1、第9章 高阶谱估计第9章 高阶谱估计9.1 高阶矩和高阶累积量9.2 高阶谱9.3 双谱及其性质9.4 高阶谱估计方法9.5 高阶谱估计的应用第9章 高阶谱估计 9.1 高阶矩和高阶累积量高阶矩和高阶累积量9.1.1 高阶矩高阶矩1.随机变量的高阶矩随机变量的高阶矩随机变量x的k阶原点矩函数(简称矩)定义为()()()dkkkE xxp xx()dkkkmE xx p xx式中，p(x)为x的概率密度分布函数。显然m0=1，m1=Ex。当m10时，还可定义随机变量x的k阶中心矩函数(9.1.1)若随机变量x的矩mk(k=1，2，n)存在，则x的特征函数()为jj()ee()dxxEp xx第9
2、章 高阶谱估计可按泰勒级数展开，即(9.1.2)并且mk与()的k阶导数之间的关系为1()1(j)()!nknkkmOk0d()1(j)(0),dj kkkkkkmkn第9章 高阶谱估计2.多个随机变量的高阶矩多个随机变量的高阶矩给定n维随机变量(x1，x2，xn)，其联合特征函数为(1，2，n)=Eexpj(1x1+2x2+nxn)(9.1.3)可见，联合特征函数(1，2，n)就是随机变量(x1，x2，xn)的联合概率密度函数p(x1，x2，xn)的n维傅立叶变换。将式(9.1.3)按泰勒级数展开，则阶数r=k1+k2+kn的联合矩可用联合特征函数(1，2，n)定义为121 21212121
3、2120(,)1j nnnnrkkknk kknkkkrnmE x xx第9章 高阶谱估计9.1.2 高阶累积量高阶累积量特征函数的对数称为第二联合特征函数，即(1，2，n)=ln(1，2，n)(9.1.4)x的第二特征函数()按泰勒级数展开，有(9.1.5)1()ln()(j)()!nknkkcOk定义随机变量x的k阶累积量ck为001d1d()ln()(j)(0),jdjd kkkkkkkkkckn第9章 高阶谱估计同样地，对于n维随机向量x=x1，x2，xnT，阶数r=k1+k2+kn的联合累积量可用第二联合特征函数(1，2，n)定义为1 2121212121212012120(,)1j
4、ln(,)1j nnnnnrnk kkkkkrnrnkkkrnc第9章 高阶谱估计1.高阶累积量和高阶矩的关系高阶累积量和高阶矩的关系下面推导ck与mk之间的关系。在式(9.1.2)和式(9.1.5)中令n，并将()表示为11()1(j)exp(j)!kkkkkkmckk2111111(j)(j)(j)!2!nkkkkkkkkkccckknk比较上式中各(j)k(k=1，2，)的同幂项系数，可得k阶累积量与k阶矩的关系如下:11 cmE x22222212()()cmmE xE xE xE x33233331213323 ()2()()cmm mmE xE x E xE xE xE x2244
5、44213121434126()cmmm mm mmE xE x第9章 高阶谱估计若Ex=0，则c1=m1=0 c2=m2=Ex2 c3=m3=Ex3c4=m43m22=Ex43(Ex2)2联合累积量可用联合矩的多项式来表示，但其一般表达式相当复杂，这里不加详述，仅给出二阶、三阶和四阶联合累积量与其对应阶次的联合矩之间的关系。设x1，x2，xn和x4均为零均值随机变量，则1 2nk kkc1 2nk kkm111212cum(,)cx xE x x111123123cum(,)cx xxE x x x11111234cum(,)cx xx x1234123413241423 E x x x x
6、E x x E x xE x x E x xE x x E x x(9.1.6)第9章 高阶谱估计2.高阶累积量的性质高阶累积量的性质高阶累积量具有下列重要特性:(1)设i(i=1，2，k)为常数，xi(i=1，2，k)为随机变量，则1111cum(,)cum(,)kkkikixxxx(2)累积量关于变量对称，即121cum(,)cum(,)kkiiixxxxx(3)累积量关于变量具有可加性，即0010101cum(,)cum(,)cum(,)kkkxyzzx zzyzz(4)如果为常数，则1212cum(,)cum(,)kkz zzz zz第9章 高阶谱估计(5)如果随机变量xi(i=1，2
