1、 江苏省南通市 2021 届高三上学期开学考试 数学试题 20209 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1记全集 UR，集合 A 2 16x x ，集合 B 22 x x，则 U (A)B A4，) B(1，4 C1，4) D(1，4) 2已知 5 log 2a ， 7 log 2b ， 2 0.5ac ，则 a，b，c 的大小关系为 Abac Babc Ccba Dcab 3若 3 cos() 5 ， 5 sin() 413 ，(0， 2 )，则cos() 4 A 33
2、65 B 33 65 C 56 65 D 16 65 4我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配 23 艘驱逐舰，12 艘核潜艇. 船厂现有 5 艘驱逐舰和 3 艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A30 B60 C90 D120 5 函数( )2sin()f xx(0，)的部分图像如图所示， 且( )f x的图像过 A( 2 ， 1)，B( 2 ，1)两点，为了得到( )2sing xx的图像，只需将( )f x的图像 A向右平移 5 6 B向左平移 5 6 C向左平移 5 12 D向右平移 5 12 第 5 题 第 6 题 6 易经是中国传统文化中的精髓，上图是
3、易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、 兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，-表示一根阴线)，从八卦中任取一卦， 这一卦的三根线中恰有 2 根阳线和 1 根阴线的概率为 A 1 8 B 1 4 C 3 8 D 1 2 7设 F1，F2分别为双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的左、右焦点，过 F1的直线 l 与圆 O： 222 xya相切，l 与 C 的渐近线在第一象限内的交点是 P，若 PF2x 轴，则双曲 线的离心率等于 A3 B2 C2 2 D4 8对于函数( )yf x，若存在区间a，b，当 xa，b时的值域为ka，kb(k0)，则称 ( )yf x
4、为 k 倍值函数若( )e2 x f xx是 k 倍值函数，则实数 k 的取值范围是 A(e1，) B(e2，) C( 1 e e ，) D( 2 e e ，) 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9下列说法正确的是 A将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a 倍 B设有一个回归方程 y35x，变量 x 增加 1 个单位时，y 平均减少 5 个单位 C线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D在某项测量
5、中，测量结果服从正态分布 N(1， 2 )(0)，则 P(1)0.5 10已知抛物线 C： 2 2ypx过点 P(1，1)，则下列结论正确的是 A点 P 到抛物线焦点的距离为 3 2 B过点 P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点 Q，则OPQ 的面积为 5 32 C过点 P 与抛物线相切的直线方程为 x2y10 D过 P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点 M，N，则直线 MN 的斜率为定值 11在ABC 中，已知 bcosCccosB2b，且 111 tanAtanBsinC ，则 Aa，b，c 成等比数列 BsinA：sinB：sinC2：1： 2 C若 a4，则 SABC 7 DA，
6、B，C 成等差数列 12已知函数( )lnf xx x，若 12 0 xx，则下列选项正确的是 A 12 12 ( )() 0 f xf x xx B 1122 ( )()xf xxf x C 2112 ( )()x f xx f x D当 21 1 e xx时， 11222112 ( )()( )()x f xx f xx f xx f x 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13高二某班共有 60 名学生，其中女生有 20 名，三好学生占全班人数的 1 6 ，而且三好学生 中女生占一半 现在从该班任选一名同学参加某一座谈会 则
