1、第三章 随机变量的数字特征第一节 随机变量的数学期望第二节 随机变量的方差第三节 协方差与相关系数第四节 正态分布第三章 随机变量的数字特征第一节 随机变量的数学期望第三章 随机变量的数字特征一、离散型随机变量的数学期望通俗地说,数学期望就是随机变量的平均值.定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为P(X=xk)=pk,k=1,2,若级数 绝对收敛,则X 的数学期望存在,称 为X 的数学期望,简称 为期望或均值,记为E(X),即当 发散时,则 X 的数学期望不存在.二、连续型随机变量的数学期望定义2 设 X 为连续型随机变量,f(x)为其概率密度,若积分 绝对收 敛,则称 为X 的数学期望,简
2、称为期望或均值,记为E(X).即当 时,称 X 的数学期望不存在.第三章 随机变量的数字特征三、随机变量函数的数学期望定理1 设Y 是随机变量X 的函数,Y=g(X),其中y=g(x)为连续函数.(1)若 X 为离散型随机变量,分布律为且级数 绝对收敛,则(2)若 X 为连续型随机变量,其概率密度为f(x),且积分 绝对收 敛,则这个定理指出:当我们计算随机变量 X 的函数Y=g(X)的数学期望时,不必求出Y=g(X)的分布律或概率密度,而只要知道 X 的分布律或者概率密度就可以了.第三章 随机变量的数字特征定理2 Z=g(X,Y)是二维随机变量(X,Y)的函数,其中z=g(x,y)为二元连续
3、 函数.(1)若(X,Y)为二维离散型随机变量,设其分布律为pij=P(X=xi,Y=yj),i,j=1,2,且级数 绝对收敛,则Z=g(X,Y)的数学期望为(2)若(X,Y)为二维连续型随机变量,设其概率密度为f(x,y),且绝对收敛,则Z=g(X,Y)的数学期望为第三章 随机变量的数字特征四、数学期望的性质下面介绍数学期望的一些重要性质,假设下列随机变量的数学期望均存在,且C 为常数.性质1 E(C)=C.性质2 E(CX)=CE(X).性质3 E(X+Y)=E(X)+E(Y)性质4 若X 与Y 相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y)第三章 随机变量的数字特征第二节 随机变量的方差第三章
4、 随机变量的数字特征一、定义定义1 设 X 为随机变量,若E X-E(X)2 存在,则称E X-E(X)2 为 X 的方 差,记为D(X)或 Var(X).即D(X)=EX-E(X)2 (3-7)方差的平方根 称为随机变量 X 的标准差或均方差.由定义可知,方差D(X)是随机变量 X 的函数X-E(X)2 的数学期望,反映了 X 取值的分散程度,若 X 取值比较集中,则D(X)较小,反之较大.对于离散型随机变量 X,设分布律为pk=P(X=xk),k=1,2,则对于连续型随机变量 X,设概率密度为f(x),则第三章 随机变量的数字特征利用数学期望的性质可以得到于是得到常用的计算方差的另一公式:
5、三、方差的性质下面给出方差的几个重要性质,假设下列随机变量的方差均存在.性质1 设C 为常数,则D(C)=0.性质2 设C 为常数,X 为随机变量,则D(CX)=C2D(X).性质3 设随机变量 X 与Y 相互独立,则D(X+Y)=D(X)+D(Y).这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况,即若随机变量 X1,X2,Xn 相互独立,则D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)第三章 随机变量的数字特征三、矩定义2 设 X 为随机变量,C 为常数,k 为正整数,量E(X-C)k 称为 X 关于C 的 k 阶矩.比较重要的矩有两种情形:(1)当C=0时,E(Xk
6、)称为 X 的k 阶原点矩,记为k.(2)当C=E(X)时,EX-E(X)k 称为 X 的k 阶中心矩,记为k.四、切比雪夫不等式定理1(切比雪夫不等式)设随机变量 X 的期望和方差都存在,则对任意常数 0,有或等价地有第三章 随机变量的数字特征第三节 协方差与相关系数第三章 随机变量的数字特征一、协方差对于一个二维随机变量(X,Y),E(X),E(Y),D(X)和D(Y)仅反映 X 和Y 各自的 平均取值及各自取值相对于平均值的偏离程度,没有反映出 X 与Y 之间的相互关系.而 X 与Y 的联合分布可以全面地描述统计规律,其中包含了 X 与Y 之间相互关系的信息.我们 希望有一个数字特征,能
7、够一定程度上反映这种关系.若 X 和Y 相互独立,且EX-E(X)Y-E(Y)存在,则有即X 与Y 相互独立时,EX-E(X)Y-E(Y)=0成立.反之不然,当X 与Y 不满足 EX-E(X)Y-E(Y)=0时,X 与Y 不一定是相互独立的,即它们之间可能是存在 着一定关系的.这说明EX-E(X)Y-E(Y)的数值能在一定程度上反映 X 和Y 之 间的相互联系,由此我们引出如下定义.定义1 设(X,Y)为二维随机变量,若EX-E(X)Y-E(Y)存在,则称之为随 机变量 X 与Y 的协方差,记为 Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)(3-13)Cov(X,Y)是描述