7、，k)与随机变量yi(i=1，2，k)相互独立，则1111cum(,)cum(,)cum(,)kkkkxyxyxxyy(6)如果随机变量xi(i=1，2，k)中某个子集与补集相互独立，则1cum(,)0kxx第9章 高阶谱估计9.1.3 高斯过程的高阶累积量高斯过程的高阶累积量1.平稳随机过程的高阶累积量平稳随机过程的高阶累积量设x(n)为零均值k阶平稳随机过程，则该过程的k阶累积量ck，x(m1,m2,mk1)定义为随机变量x(n)，x(n+m1)，x(n+mk1)的k阶联合累积量，即ck，x(m1，m2，mk1)=cum(x(n)，x(n+m1)，x(n+mk1)而该过程的k阶矩mk，x(
8、m1，m2，mk1)则定义为随机变量x(n)，x(n+m1)，x(n+mk1)的k阶联合矩，即 mk，x(m1,m2,mk1)=mom(x(n),x(n+m1),x(n+mk1)这里，mom()表示联合矩。第9章 高阶谱估计由于x(n)是k阶平稳的，故x(n)的k阶累积量和k阶矩仅仅是时延m1,m2,mk1的函数,而与时刻n无关，其二阶、三阶和四阶累积量分别为2,()()()xcmE x n x nm3,1212(,)()()()xcm mE x n x nm x nm4,1231232,12,232,22,312,32,12(,)()()()()()()()()()()xxxxxxxcm m
9、mE x n x nm x nm x nmcm cmmcm cmmcm cmm第9章 高阶谱估计2.高斯随机过程的高阶累积量高斯随机过程的高阶累积量先讨论n维高斯随机矢量x=x1，x2，xnT，设其均值矢量为a=a1，a2，anT，协方差矩阵为 111212122212nnnnnncccccccccc其中cik=E(xiai)(xkak)，i，k=1，2，nn维高斯随机变量x的联合概率密度函数为T11/2/211()exp()()2(2)np xxacxac第9章 高阶谱估计x的联合特征函数为TT1()expj2ac其中，=1，2，nT。x的第二联合特征函数为TT11111()ln()jj22
10、nnniiijijiijacac由于阶数r=k1+k2+kn的联合累积量可由第二特征函数定义为1 2nk kkc1 212121201()j nnnrk kkkkkrnc第9章 高阶谱估计于是，n维高斯随机变量(x1，x2，xn)的各阶累积量为:(1)r=1，即ki(i=1，2，n)中某个取值为1(设ki=1)，其余值为零，于是1201001()j niiicaE x(2)r=2，这有两种情况:ki(i=1，2，n)中某两个值取1(设ki=kj=1，ij)，其余值为零，这时12201 10201()()()j,nijiijjijccE xaxaij上式利用了关系式cij=cji。第9章 高阶谱
11、估计 ki(i=1，2，n)中某个值取2(设ki=2)，其余值为零，这时 12220202201()()j niiiiiccExa(3)r3，由于()是关于自变量i(i=1，2，n)的二次多项式，因而()关于自变量的三阶或三阶以上(偏)导数等于零,因而x的三阶或三阶以上联合累积量等于零,即1 2120,3nk kknckkk由前面关于随机过程的累积量的定义可知，对于高斯随机过程x(n)，其阶次大于2的k阶累积量ck，x(m1，m2，mk1)也为零，即,121(,)0,3k xkcm mmk第9章 高阶谱估计 9.2 高高 阶阶 谱谱9.2.1 高阶谱的定义高阶谱的定义设x(n)为零均值平稳随机
12、过程，则x(n)的k阶谱(kth-order spectrum)定义为其k阶累积量ck，x(m1，m2，mk1)的k1维傅立叶变换，即 111,121,1211(,)(,)expj kkk xkk xkiimmiScm mmm(9.2.1)通常，Sk,x(1，2，k1)为复数，其存在的充分必要条件是ck，x(m1，m2，mk1)绝对可和，即11,121(,)kk xkmmcm mm 第9章 高阶谱估计高阶谱又称做多谱(Polyspectrum)，通常k阶谱对应于k1谱。例如三阶谱对应双谱(Bispectrum)，四阶谱对应于三谱(Trispectrum)。今后我们大多采用多谱这一概念。当k=2
