1、 微专题 91 复数 一、基础知识： 复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算 1、复数z的代数形 式为,zabi a bR，其中a称为z的实部，b称为z的虚部（而不是（而不是bi)， 2、几类特殊的复数： （1）纯虚数：0,0ab 例如：5i，i等 （2）实数： 0b 3、复数的运算：设 12 , , ,zabi zcdi a b c dR （1） 2 1i （2） 12 zzacbd i （3） 2 12 zzabicdiacadibcibdiacbdadbc i 注：乘法运算可以把i理解为字母，进行分配率的运算。只是结果一方面要化成标准形式， 另一方面要计算 2 1i
2、 （4） 1 22 2 abicdiacbdbcad izabi zcdicdicdicd 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是,zabi a bR，所以不 允许分母带有i，那么利用平方差公式及 2 1i 的特点分子分母同时乘以 2 z的共轭复数即可。 4、共轭复数：zabi， 对于z而言，实部相同，虚部相反 5、复数的模： 22 zab 2 zzz ( 2 2 zz) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等 7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数,abi a bR 都与平面直角坐标系上的点, a b一一对应， 将这个平面称为复平面。 横坐标代表复数
3、的实部， 横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。 8、处理复数要注意的几点： （1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即,zabi a bR （2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。例如：平方差公式，立方和差 公式，二项式定理等 二、典型例题 例 1：若复数 2 2 1 zi i ，其中i是虚数单位，则复数z的模为（ ） A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 2 思路：需要求复数的模，那首先要化成标准形式zabi，进行化简，目前需要处理的就是 分式，化简再求模即可 解： 2 12 22211 111 i ziiiii iii 2z 答案：A 例 2： 已知复数1zi ，则
4、 2 2 1 zz z （ ） A. 2i B. 2i C. 2 D. 2 思路：本题可直接带入计算，也可考虑先化简再求值 解： 22 221 111 12 111 zzzz zii zzzi 答案：B 例 3： 设i是虚数单位，且 2014 1 ik i ki ，则实数k等于（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 1 思路：等号左边 20142 1ii ，若化简等号右边则比较麻烦。所以考虑利用等式性质两边同 乘1ki,然后利用复数相等的性质求出k值 解： 2014 11 11 ikik ikiki kiki 1k 答案：D 小炼有话说： （1）i的指数幂呈周期性变化（周期为 4)即 41
5、42434 ,1,1 nnnn ii iii i .故可依照周 期性的想法，将i的较高指数幂进行降次。 （2）对于呈分式形式的复数等式，一般两种处理方法：一是对分式本身进行化简，二是利用 等式性质进行“去分母”（尤其是分母形式较复杂时） 例 4：复数 3 2 1 i zi i ，在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 思路：将复数化为标准形式后再进行判断。 解： 2 (1)12 1 i ziiii i 在复平面上对应的点为1, 2 ，所以在第三象限 答案：C 例 5： （2013 天津河东一模，1）若 1 ai z i 是纯虚数，则实数a的值是（ ） A.
6、 1 B. 0 C. 1 D. 2 思路：涉及到纯虚数的概念，所以首先把z化成标准形式，再根据纯虚数的定义即可求出a 解： 11111 111222 aiiaaiaiaa zi iii 由纯虚数可得 1 01 2 a a 答案：C 例 6： 若复数 2 321aaai是纯虚数，则实数a的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1 思路：纯虚数：实部为零且虚部不为零，虚部不为零，所以要将a满足的条件写全 解：复数 2 321aaai是纯虚数 2 320 2 10 aa a a 答案：B 例 7： 已知复数 2 3 13 i z i ，z是z的共轭复数，则z z（ ） A. 1 4 B
7、. 1 2 C. 1 D. 2 思路：想到 2 zz z，进而只需将z化为标准形式后求模即可 解： 2 3 2 13 ii z i ， 21 4 z 答案：A 例 8：设 117 , 12 i a bR abi i （i是虚数单位） ，则ab的值是_ 思路：利用等式性质两边同时乘以12i，进而可对照实部虚部求出, a b 解： 117 12117 12 i abiabiii i 21 15 221 17 273 aba abba ii bab 8ab 答案：8ab 例 9：设 1 z是复数， 211 zziz（其中 1 z表示 1 z的共轭复数） ，已知 2 z的实部是1，则 2 z的 虚部是_ 思路： 2 z要通过 1 z来确定，所以考虑用待定系数法设 1 zabi，再参与运算 解： 设 1 zabi 211 zzizabii abiabba i 1ab 2 z的虚部是 1 答案：1 例 10：已知复数 1 z满足 1 2 11zii （i是虚数单位） ，复数 2 z的虚部为2，且 12 zz 是实数，则 2 z _ 解：设 2 2zai， 1 2zxyi（目的：为了更加便于计算） 1 2 11zii 111xyiiixyxy ii 0,1xy 1 2zi 12 22224zziaiaa i 由于 12 zz是实数，所以4a 2 42zi 答案： 2 42zi