8、 X 与Y 之间的相互关系的一个数学特征,容易得到第三章 随机变量的数字特征由期望的性质可得协方差的实用计算公式:协方差具有下列性质:性质1 Cov(X,Y)=Cov(Y,X).性质2 Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b 为常数).性质3 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).性质4 若 X 与Y 相互独立,则 Cov(X,Y)=0.二、相关系数协方差虽然一定程度上反映了 X 与Y 之间的相互联系,但它与 X 及Y 本身的数值大 小和度量单位有关.为了更准确地刻画 X 和Y 的相关程度,需要进行无量纲处理,引入相 关系数的定义.定义2 设(X,Y)为
9、二维随机变量,称为随机变量 X 与Y 的相关系数.第三章 随机变量的数字特征事实上,对随机变量 X 与Y 引入标准化随机变量,记为 X*,Y*.令 ,则E(X*)=0,D(X*)=1,E(Y*)=0,D(Y*)=1得到相关系数有如下重要性质:性质1|XY|1.性质2|XY|=1的充要条件是存在常数a0,b 使P(Y=aX+b)=1.定义3 当随机变量 X 与Y 的相关系数XY=0时,称 X 与Y 不相关.定理1 对随机变量 X 与Y,下列命题等价:(1)X 与Y 不相关;(2)Cov(X,Y)=0;(3)E(XY)=E(X)E(Y);(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y).第三章 随机变量的数
10、字特征第四节 正 态 分 布第三章 随机变量的数字特征一、一维正态分布定义1 如果随机变量 X 的概率密度函数为其中-0,为常数,则称 服从参数为,2 的正态分布(或高斯分 布),记为 XN(,2).它的分布函数为正态分布的概率密度函数f(x)的图形见图3.1,它具有如下特性:(1)曲线y=f(x)关于x=对称,即f(+x)=f(-x);当x=时,f(x)达到最 大值fmax(x)=f()=(2)曲线y=f(x)图形均在x 轴上方,且以x 轴为渐近线,(3)在x=时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点,区间(+,+)及(-,-)上对应的图形为凹弧,区间(-,+)上对应的图形为凸弧.第三章 随机
11、变量的数字特征(4)当固定,变化时,f(x)的图形沿x 轴平行移动,但不改变其形状.当 固定,变化时,f(x)的图形随之变化,且当 越小时,图形越“陡峭”,分布越集中在x=附 近;当越大时,图形越“平坦”,分布越分散.故f(x)的图形的位置由 确定,称 为位 置参数;形状由确定,称为形状参数.特别地,当=0,=1时,称 X 服从标准正态分布,记为 XN(0,1),其概率密度 函数(x)和分布函数(x)分别记为第三章 随机变量的数字特征标准正态分布的图形如图3.2所示:易见:所以只需对x0给出标准正态分布函数 的数值表就够了,对x0 的函数值可以由对称性得到.即关于(x)的计算:(1)x 0 时
12、,查标准正态分布函数表;(2)x 0时,用(x)=1-(-x)计算.第三章 随机变量的数字特征对一般的正态分布 N(,2),由于概率密度函数不可积,即其分布函数不能用初等函 数表达,所以这类概率计算通常先经过代换转化为标准正态分布,再查标准正态分布函数 表来解决.定理1 设随机变量 XN(,2),则定理2 设随机变量 XN(,2),则Y=aX+bN(a+b,(a)2),其中a0.定义2 设随机变量XN(0,1),概率密度函数为(x),对给定的(01),称满足 条件的数z 为标准正态分布N(0,1)的“上 分位数(或上 分位点)”,如图3.3所示.第三章 随机变量的数字特征二、二维正态分布定义3
13、 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为其中,1,2,1,2,为常数,-1+,-20,20,|1.则称(X,Y)服从参数为1,2,21,22,的二维正态分 布,记为(X,Y)N(1,2,21,22,)二维正态分布的概率密度f(x,y)在三维空间的图形 见图3.4.第三章 随机变量的数字特征定理3 如果随机变量(X,Y)N(1,2,21,22,),则 X 和Y 相互独立的充要条 件是X 与Y 不相关.正态随机变量有如下的重要性质:两个或多个相互独立的正态随机变量的线性组合仍 是正态变量.定理4 设X1,X2,Xn 相互独立,且XiN(i,i2),i=1,2,n,则对于任 意不全为零的常数c1,c2,cn,有