13、，3，4时，式(9.2.1)分别简化为功率谱、双谱和三谱公式，即N=2，为功率谱12,2,()()expjxxmScmm(9.2.2)123,123,121122(,)(,)expj()xxmmScm mmmN=3，为双谱N=4，为三谱1234,1234,123112233(,)(,)expj()xxmmmScm m mmmm第9章 高阶谱估计高阶谱的逆变换式可由多维傅立叶逆变换公式给出，即11,121,1211111(,)(,)exp jdd2 kkk xkk xkjjkjcm mmSm高阶互谱可类似地由互累积量定义，例如1112121122(,)(,)expj()kxyyxyymmScm
14、mmm第9章 高阶谱估计9.2.2 高阶谱的性质高阶谱的性质性质性质1 高阶谱是以2为周期的周期函数，即,121,112211(,)(2,2,2)k xkk xkkSSlll式中:l1，l2，lk1皆为整数。此性质可从高阶谱的定义直接得到。由于此周期性，作为包含全部信息的主值周期一般指满足j1,2,1jk的区域。性质性质2 高阶谱一般为复函数，即第9章 高阶谱估计Sk,x(1，2，k1)=|Sk，x(1，2，k1)|exp(jk，x(1，2，k1)称|Sk，x(1，2，k1)|为Sk，x(1，2，k1)的幅值函数，它是实数；而k，x(1，2，k1)为相位函数，也称相位谱。高阶谱中存在相位函数是
15、它与功率谱的重要区别，该相位函数反映了信号的相位信息。性质性质3 高阶谱具有对称性。由累积量的性质2可知，k阶累积量与j=1，2，k这k个整数的排列无关，而这种排列共有k!个，因此在x1，x2,，xk所构成的k维平面内共有k!个相等的累积量，或者说，在此k维平面内共有k!个对称区域。第9章 高阶谱估计高阶谱为k阶累积量的线性变换，因此高阶谱在(1，2，k1)平面内也将有k!个对称区域。以双谱为例，Bx(1，2)在(1，2)平面内有3!=6个对称区域，即1221122112121212(,)(,)(,)(,)(,)(,)xxxxxxBBBBBB 对于实信号x(n)，其高阶谱还应满足共轭对称性，即
16、Bx(1，2)=Bx*(1，2)因此，双谱Bx(1，2)在(1，2)平面的对称区域有12个。第9章 高阶谱估计9.2.3 确定性信号的高阶谱确定性信号的高阶谱对于离散时间的确定性信号x(n)(包括有限能量信号和周期信号)，我们可以将其高阶谱定义如下:定义定义9.1 令x(n)是一个具有有限能量的确定性序列，其傅立叶变换为i()()ekkXx k则其能量谱、双谱和三谱可定义如下:2*121212*123123123()|()|(,)()()()(,)()()()()xxxPXBXXXTXXXX 第9章 高阶谱估计定义定义9.2 令x(n)是一个确定性周期序列，周期为N，其主值序列所决定的离散傅立
17、叶变换为21i0()()e,01NnkNnX kx nkN则其能量谱、双谱和三谱可定义如下:2*121212*1231231231()|()|1(,)()()()1(,)()()()()xxxP kX kNB k kX k X kXkkNT k kkX k X kX kXkkkN第9章 高阶谱估计周期性序列与随机序列一样，同属于具有无限能量，但具有有限平均功率的功率信号，因而只能借助它的主值序列来定义其频谱(即离散傅立叶变换)，其高阶谱也只能像随机信号那样从功率的角度来定义。例例 9.1 求正弦波和含直流分量的正弦波的双谱(l0为整数)。解解:显然x1(n)和x2(n)都是周期为N的周期序列，
