1224 P ；若取出的是乙袋，则 2 |PP AP B A，依题意可得： 142 ,| 263 P AP B A，所以 2 1 21 2 33 P ，综上所述，取到白球的概率 12 13 24 PPP 答案： 13 24
