1、24.2 24.2 点点和圆、直线和圆的位置关系和圆、直线和圆的位置关系第二十四章第二十四章 圆圆24.2.2 24.2.2 直线直线和圆的位置关系和圆的位置关系知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知识点知识点直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系1直线直线与圆的位置关系与圆的位置关系直线与圆的位直线与圆的位置关系置关系 相离相离 相切相切 相交相交图示图示公共点个数公共点个数 0 1 2感悟新知感悟新知知知1 1讲讲公共点名称公共点名称 切点切点 交点交点直线名称直线名称 切线切线 割线割线圆心圆心 O 到直线到直线 l 的距离的距离 d 与半与半径径 r 的关系的关系dr d=r dr 直线直线
2、l与与 O 相离相离d=r 直线直线 l与与 O 相切相切dr 直线直线 l与与 O 相交相交感悟新知感悟新知知知1 1讲讲要点提醒要点提醒如果一条直线满足如果一条直线满足下列下列三个条件中的三个条件中的任意两任意两个，个，那么第三个那么第三个也成立也成立：1.过过圆心；圆心；2.过过切点；切点；3.垂直垂直于切线于切线.知知1 1练练感悟新知感悟新知如图如图 24.2-10，在在 RtABC 中中，ACB=90，AC=6 cm，BC=8 cm，则直线，则直线AB和和以点以点C为为圆心圆心，r为为半径半径的圆有何位置关系？为什么？的圆有何位置关系？为什么？(1)r=4 cm；(2)r=4.8
3、cm；(3)r=7 cm.例1知知1 1练练感悟新知感悟新知思路导引思路导引：知知1 1练练感悟新知感悟新知解解：如图：如图24.2-10，过点过点C作作CD AB于点于点D.在在 Rt ABC 中，中，ACB=90，AC=6 cm，BC=8 cm，则，则 AB=10 cm.又又 AB CD=AC BC，CD=4.8 cm.(1)当当 r=4 cm 时，时，CD r，直线，直线 AB 和和 C 相离；相离；(2)当当 r=4.8 cm 时，时，CD=r，直线，直线 AB 和和 C 相切；相切；(3)当当 r=7 cm 时，时，CD r，直线，直线 AB 和和 C 相交相交.知知1 1练练感悟新
4、知感悟新知1-1.中考中考嘉兴嘉兴 已知平面已知平面内有内有 O和点和点A，B，若，若 O半半径为径为2cm，线段线段OA=3 cm，OB=2 cm，则，则直线直线 AB 与与 O 的的位置位置关系为关系为()A.相离相离 B.相交相交C.相切相切 D.相交或相切相交或相切D知知1 1练练感悟新知感悟新知例2 知知1 1练练感悟新知感悟新知思路导引：思路导引：知知1 1练练感悟新知感悟新知解解：如图：如图 24.2 13，作，作 OD BC 于点于点 D.A=30，C=90，B=60.DOB=30.知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知2-1
5、.已知直线已知直线 l 与半径为与半径为 2 的的 O 的位置关系的位置关系是相离，则是相离，则点点 O 到直线到直线 l 的距离的取值的距离的取值范围范围在数轴上表示正确在数轴上表示正确的的是是()A知知1 1练练感悟新知感悟新知2-2.(易易错错题题)在平面直角坐标在平面直角坐标系中，系中，M的的圆心圆心坐标坐标为为(m，4)，半径半径是是2，如果，如果 M与与y轴轴相切相切,那么那么 m=_；如果如果 M与与 y轴相交轴相交,那么那么 m的取的取 值范围是值范围是_.22m2感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点切线的判定切线的判定21.判定判定定理定理 经过半径的经过半径的外端外端
6、并且并且垂直垂直于这条半径的直线是于这条半径的直线是圆的圆的切线切线.知知2 2讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒 切线切线必须同时具备两必须同时具备两个条件个条件：1.直线直线过半径的外过半径的外端；端；2.直线直线垂直于这垂直于这条半径条半径.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲2.判定方法判定方法(1)定义定义法：法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)数量法数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的圆的切切线；线；(3)判定判定定理法：定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线直线