18、并且102()cos()x nl nN102()cos()x nAl nN0022211ii()i()1100001()()eee2()()2NNnkn k ln k lNNNnnX kx nNklkl第9章 高阶谱估计那么根据定义9.2，有1*1211121121(,)()()()xBk kX k X kXkkN因为只有k1=l0时X1(k1)才非零，k2=l0时X1(k2)非零，k1+k2=l0时X1(k1+k2)非零，所以 的三个因式不可能同时非零，因此恒有。因为112(,)xBk k112(,)0 xBk k21i22000()()e()()()2NnkNnXkx nNNAkklkl根
19、据定义9.2可得第9章 高阶谱估计2321221212000000,(,)(0,0)(,),(,)(,0),(0,),(,),(,)4,0 xA Nk kABk kNk klll lll其他中将含有直流分量A3N2，并在 平面上呈7根谱线，如图 9.1(b)所示。因此，可以根据双谱中的谱线区分正弦波信号中是否含有直流分量。类似地，还可区分正弦波中是否含有其他谐波分量。212(,)xBk k第9章 高阶谱估计图 9.1 正弦信号的双谱第9章 高阶谱估计9.2.4 信号通过线性系统的高阶累积量信号通过线性系统的高阶累积量对于单输入单输出线性时不变系统，输入与输出的高阶累积量及多谱之间的关系如下。定
20、理定理1 设线性时不变系统的单位脉冲响应为h(n)，传递函数为，系统是稳定的，即单位脉冲响应绝对可和()，输入过程x(n)的k阶累积量ck，x(m1，m2，mk1)存在且满足平稳和绝对可和的条件，则(1)输出过程 jje0()()()enznHH zh n0()nh n 0()()()iy nh i x ni第9章 高阶谱估计的k阶累积量ck，y(m1，m2，mk1)存在，且为 ck,y(m1,m2,mk1)=ck，h(m1,m2,mk1)*ck，x(m1,m2，mk1)其中,121110(,)()()()k hkkncm mmh n h nmh nm(2)y(n)的多谱为,1211111,1
21、21(,)()()()(,)k ykkkk xkSHHHS 特殊地，若x(n)为独立同分布非高斯白噪声，即,121,110(,)()()()k ykk xkncm mmh n h n mh nm,121,1111(,)()()()k ykk xkkSHHH 式(9.2.3)和式(9.2.4)就是我们进行非最小相位随机信号建模的基础。第9章 高阶谱估计9.3 双谱及其性质双谱及其性质在高阶谱中，双谱处理方法最简单，且含有功率谱中所没有的相位信息，是高阶谱研究中的“热点”。因此下面对双谱及其性质进行更为细致的描述。设x(n)为零均值、三阶实平稳随机过程，其自相关函数和功率谱分别为2,()()()(
22、)xxr mcmE x n x nm2,()()()expjxxmSSr mm而其三阶累积量和双谱分别为(9.3.1)3,1212(,)()()()xcm mE x n x nm x nm第9章 高阶谱估计(9.3.2)12123,123,121122(,)(,)(,)expj()xxmmBScm mmm由式(9.3.1)可知，三阶累积量c3，x(m1，m2)具有如下对称性:(9.3.3)3,123,213,2123,211(,)(,)(,)(,)xxxxcm mcm mcm mmcmmm3,1223,121(,)(,)xxcmmmcm mm由式(9.3.2)双谱的定义及式(9.3.3)三阶累
23、积量的对称性可知:(1)B(1，2)通常是复数，即包含幅度和相位:121212(,)(,)expj(,)BBB(2)B(1，2)是以2为周期的双周期函数，即B(1，2)=B(1+2，2+2)(3)B(1，2)具有如下对称性:第9章 高阶谱估计*12212112(,)(,)(,)(,)BBBB 122112(,)(,)BB 121212(,)(,)BB 此外，双谱在实际应用中还具有如下重要特性:(1)高斯过程:如果x(n)为零均值、高斯平稳随机过程，则对于所有m1，m2，都有c3，x(m1，m2)=0，因此B(1,2)=0。(2)非高斯白噪声过程:如果w(n)是具有Ew(n)=0，Ew(n)w(
