1、3 勾股定理勾股定理的应用的应用知识讲解1.通过通过将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，发展学生的应股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，发展学生的应用能力用能力2通过观察图形、探索图形间的关系，发展学生的空间观念，通过观察图形、探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力，渗透数学建模的思想教学重难点教学解决问题的能力，渗透数学建模的思想教学重难点教学重点重点,立体图形、平面图形中的最短路径问
2、题，构造直角立体图形、平面图形中的最短路径问题，构造直角三角形三角形重点难点旧识回顾1勾股定理的内容是什么勾股定理的内容是什么？2勾股定理的逆定理的内容是什么？勾股定理的逆定理的内容是什么？直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b，c满足满足a2 b2c2，那，那么这个三角形是直角三角形么这个三角形是直角三角形情境导入在在A点点的小狗，为了尽快吃的小狗，为了尽快吃到到B点点的香肠，它的香肠，它选择选择A B路线，路线，而不而不选择选择A B C路线，难道小狗也懂数学路线，难道小狗也懂数学?思考思考:在在立体图形中
3、，怎么寻找最短线路呢立体图形中，怎么寻找最短线路呢?AC+CBAB(两点之间线段最短两点之间线段最短)视频导入数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看视频，你数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看视频，你能理解小贤和一菲的做法吗能理解小贤和一菲的做法吗?问题导入“引葭赴岸引葭赴岸”是是九章算术九章算术中的一道题中的一道题“今有池方一丈，葭生其中央，今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺出水一尺,引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？题意是：有一个引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？题意是：有一个边长为边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水尺
4、的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？到达岸边。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？阅读课本阅读课本P1314的内容，完成下列问题的内容，完成下列问题(1)自己做一个圆柱，尝试从点自己做一个圆柱，尝试从点A到点到点B沿圆柱表面画出沿圆柱表面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢几条路线，你觉得哪条路线最短呢？如图，画出了如图，画出了3条路线，路线条路线，路线3最短最短(2)将如图将如图所示的圆柱侧面
5、剪开展成一个长方形，所示的圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点从点A到点到点B的最短路线是什么的最短路线是什么？如图如图所示，线段所示，线段AB即为最短路线即为最短路线蚂蚁从点蚂蚁从点A出发，想吃到点出发，想吃到点B处的食物，求它沿圆柱处的食物，求它沿圆柱侧面爬行的最短路程侧面爬行的最短路程最短路程是线段最短路程是线段AB的长度的长度台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力如题图，有一台风中心沿东西方向候，有极强的破坏力如题图，有一台风中心沿东西方向AB由由A移向移向B，已知点，已知点
6、C为一海港，且点为一海港，且点C与直线与直线AB上两点上两点A，B的距离分别为的距离分别为300 km和和400 km，又，又AB500 km，以台风中心为圆心周围，以台风中心为圆心周围250 km以内以内(含含250 km)为受影响区域为受影响区域(1)请说明海港请说明海港C受台风影响的原因受台风影响的原因(2)若台风的速度为若台风的速度为28 km/h，台风影响该海港持续的时间，台风影响该海港持续的时间有多长？有多长？(2)由由(1)得得CD240 km，如答图，在线段，如答图，在线段AB上点上点D的两侧各作一点的两侧各作一点E，F，使，使ECFC250 km.当台风中心移到点当台风中心移
7、到点E或或F处时，台风正好处时，台风正好影响到海港影响到海港C.在在RtCDE中，中，ED 70 km，所以易得所以易得EF140 km，因为台风的速度为因为台风的速度为28 km/h，所以，所以140285(h)，所以台风影响该海港持续的时间有所以台风影响该海港持续的时间有5 h小组展示提疑惑提疑惑：你有什么疑惑？你有什么疑惑？自主探究(1)平面展开平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面平面图形图形后，再确定两点之间的后，再确定两点之间的最短路径最短路径一般情况是一般情况是两点之间，两点之间，线段最短线段最短在平面图形上构造直角三角形解决
8、问题在平面图形上构造直角三角形解决问题(2)关于关于数形结合数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关数形结合问题时的关键就是形的结合，所以我们在解决有关数形结合问题时的关键就是能能从实际问题中抽象出数学模型从实际问题中抽象出数学模型知识点知识点1 1：确定几何体上的最短路线：确定几何体上的最短路线(重点重点)(1)在不规则的几何图形中，通常在不规则的几何图形中，通常添加辅助线添加辅助线得到直角三角形得到直角三角形(2)在应用勾股定理解决实际问题时，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程勾股定理与方程的结合是解