7、是圆的切线是圆的切线.感悟新知感悟新知知知2 2练练中考中考攀枝花攀枝花 如图如图24.2-12，AB为为 O的的直径，如直径，如果圆果圆上的点上的点D恰恰使使ADC=B，求证：直线，求证：直线CD与与 O相切相切.例3知知2 2练练感悟新知感悟新知思路导引思路导引：知知2 2练练感悟新知感悟新知证明：如图证明：如图24.2-12，连接，连接OD.OA=OD，A=ODA.AB为为 O的的直径直径，ADB=90.A+B=90.ADC=B，ODA+ADC=90，即，即CDO=90.CDOD.OD是是 O的的半径半径，直线直线CD与与 O相切相切.知知3 3练练感悟新知感悟新知3-1.如如图，在图，
8、在ABC中中，AB=AC，以以AB为直径作为直径作 O，与与BC交交于于点点D，过，过D作作AC的的垂线垂线，垂足，垂足为为E.求证：求证：DE是是 O的的切线切线.知知3 3练练感悟新知感悟新知证明：连接证明：连接OD，AD.易得易得BAC2BAD.易得易得BOD2BAD，BACBOD.ODAC.又又DEAC，AED90.ODEAED90.半径半径ODDE.DE是是O的切线的切线感悟新知感悟新知知知2 2练练如图如图 24.213，在在 RtABC 中，中，B=90，BAC的的平分线交平分线交 BC于于点点 D，以，以点点D为为圆心，圆心，DB长长为半径作为半径作 D.求证求证：AC与与 D
9、 相切相切.例4 知知2 2练练感悟新知感悟新知思路导引思路导引：知知2 2练练感悟新知感悟新知证明：证明：如图如图 24.213，过点过点 D 作作 DF AC 于点于点 F.B=90，DB AB.又又 AD 平分平分 BAC，DF=DB.AC 与与 D 相切相切.知知2 2练练感悟新知感悟新知4-1.如如图，点图，点 D 是是 AOB的的 平分线平分线 OC 上任意上任意 一点一点，过，过点点 D 作作 DE OB于于点点 E，以，以 DE 为半径为半径作作 D.求证求证：OA 是是 D的的切线切线知知2 2练练感悟新知感悟新知证明：过点证明：过点D作作DFOA于点于点F.点点D是是AOB
10、的平分线的平分线OC上任意一点，上任意一点，DEOB，DFDE，即点即点D到直线到直线OA的距离等于的距离等于D的半径的半径DE.OA是是D的切线的切线感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点切线的性质切线的性质31.性质性质定理定理 圆的切线圆的切线垂直垂直于于过切点过切点的半径的半径.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲2.切线的性质切线的性质(1)切线切线和圆只有一个公共点和圆只有一个公共点；(2)圆心圆心到切线的距离等于半径到切线的距离等于半径；(3)圆圆的切线垂直于过切点的半径的切线垂直于过切点的半径；(4)经过经过圆心且垂直于切线的直线必过圆心且垂直于切线的直线必过切点切点(找找切点切
11、点用用)；(5)经过经过切点且垂直于切线的直线必过切点且垂直于切线的直线必过圆心圆心(找找圆心圆心用用).知知3 3讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒切线的判定切线的判定定理与定理与性质定理的区别性质定理的区别：切线的判定定理切线的判定定理是在是在未知相切而要证明未知相切而要证明相切相切的情况的情况下使用；下使用；切线的切线的性质定理是在已知性质定理是在已知相切相切而要推出其他的而要推出其他的结论时结论时使用使用.它们是一个互它们是一个互逆的逆的过程，不要混淆过程，不要混淆.知知3 3练练感悟新知感悟新知如图如图 24.2-14，AB 为为 O 的直径，的直径，PD 切切 O 于点于点 C，
12、交交 AB 的延长线于点的延长线于点 D，且，且 D=2 CAD.例5知知3 3练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：(1)利用利用“等半径等半径”得等腰三角形得等腰三角形；(2)利利用用“切线垂直于过切点的半径切线垂直于过切点的半径”构造构造直直角三角形角三角形，再结合相关性质求解，再结合相关性质求解.知知3 3练练感悟新知感悟新知(1)求求 D 的度数的度数.解：如图解：如图 24.2-14，连接连接 OC.AO=CO，OAC=ACO.COD=2 CAD.又又 D=2 CAD，D=COD.PD 切切 O 于点于点 C，OC PD，即即 OCD=90.D=45.知知3 3练练感悟新知感悟新知