7、在已知没有选上女生的条 件下，选上的是三好学生的概率为 14曲线ln 1yxx的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为 15已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则AP AB的取值范围是 16椭圆与双曲线有相同的焦点 F1(c，0)，F2(c，0)，椭圆的一个短轴端点为 B，直线 F1B 与双曲线的一条渐近线平行 若椭圆与双曲线的离心率分别为 1 e，2e， 则 1 2 ee ； 且 22 12 3ee的最小值为 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知函数 2
8、 ( )2 3sin cos2sin1f xxxx （1）求函数( )f x的单调递增区间； （2）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若(A)2f，C 4 ， c2，求ABC 的面积 18 （本小题满分 12 分） 2020 年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究 学生在网上学习的情况， 某学校在网上随机抽取 120 名学生对线上教育进行调查， 其中男生 与女生的人数之比为 11：13，其中男生 30 人对于线上教育满意，女生中有 15 名表示对线 上教育不满意 满意 不满意 总计 男生 女生 合计 120 （1）完成 22 列联表，并
9、回答能否有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别 有关” ； （2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取 8 名学生，再在 8 名学 生中抽取 3 名学生， 作学习经验介绍， 其中抽取男生的个数为 求出的分布列及期望值 附公式及表： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd )( 0 2 kKP 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的中心在原点，
10、其焦点与双曲线 22 221xy的焦点重合，点 P(0，3) 在椭圆 C 上， 动直线 l： ykxm 交椭圆于不同两点 A， B， 且O AO B 0(O 为坐标原点) （1）求椭圆的方程； （2）讨论 7m212k2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由 20 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )f xxbxc，且( )0f x 的解集为1，2 （1）求函数( )f x的解析式； （2）解关于 x 的不等式( )2(1)mf xxm(m0)； （3）设 ( ) 31 ( )2 f xx g x ，若对于任意的 1 x， 2 x 2，1都有 12 ( )()g xg xM
11、， 求 M 的最小值 21 （本小题满分 12 分） 已知 2 21 ( )(ln ) x f xa xx x （1）讨论( )f x的单调性； （2）当 a1 时，证明 3 ( )( ) 2 f xfx对于任意的x1，2成立 22 （本小题满分 12 分） 已知点 P 是抛物线 C1： 2 4yx的准线上任意一点，过点 P 作抛物线的两条切线 PA、 PB，其中 A、B 为切点 （1）证明：直线 AB 过定点，并求出定点的坐标； （2）若直线 AB 交椭圆 C2： 22 1 43 xy 于 C、D 两点，S1，S2分别是PAB，PCD 的面积，求 1 2 S S 的最小值 江苏省南通市 20
12、21 届高三上学期开学考试 数学试题 20209 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1记全集 UR，集合 A 2 16x x ，集合 B 22 x x，则 U (A)B A4，) B(1，4 C1，4) D(1，4) 答案：C 解析：集合 A 2 1644x xx xx 或， UA 44xx ，又B 221 x xx x， U (A)B1，4)，故选 C 2已知 5 log 2a ， 7 log 2b ， 2 0.5ac ，则 a，b，c 的大小关系为 Abac Babc
13、Ccba Dcab 答案：A 解析： 5 55 log 2log1，1a ， 21 0.50.52 a ，2c ， 又 57 log 2log 2，ab，bac，故选 A 3若 3 cos() 5 ， 5 sin() 413 ，(0， 2 )，则cos() 4 A 33 65 B 33 65 C 56 65 D 16 65 答案：C 解析：，(0， 2 )，(0，)， 4 ( 4 ， 4 )， 4 sin() 5 ， 12 cos() 413 ， cos()cos()()cos()cos()sin() 444 3 124556 sin() 451351365 ，故选 C 4我国即将进入双航母时