24、n+m)=Q(m),Ew(n)w(n+m1)w(n+m2)=(m1，m2)的非高斯白噪声过程，则其功率谱和双谱分别为一直线与一平面，即S()=Q，B(1，2)=。第9章 高阶谱估计(3)非高斯白噪声通过线性系统:设线性系统的传递函数为H(z)，系统的输入为零均值非高斯白噪声w(n)，且Ew(n)=0，Ew2(n)=2w，Ew3(n)=3w，则系统输出y(n)的功率谱与双谱分别为 设22()()wSH*1231212(,)()()()wBHHH()()expj()HH121212(,)(,)exp()BBBj则1231212(,)()()()wBHHH 121212(,)()()()B第9章 高
25、阶谱估计(4)非最小相位系统的辨识:双谱含有相位信息，因此在非最小相位系统辨识中变得十分有用，现用一个简单的例子加以说明。设输入为非高斯平稳白噪声过程w(n)，它有Ew(n)=0，Ew2(n)=2w，Ew3(n)=3w。线性系统为下列三种情形的二阶FIR系统。最小相位系统:H1(z)=(1az1)(1bz1)，0a1，0b0时恒有h(j+q)=0成立，所以式(9.4.8)变为c3x(q，n)=r3eb(q)b(n)(9.4.9)注意:上式中已应用了MA模型中b(j)=h(j),b(0)=1的条件。在式(9.4.9)中，再令n=0，则得c3x(q，0)=r3eb(q)所以有33(,)()0(,0
26、)xxcq nb nnqcq第9章 高阶谱估计成立。将上式推广到k阶累积量则得(,0,0)()0(,0,0,0)kxkxcq nb nnqcq第9章 高阶谱估计2)AR模型参数辨识设因果的非高斯信号x(n)所对应的线性系统H(z)为因果的ARMA模型所描述，其模型参数分别为a(k)，k=0，1，p和b(j)，j=0，1，q，a(0)=b(0)=1，则有(9.4.10)00()()()()pqkja k x nkb j e nj和111()()1()qjjpkkb j zH za k z式中:e(n)为零均值、非高斯的独立同分布序列。若令H(z)的单位取样响应为h(n)，则由式(9.4.5)可得
27、第9章 高阶谱估计(9.4.11)20(,)()()()kkxkejci nrhj h ji h jn另外，按单位取样响应的定义有(9.4.12)00()()()()()0pqkja k x nkb jnjb nnq成立。由a(0)=b(0)=1及h(n)的因果性假定还可导出h(0)=1成立。由式(9.4.11)和式(9.4.12)可得200020020()(,)()()()()()()()()()()()ppkkxkeiijpkkejikkeja i ci na ir hj h ji h jnrhj h jna i h jirhj h jn b j第9章 高阶谱估计令m=j+，0mq，由上述
28、推导可得200()(,)()()()pkkxkeija i ci nrb m hmh mn成立。考虑h(n)的因果性，可得高阶Yule-Walker方程:0()()()(,)0pkekxir b q h nqa i ci nq考虑到a(0)=1的假定，上述方程也可记为(9.4.13)1()(,)(,),pkxkxia i ci ncnq第9章 高阶谱估计定理定理3 假定观察数据y(n)=x(n)+v(n)，x(n)是符合上述假定的因果非高斯信号，而v(n)为高斯信号，并且与x(n)统计独立，则x(n)的AR参数a(k)，k=0，1，p可以由下式唯一辨识:1()(,)(,),1,pkykyia
29、i ci ncnqqp nqpq第9章 高阶谱估计3)ARMA模型参数辨识基于高阶累积量的ARMA模型参数辨识一般可遵循以下途径:先估计AR参数，然后估计MA参数；同时估计AR、MA参数；先基于二阶矩估计一个相应的最小相位模型参数，然后依据高阶累积量进行相位估计。对于因果但非最小相位的ARMA模型参数估计,可以先用上述的高阶Yule-Walker方法估计其AR参数a(i)(1ip),然后再用下述两种方法估计其MA参数b(l)(1lq)。剩余时间序列法。对于因果的非高斯信号x(n)，当已知其AR参数a(i)的估计值a(i)(1ip)时，可构造剩余时间序列:(9.4.14)1()()()()pix