13、(2)若若 CD=2，求，求 BD 的长的长.知知3 3练练感悟新知感悟新知5-1.中考中考 眉山眉山 如图如图，AB切切 O于点于点B，连接连接OA交交 O于于点点C，BDOA交交 O于于点点D，连接连接CD，若若OCD=25，则，则A的的度数为度数为()A.25 B.35C.40 D.45C知知3 3练练感悟新知感悟新知 中考中考湖州湖州 如图如图 24.2-15，已知已知 BC 是是 O 的直径的直径，AC 切切 O 于点于点 C，AB 交交 O 于点于点 D，E 为为 AC 的的中点，中点，连接连接 DE.例6 知知3 3练练感悟新知感悟新知思路导引思路导引：(1)若若 AD=DB，O
14、C=5，求切线，求切线 AC 的长；的长；解：如图解：如图 24.2-15，连接连接 CD.BC 是是 O 的直径，的直径，BDC=90，即，即 CD AB.AD=DB，AC=BC=2OC=10.知知3 3练练感悟新知感悟新知(2)求证：求证：DE 是是 O 的切线的切线.思路导引思路导引：知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知6-1.中考中考雅安雅安 如图如图，已知，已知 AB是是 O的的直径直径，AC，BC是是 O 的弦的弦，OE AC交交BC于点于点E，过，过点点B作作 O 的的切线切线交交OE 的延长线于点的延长线于点 D，连接，连接 DC并延长交并延长交 BA的
15、的延长线于点延长线于点 F知知3 3练练感悟新知感悟新知(1)求证求证：DC是是 O的的切线；切线；证明：连接证明：连接OC.AB是是O的直径，的直径，ACB90.OEAC，OEBACB90.ODBC.OD垂直平分垂直平分BC.DBDC.DBEDCE.又又OCOB，OBEOCE.DBOOCD.知知3 3练练感悟新知感悟新知DB为为O的切线，的切线，OB是半径是半径，DBOB.OCDDBO90.即即OCDC.又又OC是是O的半径，的半径，DC是是O的切线的切线知知3 3练练感悟新知感悟新知(2)若若 ABC=30，AB=8，求线段，求线段CF 的长的长.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲知识点知识点
16、切线长定理切线长定理41.切线长切线长定义定义经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间之间线段线段的长，叫做这点到圆的切线长的长，叫做这点到圆的切线长.切线是直线，不可度量；切线是直线，不可度量；切线长切线长是切线上切点与切是切线上切点与切点外另点外另一点一点之间的线段的长，可以度量之间的线段的长，可以度量.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲2.切线长切线长定理定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，等，这一点这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角和圆心的连线平分两条切线的夹角.知知4 4讲讲感悟新知感悟新知
17、特别提醒特别提醒经过圆上一点作经过圆上一点作圆的圆的切线，切线，有且只有有且只有一条一条，过，过切切点的半径垂直于点的半径垂直于这条这条切线；经过圆外切线；经过圆外一点作一点作圆的切线，圆的切线，有两条，有两条，这点这点和两个切点所连的和两个切点所连的两条两条线段相等线段相等.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲3.示例示例 如如图图 24.216是是切线长定理的一个基本图形切线长定理的一个基本图形,可以可以直接得到直接得到结论：结论：(1)PO AB；(2)AO AP，BO BP；(3)AP=BP；(4)1=2=3=4；(5)AD=BD；(6)AC=BC等等.感悟新知感悟新知知知4 4练练如如图图
18、24.217，PA，PB，DE 分别切分别切 O 于点于点 A，B，C，点，点 D 在在 PA 上，点上，点 E 在在 PB 上上.例7感悟新知感悟新知知知4 4练练(1)若若 PA=10，求，求 PDE 的周长；的周长；思路导引思路导引：感悟新知感悟新知知知4 4练练解：解：PA，PB，DE 分别切分别切 O 于点于点 A，B，C，PA=PB=10，DA=DC，EC=EB.PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20.PDE 的周长为的周长为 20.感悟新知感悟新知知知4 4练练(2)若若 P=50，求，求 DOE 的度数的度数.思路导引思路导引：感悟新知感悟新知知
19、知4 4练练知知4 4练练感悟新知感悟新知7-1.如图，如图，PA，PB为圆为圆O的的切线，切点切线，切点分别为分别为A，B，PO交交AB于点于点C，PO的的延长线延长线交圆交圆O于于点点D，下列，下列结论不结论不一定一定成立的成立的是是()A.PA=PBB.BPD=APDC.ABPDD.AB平分平分PDD知知4 4练练感悟新知感悟新知7-2.如如图所示，图所示，P是是 O外外一点，一点，PA，PB分别分别和和 O切切于于A，B两两点，点，C是是AB上任意上任意一点一点，过，过C作作 O的切线分别的切线分别交交PA，PB于于D，E.知知4 4练练感悟新知感悟新知(1)若若PDE的周长的周长为为