14、代，航母编队的要求是每艘航母配 23 艘驱逐舰，12 艘核潜艇. 船厂现有 5 艘驱逐舰和 3 艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A30 B60 C90 D120 答案：B 解析：有两种情况，一艘航母配 2 搜驱逐舰和 1 搜核潜艇，另一艘航母配 3 搜驱逐舰和 2 搜核潜艇，一艘航母配 2 搜驱逐舰和 2 搜核潜艇，另一艘航母配 3 搜驱逐舰和 1 搜核潜艇， 2122 5353 60C CC C，故选 B 5 函数( )2sin()f xx(0，)的部分图像如图所示， 且( )f x的图像过 A( 2 ， 1)，B(，1)两点，为了得到( )2sing xx的图像，只需
15、将( )f x的图像 A向右平移 5 6 B向左平移 5 6 C向左平移 5 12 D向右平移 5 12 答案：C 解析：由题意知 22 T ，T，2，22 26 k ， 5 2 6 k ， ， 5 6 ， 55 ( )2sin(2)2sin2() 612 f xxx，故选 C 6 易经是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、 兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，-表示一根阴线)，从八卦中任取一卦， 这一卦的三根线中恰有 2 根阳线和 1 根阴线的概率为 A 1 8 B 1 4 C 3 8 D 1 2 答案：C 解析：P 3 8 ，故选 C 7设 F
16、1，F2分别为双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的左、右焦点，过 F1的直线 l 与圆 O： 222 xya相切，l 与 C 的渐近线在第一象限内的交点是 P，若 PF2x 轴，则双曲 线的离心率等于 A3 B2 C2 2 D4 答案：A 解析： 12 tanPF F 2 bc a a bc ， 22 2ba， 22 3ca，3e ，故选 A 8对于函数( )yf x，若存在区间a，b，当 xa，b时的值域为ka，kb(k0)，则称 ( )yf x为 k 倍值函数若( )e2 x f xx是 k 倍值函数，则实数 k 的取值范围是 A(e1，) B(e2，) C( 1 e
17、 e ，) D( 2 e e ，) 答案：B 解析：( )e2 x f xx是单调增函数，故 e2 e2 a b aka bkb ，故 a，b 是方程e2 x xkx的两 个根， 令( )e(2) x g xk x，( )e(2) x g xk， 当 k2， xln(2)k 时，( )g x 有最小值为(ln(2)2(2)ln(2)0gkkkk，解得 ke2，故选 B 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9下列说法正确的是 A将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常
18、数 a 后，方差也变为原来的 a 倍 B设有一个回归方程 y35x，变量 x 增加 1 个单位时，y 平均减少 5 个单位 C线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D在某项测量中，测量结果服从正态分布 N(1， 2 )(0)，则 P(1)0.5 答案：BD 解析：选项 A，方差变为原来的 a2倍，故 A 错误；线性相关系数 r 的绝对值越大，两个变 量的线性相关性越强；线性相关系数 r 的绝对值越接近 0，线性相关性越弱，由此可 见 C 错误，故选 BD 10已知抛物线 C： 2 2ypx过点 P(1，1)，则下列结论正确的是 A点 P 到抛物线焦点的距离为
19、3 2 B过点 P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点 Q，则OPQ 的面积为 5 32 C过点 P 与抛物线相切的直线方程为 x2y10 D过 P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点 M，N，则直线 MN 的斜率为定值 答案：BCD 解析：抛物线 C： 2 2ypx过点 P(1，1)， 1 2 p ， 2 yx，故该抛物线焦点坐标为 ( 1 4 ，0)，准线方程为 x 1 4 ，故点 P 到抛物线焦点的距离为 5 4 ，故 A 错误；OPQ 的面积 2 1 5 4 4 2sin32 2 5 p S ， 故 B 正确； 设过点 P 的直线方程为1ykxk ， 与抛物线联立并化简得 2 10k
