1、14.2 14.2 乘法公式乘法公式第十四章第十四章 整式整式的乘法与因式分解的乘法与因式分解感悟新知感悟新知知识点知识点平方差公式平方差公式知知1 1讲讲11.平方差公式平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差方差.即：用字母表示为即：用字母表示为(ab)(ab)a2b2.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲2.平方差公式的推导平方差公式的推导(1)代数代数运算证明运算证明法：法：(ab)(ab)a2ababb2a2b2.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲(2)几何图形几何图形证明法：图证明法：图14.21 中阴影部分的面积为中阴影部分
2、的面积为a2b2，把它分割并拼接成图，把它分割并拼接成图14.21 中的长方形，长中的长方形，长为为(ab)，宽宽为为(ab)，故阴影部分的故阴影部分的面面积为积为(ab)(ab).故故(ab)(ab)a2b2.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲3.平方差公式的几种常见变化及应用平方差公式的几种常见变化及应用变化形式变化形式应用举例应用举例位置位置变化变化(ba)(ba)(ab)(ab)a2b2符号符号变化变化(ab)(ab)(ba)(ba)(b)2 a2b2a2系数系数变化变化(3a2b)(3a2b)(3a)2(2b)29a24b2指数指数变化变化(a3b2)(a3b2)(a3)2(b2)2a6
3、b4增增项变化项变化(abc)(abc)(ab)2c2连用连用公式公式(ab)(ab)(a2b2)(a2b2)(a2b2)a4b4感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别解读特别解读公式的特征：公式的特征：1.等号等号左边是两个左边是两个二项式相乘二项式相乘，这两个二项式，这两个二项式中有中有一项一项完完全相同全相同，另，另一项一项互为相反数互为相反数.2.等号等号右边是乘式中右边是乘式中两项两项的平方差，即的平方差，即相同项相同项的平方减去的平方减去相反相反项的项的平方平方.3.理解字母理解字母a，b的的意义意义，平方差，平方差公式中的公式中的a，b既可以既可以代表代表一个一个单项式单项式，也，也
4、可以代表一个可以代表一个多项式多项式.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲易错警示易错警示平方差公式的平方差公式的右边是右边是平方差，不是差的平方差，不是差的平方平方，不要把不要把a2b2与与(ab)2混淆混淆.特别提醒特别提醒只要多项式的只要多项式的乘法符合乘法符合公式的结构特征公式的结构特征，就，就可以运用可以运用这一公式这一公式简化简化计算计算.感悟新知感悟新知知知1 1练练例 1解题秘方解题秘方：先确定公式中的先确定公式中的“a”和和“b”，然后根据，然后根据平平方差公式方差公式(ab)(ab)a2b2进行进行计算计算.感悟新知感悟新知知知1 1练练解解：(5m3n)(5m3n)(5m)2(
5、3n)225m29n2；(1)(5m3n)(5m3n)；(2)(2a25b)(2a25b)；(2a25b)(2a25b)(2a2)2(5b)24a425b2；感悟新知感悟新知知知1 1练练(3y4x)(3y4x)(4x3y)(4x3y)(4x)2(3y)216x29y2.感悟新知感悟新知知知1 1练练11.下列下列各式中，各式中，可以可以用平方差公式用平方差公式进行计算进行计算的的是是()A.(a1)(1a)B.(a2)(a2)C.(a2)(2a)D.(ab)(ab)B感悟新知感悟新知知知1 1练练12.若若ab2，ab1，则，则a2b2_.2感悟新知感悟新知知知1 1练练原原式式(2m)2(
6、3n)24m29n2；原原式式(2y)2x24y2x2；感悟新知感悟新知知知1 1练练(4)(3x2)(3x2)(9x24)；(5)(x5)(x5)(x3)(3x)解：解：原式原式(9x24)(9x24)81x416；原原式式x2259x216.感悟新知感悟新知知知1 1练练计算：计算：(1)10.39.7；(2)2 0222 0242 0232.解题秘方解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算进行计算.例 2感悟新知感悟新知知知1 1练练(1)10.39.7；(2)2 0222 0242 0232.解解：10.39.7(100.3)(100.