30、 nx na i x ni第9章 高阶谱估计那么在假定a(0)=1，a(i)=a(i)的条件下，由式(9.4.10)可得0()()()qlx nb l e nl q切片法。由式(9.4.12)可知，MA参数可由单位取样响应h(n)来表示，即(9.4.15)0()()(),0 pkb la k h lklq因此只要求得h(n)，即可得b(l)。令拟合误差函数(9.4.16)0(,)()(,)pkkxjfm na j cmj n则由式(9.4.12)可得20(,)()()()qkkkelfm nrb l hlm h lmn第9章 高阶谱估计令m=q，n=0，则得20(,0)()()()qkkkel
31、fqrb l hlq h lq对于因果ARMA模型，当lq时，必有h(lq)=0。因此上式的和式中只有l=q时不为零，所以有fk(q，0)=rkeb(q)上式应用了h(0)=1的结论。再令m=q，n为任意值，同理可得fk(q，n)=rkeb(q)h(n)(9.4.17)又因为b(q)0，所以00()(,)(,)(),0(,0)()(,0)pkxjkpkkxja j cqj nfq nh nnQfqa j cqj(9.4.18)第9章 高阶谱估计9.5 高阶谱估计的应用高阶谱估计的应用9.5.1 时延的估计时延的估计在雷达、水声及通信、光学等领域均用到时延估计技术。本小节介绍时延估计的基本原理与
32、主要方法，重点介绍高阶累积量在时延估计技术中的应用。1.基于二阶统计量的时延估计基于二阶统计量的时延估计1)问题的描述令空间相距为d的两传感器所接收的远方同一信号源所发射的信号分别为x(n)和y(n)，它们满足(9.5.1)1()()()x ns nn2()()()y ns nDn第9章 高阶谱估计2)广义互相关法在信号处理中，寻求x(n)和y(n)之间的相似性可转换为跟踪互相关函数cxy()，对于零均值过程x(n)和y(n)，cxy()可定义为cxy()=Ex(n)y(n+)当假定1(n)和2(n)也为零均值平稳信号，1(n)、2(n)之间相互独立，且分别与s(n)相互独立时,显然有 cxy
33、()=Es(n)s(n+D)=css(D)(9.5.2)因此，当=D时，cxy()将取得峰值，由此可获得对时延D的估计。第9章 高阶谱估计但在实际的时延估计中，由于x(n)、y(n)皆为有限长度的观测信号，式(9.5.2)不能准确计算，从而导致被估计的相关函数cxy()的峰值不一定出现在=D处。为减小有限长度序列的影响，可采用加窗方法计算。令平滑窗函数为a()，其频谱为A()，则加窗后的相关函数估计为cxy()=cxy()*a()使用cxy()进行时延估计的方法称为广义互相关法，其方框图如图9.4所示。常用的窗函数有ROTH、SCOT、PHAT、Eckart和HannanThompson窗等，
34、可参阅相关参考文献。第9章 高阶谱估计图 9.4 广义互相关法第9章 高阶谱估计3)参数法在上述广义互相关法中，最佳窗函数的选择决定于信号s(n)及噪声的功率谱，而这些功率谱一般是未知的，因此，在最佳窗的选择上有一定困难。1980年采用维纳滤波器的参数估计方法进行时延估计，即参数法，如图9.5所示。图 9.5 参数法时延估计第9章 高阶谱估计令x(n)通过一个维纳滤波器后的输出z(n)为另一观测信号y(n)的最佳估计。即()()()pkpz na k x nk而达到最佳估计时应有J=E(y(n)z(n)2最小化，即2()()()()0()pkpJE y na k x nk x nia i 所以