20、yyk ，1 4 (1)0kk，解得 k 1 2 ，故过点 P 与抛物线相切的直线方程为 x2y10，C 正确；设 PM 的斜率为 k，则 PN 的斜率 为k，求得 M( 2 2 (1)k k ， 1k k )，N( 2 2 (1)k k ， 1k k )，求得 MN 的斜率为 1 2 ， D 正确，故选 BCD 11在ABC 中，已知 bcosCccosB2b，且 111 tanAtanBsinC ，则 Aa，b，c 成等比数列 BsinA：sinB：sinC2：1： 2 C若 a4，则 SABC 7 DA，B，C 成等差数列 答案：BC 解析：由 111 tanAtanBsinC 得， c
21、oscos1 sinsinsin AB ABC ， 2 sinsinsinABC，故 ab c2，故 a，c，b 成等比数列，故 A 错误；bcosCccosB2b，a2b，又 ab c2，c2b，a：b：c2：1：2，sinA：sinB：sinC2：1：2，故 B 正 确 ； cosC 222 4 1 23 22 2 14 abc ab ， sinC 7 4 ， S 11 sin4 22 a bC 7 27 4 ，故C正确；cosB 222 42 15 2 282 22 acb ac ，故 B60，故 D 错误，故选 BC 12已知函数( ) lnf xxx，若 12 0 xx，则下列选项正
22、确的是 A 12 12 ( )() 0 f xf x xx B 1122 ( )()xf xxf x C 2112 ( )()x f xx f x D当 21 1 e xx时， 11222112 ( )()( )()x f xx f xx f xx f x 答案：CD 解析：首先注意到函数( )lnf xxx，在(0， 1 e )单调递减，在( 1 e ，)单调递增，故 A 错误， 112221121112 ( )()( )()() ( )()0 x f xx f xx f xx f xxxf xf x， 故 D 正 确 ； 令( )( )lng xf xxxxx， 不 是 单 调 函 数 ，
23、 故 B 错 误 ； 令 ( ) ( )ln f x h xx x ，是单调增函数，故 C 正确，故选 CD 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13高二某班共有 60 名学生，其中女生有 20 名，三好学生占全班人数的 1 6 ，而且三好学生 中女生占一半 现在从该班任选一名同学参加某一座谈会 则在已知没有选上女生的条 件下，选上的是三好学生的概率为 答案： 1 8 解析：P 51 408 14曲线ln 1yxx的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为 答案：2yx 解析：ln1yxx， 1 1y x ，设切点横坐标为 0 x，
24、 0 0 1 121x x ，所以切点 (1，2)，故切线方程为22(1)yx，即2yx 15已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则AP AB的取值范围是 答案：(2，6) 解析：点 P 与点 F 重合时，AP AB有最小值为2，当点 P 与点 C 重合时，AP AB有最 大值为 6，故AP AB的取值范围是(2，6) 16椭圆与双曲线有相同的焦点 F1(c，0)，F2(c，0)，椭圆的一个短轴端点为 B，直线 F1B 与双曲线的一条渐近线平行 若椭圆与双曲线的离心率分别为 1 e，2e， 则 1 2 ee ； 且 22 12 3ee的最小值为 答案：1；2 3 解析：
25、设椭圆方程为 22 22 11 1 xy ab ，双曲线方程为 22 22 22 1 xy ab ，则由直线 F1B 与双曲线的一 条渐近线平行， 得 222222 2 121212 2 22222 2221 1bbbbacca e cacacae ， 1 2 ee1； 所以 22 121 2 32 32 3eeee，当且仅当 2 1 2 2 3 3 3 e e 取等号 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知函数 2 ( )2 3sin cos2sin1f xxxx （1）求函数(
26、 )f x的单调递增区间； （2）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若(A)2f，C 4 ， c2，求ABC 的面积 解： （1） 2 2 3213f xsinxcosxsin x sin2xcos2x 2sin（2x 6 ） ， 令 2k 2 2x 6 2k 2 ，kZ，解得 k 6 xk 3 ，kZ， 函数 f（x）的单调递增区间为：k 6 ，k 3 ，kZ （2）f（A）2sin（2A 6 ）2， sin（2A 6 ）1， A（0，） ，2A 6 （ 6 ，11 6 ） ， 2A 62 ，解得 A 3 ， C 4 ，c2， 由正弦定理 sin ab sinAB