20、10，则则PA的长为的长为_；(2)连接连接CA，CB，若若P=50，则则BCA的的度数度数为为_度度.5115感悟新知感悟新知知知4 4练练如图如图 24.218，PA，PB 是是 O的的切线，切点分别为切线，切点分别为 A，B，BC 为为 O 的直径，连接的直径，连接 AB，AC，OP.例8 解题秘方解题秘方：活用切线长定理中角活用切线长定理中角的关系的关系结合结合相关性质求解相关性质求解.知知4 4练练感悟新知感悟新知求证：求证：(1)APB=2 ABC；知知4 4练练感悟新知感悟新知证明：证明：BC 是是 O 的直径，的直径，BAC=90，即，即 AC AB.由由(1)知知 OP AB
21、，AC OP.(2)AC OP.知知4 4练练感悟新知感悟新知8-1.如如图，图，AB，BC，CD 分别与分别与 O 相切于点相切于点E，F，G，若若 BOC=90，求证：，求证：AB CD.知知4 4练练感悟新知感悟新知证明：证明：BOC90，OBCOCB90.又又BE与与BF为为O的切线的切线，OBEOBC.同理可得同理可得OCBOCG，OBEOCGOBCOCB90.OBCOCBOBEOCG180，即即ABFDCF180.ABCD.感悟新知感悟新知知知5 5讲讲知识点知识点三角形的内切圆三角形的内切圆51.三角形的三角形的内切圆内切圆 与三角形各边都相切的圆叫作三角形与三角形各边都相切的圆
22、叫作三角形的的内切圆，这个内切圆，这个三角形叫作三角形叫作圆的圆的外切三角形外切三角形.要点解读要点解读一个一个三角形有三角形有一个内切圆，一个内切圆，而一而一个圆有无数个个圆有无数个外外切切三角形三角形.感悟新知感悟新知知知5 5讲讲2.三角形三角形的的内心内心 三角形三角形的内切圆的圆心是三角形三的内切圆的圆心是三角形三条条角平分线的角平分线的交点，叫做三角形的内心交点，叫做三角形的内心.3.三角形三角形内心的内心的性质性质 三角形三角形的内心到三角形三条边的内心到三角形三条边的距离相等的距离相等，且，且等于其内切圆的半径等于其内切圆的半径.三角形的内心在三角形的内心在三角形三角形的内部的
23、内部.感悟新知感悟新知知知5 5练练如图如图24.2-19，王奶奶有一块三角形的，王奶奶有一块三角形的布料布料ABC，ACB=90，她要裁剪一个圆片，已知，她要裁剪一个圆片，已知AC=60 cm，BC=80 cm.为了充分地利用这块为了充分地利用这块布布料料，使裁剪下来的圆片的，使裁剪下来的圆片的直径尽量直径尽量大大些，她应该怎样裁剪？这个圆些，她应该怎样裁剪？这个圆片片的的半径是多少？半径是多少？例9感悟新知感悟新知知知5 5练练解题解题秘方：秘方：在三角形中裁剪下的最大圆就是这个在三角形中裁剪下的最大圆就是这个三角形三角形的内切圆的内切圆.知知5 5练练感悟新知感悟新知解：解：如图如图 2
24、4.2-19，设设ABC的的内切圆内切圆 O 的半径为的半径为 r cm，O 分别切分别切 AB，BC，AC 于点于点 D，E，F，连接，连接 OE，OF，易得四边形，易得四边形 OECF 为正方形为正方形.CE=CF=r cm.知知5 5练练感悟新知感悟新知知知5 5练练感悟新知感悟新知知知5 5练练感悟新知感悟新知9-1.如图，如图，四边形四边形ABCD是是 O的的内内接四边形接四边形，对角线，对角线AC是是 O的的直径，直径，AB=2，I是是ADC的的内心，内心，知知5 5练练感悟新知感悟新知(1)求求 O半径半径的长的长.知知5 5练练感悟新知感悟新知证明：连接证明：连接AI.I是是A
25、DC的内心，的内心，DAICAI.ADBBDC，BDCBAC，BACADI.AIBDAIADI，BAIBACCAI，BAIAIB.ABBI.又又ABBC，BCBI.(2)求证求证：BC=BI.感悟新知感悟新知知知5 5练练如图如图 24.220，在在ABC 中，中，A=70，点点O是是ABC 的内心，求的内心，求 BOC 的的度数度数.例10 解题秘方解题秘方：三角形的内心是三角形三三角形的内心是三角形三个内角的平分线个内角的平分线的交点的交点.知知5 5练练感悟新知感悟新知知知5 5练练感悟新知感悟新知10-1.如图，如图，ABC是是 O的的内接内接三角形三角形，AB是是 O的直径的直径，I是是ABC的内心的内心，则则BIA的度数是的度数是 _.135课堂小结课堂小结直线与圆直线与圆的位置的位置关系关系割线割线切线切线切线的判定切线的判定直线与圆的直线与圆的位置关系位置关系相交相交相离相离相切相切三角形的内切圆三角形的内切圆切线的性质切线的性质切线长定理切线长定理