7、3)1020.321000.0999.91；10.3 与与9.7 的平均数为的平均数为10.2 0222 0242 0232(2 0231)(2 0231)2 02322 0232122 02321.2 022与与2 024的的平均数平均数为为2 023.感悟新知感悟新知知知1 1练练21.运用运用平方差公式平方差公式进行进行简便计算：简便计算：(1)9.810.2；(2)1 007993；解解：原：原式式(100.2)(100.2)1020.221000.0499.96；原原式式(1 0007)(1 0007)1 0002721 000 00049999 951；感悟新知感悟新知知知1 1练
8、练(3)1291271282.解：解：原原式式(1281)(1281)128212821212821.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点完全平方公式完全平方公式21.完全完全平方公式：两个数的平方公式：两个数的和和(或差或差)的的平方，等于它们的平方，等于它们的平方和平方和，加上加上(或减去或减去)它们它们的积的的积的2 倍倍.即：用字母表示即：用字母表示为为(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲特别提醒特别提醒(ab)2 a2b2；(ab)2 a2b2.产生这种错误的产生这种错误的原因原因是类比是类比了了(ab)2a2b2.感悟新知感悟新知
9、知知2 2讲讲2.完全平方公式的推导：完全平方公式的推导：(1)代数代数运算证明法运算证明法(ab)2(ab)(ab)a2ababb2a22abb2；(ab)2(ab)(ab)a2ababb2a22abb2.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲(2)几何图形几何图形证明证明法法(数数形结合形结合思想思想)图图14.22：大正方形的面积：大正方形的面积为为(ab)2a2b22ab；图图14.22：左下角正方形的面积：左下角正方形的面积为为(ab)2a22abb2.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲3.完全完全平方公式的几种常见平方公式的几种常见变形变形(1)a2b2(ab)22ab(ab)22ab；(2)
10、(ab)2(ab)24ab；(3)(ab)2(ab)24ab；(4)(ab)2(ab)22(a2b2)；(5)(ab)2(ab)24ab；感悟新知感悟新知知知2 2讲讲感悟新知感悟新知知知2 2讲讲特别解读特别解读弄清公式的特征：弄清公式的特征：公式的左边是公式的左边是一个一个二项式的完全平方二项式的完全平方，公式，公式的右边是的右边是一个一个三项式三项式，其中两项，其中两项分别是分别是左边二项式的左边二项式的各项的各项的平方，平方，另一项是另一项是二项式二项式各项的乘积的各项的乘积的2倍倍.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲理解理解字母字母a，b的的意义：意义：公式中的字母公式中的字母a，b可以
11、表示具体的数可以表示具体的数，也，也可以表示含可以表示含字母字母的单项式的单项式或多项式或多项式.口诀口诀记忆记忆：首首平方，尾平方，平方，尾平方，二倍二倍乘积在中央，中央乘积在中央，中央符号符号看前方看前方.感悟新知感悟新知知知2 2练练计算：计算：(1)(x7y)2；(2)(4a5b)2；(3)(2mn)2；(4)(2x3y)(2x3y).解题秘方：解题秘方：确定公式中的确定公式中的“a”和和“b”，利用完全平方，利用完全平方公式公式进行计算进行计算.例 3感悟新知感悟新知知知2 2练练(1)(x7y)2；(2)(4a5b)2；解解：(x7y)2x22x(7y)(7y)2x214xy49y
12、2；括号不能漏掉括号不能漏掉.(4a5b)2(5b4a)2(5b)22(5b)(4a)(4a)225b240ab16a2；不能漏掉不能漏掉“2ab”项且符号项且符号与完全与完全平方中的符号一致平方中的符号一致.感悟新知感悟新知知知2 2练练(3)(2mn)2；(4)(2x3y)(2x3y).解：解：(2mn)2(2mn)2(2m)22(2m)nn24m24mnn2；(2x3y)(2x3y)(2x3y)2(2x)22(2x)(3y)(3y)2(4x212xy9y2)4x212xy9y2.两个二项式相乘，若两个二项式相乘，若有一有一项相同，项相同，另一项相反，另一项相反，则用则用平方差公式计平方差
13、公式计算；若两算；若两项都项都相同或都相反，则相同或都相反，则用用完全平方完全平方公式计算公式计算.感悟新知感悟新知知知2 2练练方法总结方法总结：求二项式的平方时，当所给二项式中两求二项式的平方时，当所给二项式中两项的项的符号符号相同时，一般选用相同时，一般选用“和和”的完全平方；当二项的完全平方；当二项式中两项的式中两项的符号符号相反时，一般选用相反时，一般选用“差差”的完全平方的完全平方.感悟新知感悟新知知知2 2练练31.期中期中唐山路北区唐山路北区下列下列多项式乘法中多项式乘法中能用能用完全平方完全平方公式公式计算的是计算的是()A.(mn)(mn)B.(mn)(mn)C.(mn)(