27、，可得 2 sin sin34 13 2 2 cB b sinC ， SABC 1 2 absinC 1 6 2 （1 3 ） 233 22 18 （本小题满分 12 分） 2020 年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究 学生在网上学习的情况， 某学校在网上随机抽取 120 名学生对线上教育进行调查， 其中男生 与女生的人数之比为 11：13，其中男生 30 人对于线上教育满意，女生中有 15 名表示对线 上教育不满意 满意 不满意 总计 男生 女生 合计 120 （1）完成 22 列联表，并回答能否有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别 有关” ；
28、（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取 8 名学生，再在 8 名学 生中抽取 3 名学生， 作学习经验介绍， 其中抽取男生的个数为 求出的分布列及期望值 附公式及表： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd )( 0 2 kKP 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解： （1）因为男生人数为： 11 12055 11 13 ，所以女生人数为120 5565， 于是可完成22列联表，如下： 满
29、意 不满意 总计 男生 30 25 55 女生 50 15 65 合计 80 40 120 根据列联表中的数据，得到 2 K 的观测值 2 120 (30 1525 50)960 6.7136.635 55 65 80 40143 k ， 所以有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关” （2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人，依题可知的可能取值为0,1,2,3，并且服 从超几何分布， 3 35 3 8 0,1,2,3 kk C C Pkk C ，即 321 553 33 88 515 (0), (1) 2828 CC C PP CC , 123 533 33 88 151
30、(2), (3) 5656 C CC PP CC . 可得分布列为 0 1 2 3 P 5 28 15 28 15 56 1 56 可得 5151519 ( )0123 282856568 E . 19 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的中心在原点，其焦点与双曲线 22 221xy的焦点重合，点 P(0，3) 在椭圆 C 上， 动直线 l： ykxm 交椭圆于不同两点 A， B， 且O AO B 0(O 为坐标原点) （1）求椭圆的方程； （2）讨论 7m212k2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由 解： （1）因为双曲线 22 221xy的焦点为1,0，所以在椭圆 C
31、中1c， 设椭圆 C 的方程为 2 2 22 1 10 y x aa a ， 由点0, 3P在椭圆 C 上得 2 3 1 1a ，解得 2 42aa ，则4 13b ， 所以椭圆 C 的方程为 22 1 43 xy （2） 22 712mk 为定值，理由如下： 设 1122 ,A x yB x y，由 0OA OB 可知 1212 0 x xy y， 联立方程组 222 22 3484120 1 43 ykxm kxmkxm xy ， 由 2222 644 344120m kkm 得 22 34mk， 2 1212 22 8412 , 3434 kmm xxx x kk ， 由 1212 0
32、x xy y及ykxm得 1 212 0 x xkxmkxm， 整理得 22 1212 10kx xkm xxm， 将式代入上式可得 2 22 22 4128 10 3434 mkm kkmm kk ， 同时乘以 2 34k可化简得 2222222 14128340kmk mmm k， 所以 22 712=12mk ，即 22 712mk 为定值. 20 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )f xxbxc，且( )0f x 的解集为1，2 （1）求函数( )f x的解析式； （2）解关于 x 的不等式( )2(1)mf xxm(m0)； （3）设 ( ) 31 ( )2 f xx g