9、的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理的数学决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理的数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想知识点知识点2 2：运用勾股定理及其逆定理解决实际问题：运用勾股定理及其逆定理解决实际问题(难点难点)(3)常见的类型：常见的类型：勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积与有关线段的长度何图形的面积与有关线段的长度由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边
10、为边长的多边形的面积等于以直角边向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和为边长的多边形的面积和勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实中的问题现实中的问题利用勾股定理在数轴上表示无理数：利用勾股定理把一个无理利用勾股定理在数轴上表示无理数：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边长数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边长题型题型一一 勾股定理勾股定理在实际生活中的应用在实际生活中的应用例例1：九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个：九章算术是我国古代
11、数学的经典著作，书中有一个“折折竹抵地竹抵地”问题：问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈意思是：一根竹子，原来高一丈(一丈为十尺一丈为十尺)，一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部四尺远，问竹子折断处离地有多高？部四尺远，问竹子折断处离地有多高？()A4.2尺尺 B4.5尺尺 C5.2尺尺 D5.8尺尺A例例2：如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高：如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高10 m的树顶飞到一棵的树顶飞到一棵高高5 m
12、的树顶上，两棵树相距的树顶上，两棵树相距12 m，则喜鹊至少要飞，则喜鹊至少要飞()A5 m B12 m C13 m D17 mC例例3：如图，一个梯子：如图，一个梯子AB长长2.5米，顶端米，顶端A靠在墙靠在墙AC上，这时梯子上，这时梯子下端下端B与墙脚距离为与墙脚距离为1.5米，梯子滑动后停在米，梯子滑动后停在DE的位置上现的位置上现在测得在测得BD长为长为0.5米，则梯子顶端米，则梯子顶端A下滑了下滑了()A0.5米米 B0.7米米 C0.4米米 D1米米A例例4：如图，已知长方体的长：如图，已知长方体的长AB3，宽，宽BC2，高，高CG1.一只蚂一只蚂蚁从点蚁从点H出发，沿长方体表面去
13、出发，沿长方体表面去B处觅食要使它走过的路程处觅食要使它走过的路程最短，它要经过最短，它要经过()A正面正面右侧面右侧面 B正面正面上面上面C左侧面左侧面上面上面 D无法无法确定确定B题型题型二二 利用利用勾股定理在立体图形中求最短距离勾股定理在立体图形中求最短距离变变式式1：如图，实心圆柱的底面周长为：如图，实心圆柱的底面周长为30 cm，高为，高为8 cm.蚂蚁在圆蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点柱侧面爬行，从点A爬到点爬到点B的最短路程是的最短路程是_cm.17变式变式2：如图，在一个长方形草坪：如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一块长方体的木上，放着一块长方体的木块已知块已知AD6米，米，
14、AB4米，该木块的较长边与米，该木块的较长边与AD平行且平行且相等，横截面是边长为相等，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木爬过木块到达块到达C处需要走的最短路程是处需要走的最短路程是()A8米米 B10米米B课堂小结注意：注意：运用勾股定理解决实际问题时没有图的要按题意画好图并标上字母;确定直角三角形及其三边.勾股定理的应用体现的数学思想方法勾股定理的应用体现的数学思想方法1.同学们同学们，今天我们学习的解决实际问题的方法是什么？，今天我们学习的解决实际问题的方法是什么？2在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理解决实际问题解决实际问题 解决解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何问题的具体步骤是什么解决这一类几何问题的具体步骤是什么？(建立数学模型求解建立数学模型求解)1.审题审题分析实际问题；分析实际问题；2.建模建模建立相应的数学模型；建立相应的数学模型；3求解求解运用勾股定理计算；运用勾股定理计算；4.检验检验是否符合实际问题的是否符合实际问题的真实性真实性