14、mn)D.(m2)(m1)C感悟新知感悟新知知知2 2练练C感悟新知感悟新知知知2 2练练33.计算：计算：(1)(2y1)2；(2)(3a2b)2；(3)(x2y)2；(4)(2xy1)2.解解：原：原式式4y24y1；原式原式9a212ab4b2；原式原式x24xy4y2；原式原式4x2y24xy1.感悟新知感悟新知知知2 2练练解题秘方：解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再将原数转化成符合完全平方公式的形式，再利用利用完全平方公式展开计算即可完全平方公式展开计算即可.例 4感悟新知感悟新知知知2 2练练解解：9992(1 0001)21 000221 0001121 000
15、0002 0001998 001；感悟新知感悟新知知知2 2练练解解：原：原式式(1002)210 000400410 404；原式原式(1000.2)210 000400.049 960.04；感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点添括号添括号31.添括号添括号法则：添法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号负号，括到括，括到括号里的各项号里的各项都改变符号都改变符号.即：用字母表示为即：用字母表示为abca(bc)a(bc)；abca(bc)a(bc).感悟新知感悟新知知知3
16、 3讲讲2.添添括号法则的应用：添括号在利用乘法公式计算中应用括号法则的应用：添括号在利用乘法公式计算中应用广泛广泛，先，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，再运用再运用乘法乘法公式计算公式计算.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲特别解读特别解读1.添添括号只是一个变形括号只是一个变形，不不改变改变式子的值式子的值.2.添添括号时，如果括号时，如果括号前面括号前面是负号，括号里是负号，括号里的各项的各项都要改都要改变符号变符号，而不是而不是只改变括号里只改变括号里第一第一项的符号项的符号.3.添添括号是否正确，可括号是否正确，可利用利用去括号检验去括号
17、检验.感悟新知感悟新知知知3 3练练例 5计算：计算：(1)(2xy4)(2xy4)；(2)(m2n1)(2n1m)；(3)(2a3b1)(12a3b)；(4)(3abc)2.解题秘方解题秘方：先通过添括号把式子转化为符合平方差公先通过添括号把式子转化为符合平方差公式式或完全或完全平方公式的形式，再利用乘法公式进行计算平方公式的形式，再利用乘法公式进行计算.感悟新知感悟新知知知3 3练练(1)(2xy4)(2xy4)；(2)(m2n1)(2n1m)；解解：(2xy4)(2xy4)2x(y4)2x(y4)(2x)2(y4)24x2y28y16；(m2n1)(2n1m)(m2n)1(m2n)1(m
18、2n)212m24mn4n21；应用加法的交换律和结合律应用加法的交换律和结合律感悟新知感悟新知(3)(2a3b1)(12a3b)；知知3 3练练解：解：(2a3b1)(12a3b)(2a3b1)(2a3b1)(2a3b)12(2a3b)22(2a3b)12(4a212ab9b24a6b1)4a212ab9b24a6b14a29b212ab4a6b1；感悟新知感悟新知(4)(3abc)2.知知3 3练练解：解：(3abc)2(3ab)c29a26abb26ac2bcc29a2b2c26ab6ac2bc.感悟新知感悟新知知知3 3练练方法总结方法总结利用乘法公式简化运算利用乘法公式简化运算的方法
19、的方法：1.既有既有相同的项又有相同的项又有互为互为相反数的项的两相反数的项的两个三项式个三项式相乘，相乘，可通过可通过变形变形用平方差公式计算用平方差公式计算，且，且相同的项为相同的项为“a”，互互为为相反数的项为相反数的项为“b”；2.两两个因式中所有的个因式中所有的项都项都相同或都互为相同或都互为相反数相反数，可通过变，可通过变形用形用完全平方完全平方公式计算公式计算.感悟新知感悟新知知知3 3练练51.运用运用乘法公式乘法公式计算计算：(1)(abc)2；(2)(2a3b1)(2a3b1).解解：原：原式式(ab)c2(ab)22(ab)cc2a22abb22ac2bcc2；原式原式(2a3b)1(2a3b)1(2a3b)2124a212ab9b21.课堂小结课堂小结乘法公式乘法公式乘法乘法公式公式添括号添括号平方差公式平方差公式完全平方公式完全平方公式