35、有()()()pxyxxkpcia k cikpip(9.5.3)第9章 高阶谱估计2.基于高阶累积量的广义互相关法基于高阶累积量的广义互相关法在时延估计的许多应用(例如无源声纳定位)中，被观测信号中的有用信号s(n)一般为具有非高斯分布的舰船噪声，而背景噪声1(n)、2(n)一般为高斯噪声。在这种假定下，使用高阶累积量代替二阶统计量进行时延估计显然具有抑制高斯噪声的优点。另外，基于二阶统计量时延估计的广义互相关法是建立在1(n)与2(n)互不相关的基础上的，使用高阶累积量代替二阶统计量进行时延估计，显然还可以使广义互相关法摆脱这一约束。第9章 高阶谱估计在式(9.5.1)中，假定s(n)为零
36、均值、非高斯且Es3(n)0的平稳随机信号，而1(n)、2(n)为零均值的未知高斯平稳随机信号，它们与s(n)都统计独立，但它们之间可能统计相关，其互相关为在上述假定条件下，有1212()()()cnEnn 33(,)()()()(,)xscE x n x nx nc33(,)()()()(,)yscE y n y ny nc而三阶互累积量为(9.5.4)3(,)()()()(,)xyxscE x n y nx ncD取二维Fourier变换，得312312312(,)(,)(,)xyssss 第9章 高阶谱估计 1i12312(,)(,)e Dxyxsss因此，若令312i(,)312312
37、(,)(,)e xxxss12i(,)1212(,)(,)e xyxxyxxyxss12123121(,)(,)(,)xyxxD (9.5.5)则因1212i(,)12312(,)(,)e(,)xyxxsIs可知11i1212i()21()(,)edded DTId(9.5.6)第9章 高阶谱估计将在=D处取得峰值，从而可以由T()得峰值检测估计时延D。在实际执行中,若考虑到误差对式(9.5.4)的影响,可令312i(,)312312(,)(,)e xxxss312i(,)312312(,)(,)e yyyss然后用12123123121(,)(,)(,)(,)2xyxxy 代替(1，2)，从
38、而按式(9.5.5)和式(9.5.6)计算T()。在某些应用中，我们可能需要同时估计三个传感器所接收到的观测信号之间的时延，即00()()()x ns nn111()()()x ns nDn222()()()x ns nDn第9章 高阶谱估计若使用以上所述方法，则需做二次估计；若利用三阶累积量的二元函数特性，则可用一次估计同时获得D1和D2。由观测数据可以得到x0(n)、x1(n)、x2(n)之间的互双谱和各自的自双谱为0312312(,)(,)xsss 110 1 0i12312(,)(,)e Dx x xsss11220 1 2i()12312(,)(,)e DDx x xsss定义i()
39、1 12 20 1 201212312(,)(,)e(,)DDx x xxsGs则有第9章 高阶谱估计i()1 12 212121221122(,)(,)edd(2)(,)gGDD第9章 高阶谱估计3.基于高阶累积量的参数法基于高阶累积量的参数法由式(9.5.1)可得y(n)=x(nD)1(nD)+2(n)上式可以写为更一般的形式:(9.5.7)12()()()()()jy na j x njnDn在理论上应有a(D)=1，而其余a(j)=0，因而可以取充分大的p，将式(9.5.7)化为12()()()()()pjpy na j x njnDn假定s(n)为零均值、Es3(n)0的非高斯信号；
40、而1(n)、2(n)皆为零均值信号，它们之间可能相关，但同时与s(n)统计独立。在此假定下计算如下三阶累积量可得第9章 高阶谱估计()()()()()()()pjpE x n y nx na j E x n x njx n即(9.5.8)3(,)()(,)pxyxxjpca j cj 令pp，11构成超定方程组即可求解2p+1个系数a(j)。然后检测a(j)的最大值点jmax，即所估计的时延D。同样，对于非整数延迟，可以对a(j)采用插值方法求其最大值点。与基于二阶统计量的参数法相比，式(9.5.8)可以完全消除高斯噪声1(n)、2(n)的影响，无论1(n)与2(n)之间是否相关，其时延估计都