33、 x ，若对于任意的 1 x， 2 x 2，1都有 12 ( )()g xg xM， 求 M 的最小值 解： （1）因为( )0f x 的解集为 1,2，所以 2 0 xbxc 的根为1，2， 所以1b ，2c ，即1b ，2c ；所以 2 ( )2f xxx； （2）( )2(1)mf xxm， 化简有 2 (2)2(1)m xxxm， 整理(2)(1)0mxx ， 所以当0m时，不等式的解集为(,1)， 当02m时，不等式的解集为 2 (,1), m ， 当2m 时，不等式的解集为(,1)(1,)， 当2m 时，不等式的解集为 2 (,)1, m ， （3）因为 2,1x 时 2 ( )3
34、123f xxxx ，根据二次函数的图像性质，有 2 ( )3123 4,0f xxxx ， 则有 2 ( ) 3123 ( )22 f xxxx g x ，所以， 1 ( ),1 16 g x ， 因为对于任意的 12 , 2,1x x 都有 12 | ()()|g xg xM， 即求 12 | ( )()|Maxg xg xM，转化为( )( ) MaxMin g xg xM， 而( )(1)1 Max g xg， 1 ( )( 1) 16 Min g xg，所以， 此时可得 15 16 M ， 所以 M 的最小值为 15 16. 21 （本小题满分 12 分） 已知 2 21 ( )(l
35、n ) x f xa xx x （1）讨论( )f x的单调性； （2）当 a1 时，证明 3 ( )( ) 2 f xfx对于任意的x1，2成立 解： （1）的定义域为； 2 233 22(2)(1) ( ) aaxx fxa xxxx . 当，时，( )0fx ，单调递增； (1,),( )0 xfx时，单调递减. 当时， 3 (1)22 ( )()() a x fxxx xaa . ， ， 当或x时，( )0fx ，单调递增； 当x时，( )0fx ，单调递减； 时，在x 内，( )0fx ，单调递增； 时， ， 当或x时，( )0fx ，单调递增； 当x时，( )0fx ，单调递减.
36、综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递 增； 当时，在内单调递增； 当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增. （2）由（）知，时， 223 21122 ( )( )ln(1) x f xfxxx xxxx 23 312 ln1xx xxx ， ， 令，. 则( )( )( )( )f xfxg xh x， 由 1 ( )0 x g x x 可得，当且仅当时取得等号. 又 2 4 326 ( ) xx h x x ， 设，则在x单调递减， 因为， 所以在上存在使得时，时， 所以函数( )h x在上单调递增；在上单调递减， 由于，因此
37、，当且仅当取得等号， 所以 3 ( )( )(1)(2) 2 f xfxgh， 即 3 ( )( ) 2 f xfx对于任意的恒成立 22 （本小题满分 12 分） 已知点 P 是抛物线 C1： 2 4yx的准线上任意一点，过点 P 作抛物线的两条切线 PA、 PB，其中 A、B 为切点 （1）证明：直线 AB 过定点，并求出定点的坐标； （2）若直线 AB 交椭圆 C2： 22 1 43 xy 于 C、D 两点，S1，S2分别是PAB，PCD 的面积，求 1 2 S S 的最小值 解： （1）证明：设点 11 ,A x y、 22 ,B x y， 则以A为切点的切线方程为 11 1 2 yy
38、xx y ，即 11 2y yxx， 同理以B为切点的切线方程为 22 2y yxx， 两条切线均过点1,Pt， 11 22 21 21 tyx tyx ，即 11 22 220 220 xty xty ， 所以，点A、B的坐标满足直线220 xty的方程， 所以，直线AB的方程为220 xty， 在直线AB的方程中，令0y ，可得1x ，所以，直线AB过定点1,0； （2）设点P到直线AB的距离为d，则 1 2 1 2 PAB PCD dAB ABS SCD d CD . 由题意可知，直线AB不与x轴重合，可设直线AB的方程为1xmy， 设 33 ,C x y、 44 ,D xy，由 2 4
39、 1 yx xmy ，得 2 440ymy， 2 1610m 恒 成立， 由韦达定理得 12 4yym， 12 4y y ， 由弦长公式可得 2 222 121212 11441ABmyymyyy ym 由 22 1 43 1 xy xmy ，得 22 34690mymy， 222 3636 3414410mmm 恒成立. 由韦达定理得 34 2 6 34 m yy m ， 34 2 9 34 y y m ， 由弦长公式得 2 2 22 343434 2 121 114 34 m CDmyymyyy y m . 2 2 2 2 2 41 3444 33312 1 34 PAB PCD m ABSm m SCDm m ， 当且仅当0m时，等号成立. 因此， 1 2 S S 的最小值为 4 3 .