41、是无偏的。第9章 高阶谱估计对于随时间缓慢变化的时间延迟D(n)，还可采用基于三阶累积量的自适应参数估计方法予以估计。令两个传感器所接收的观测信号为x(n)=s(n)+1(n)y(n)=s(nD(n)+2(n)与式(9.5.8)推导类似，对于充分大的p有(9.5.9)3(,;)(;)(,;)pyxxxjpcna j n cjj n 对于式(9.5.9)所示的参数模型，按最小化如下指标函数2130()(;)(,;)(,;)sNppxyxxkpjpna j n ckjj nckn 第9章 高阶谱估计即可建立参数的自适应估计框图，如图9.6所示。检测A(n)的最大值a(jmax；n)，即可获得n时刻
42、的时延D(n)=jmax。详细计算方法可参阅有关文献。T()(;),(1;),(0;),(;)A nap n apnana p n第9章 高阶谱估计图 9.6 基于三阶累积量的自适应估计第9章 高阶谱估计9.5.2 DOA估计估计1.到达波方向估计问题到达波方向估计问题有均匀线性传感器阵列如图9.7所示。阵列中含有M个间距为d的传感器。假定有I个窄带、互不相干、具有相同载波频率为f0的零均值、非高斯平面波信号从不同的方向入射到阵列上，其中第j个平面波信号sj的入射角为j(j=1，2，I)，并且假定d0/2，其中波长0=c/f0(c为平面波在媒质中的传播速度)。对于线性阵列，其中第m个传感器上所
43、接收到的信号为(9.5.10)1i()1()()e()mjImjmjyns nn1,2,1,2,mMnN第9章 高阶谱估计图 9.7 均匀线阵第9章 高阶谱估计式中(9.5.11)10()(1)sinmjdmjc而m(n)为第m个传感器上的加性零均值高斯噪声，且与sj(n)不相关。当考虑空间相干背景噪声和电噪声时，m(n)是窄带空间相关高斯噪声；若忽略它们的影响，m(n)则是纯粹由系统噪声所构成的空间不相关的白噪声。对于M个传感器，若令11T1T11i()i()TT1()(),()()(),(),1,e,e()(),()jMjMIIjMy ny nyns ns ns nAeeew nnn第9章
44、 高阶谱估计则式(9.5.10)可记为 y(n)=As(n)+w(n)(9.5.12)第9章 高阶谱估计2.基于二阶统计量的方向估计基于二阶统计量的方向估计对于观测信号y(n)，可以定义其空间相关矩阵，即空域二阶统计量为R=Ey(n)yH(n)对于含M个传感器的阵列，R为MM维矩阵，它表示各传感器在n时刻接收到的信号的相关程度，所以称之为空间相关矩阵。对于平稳信号，R可按下式予以估计H11()()NnRy n ynN按式(9.5.1)，R可表示为R=SM+WM第9章 高阶谱估计上式已利用了s(n)与w(n)不相关的假定。式中:SM=ASAH而S=Es(n)sH(n)为II矩阵。WM为噪声相关矩
45、阵，当假定m(n)为空间不相关的白噪声时，有WM=2wIM2w为m(n)的方差，IM为MM维单位阵。由于假定入射信号sj(n)(j=1,2,I)互不相干，所以rankSM=I，一般假定IM。而WM为M维满秩矩阵,所以R为M维满秩矩阵。在I0，而I+1=M=0。由E1，EI所张的子空间为信号子空间S，而由EI+1，EM所张的子空间为噪声子空间G。由于ej(j=1，2，I)也为S中的一组正交基，且G为S的正交补空间，所以有H0(1,2,1,)jmeEjI mIM第9章 高阶谱估计成立。由此可得到基于空间四阶累积量矩阵C4的特征分解的一系列方向估计算法(例如MUSIC方法),即搜索21()()MHmm IfeE的零点(或极小点)，即可获得方向估计j(j=1，2，I)。式中:e()=1，ei1()，eiM1()T而10()(1)sin22mjdmc第9章 高阶谱估计 基于高阶累积量的MUSIC方法较之基于相关矩阵的MUSIC法，在方向估计问题上有能抑制空间相关高斯噪声和呈现更高分辨率的优点，但也有估计方差较大的弱点。所以，在取得相同估计方差时，使用高阶累积量需要更长的观察数据。1989年，参考文献36将基于空间相关矩阵进行方向估计的ESPRIT方法推广到了基于空间四阶累积量方法，该方法在有效抑制空间相关高斯噪声的同时，也减少了MUSIC方法的搜索工作量。
