1、七、七、 抽象函数抽象函数 抽象函数的综合问题抽象函数的综合问题 例例 1 1 设 f x是定义在,00,上的函数， 满足 f xyf xfy， 当1x 时，( )0f x （1）求(1)f的值，试证明 ( )f x是偶函数 （2）证明： ( )f x在(0,)上单调递减 （3）若(3)1f ，( )(8)2f xf x ，求x的取值范围 巩固练习：巩固练习：设函数( )yf x是定义在0 x 上的函数，对定义域的任意 12 ,x x都有 1212 ()()()f xxf xf x，且当1x 时( )0f x ，(2)1f， （1）求(4)f的值，并证明：()( )fxf x； （2）求证：(
2、 )f x在(0,)上是增函数； （3）解不等式： 2 (21)2f xx。 八、八、 函数的应用函数的应用 换元法求解利润最值问题换元法求解利润最值问题 例例 2销售甲、乙两种商品所得利润分别是 P（单位：万元）和 Q（单位：万元） ，它们与 投入资金 t（单位：万元）的关系有经验公式 P，Q，今将 a 万元（a0）资 金投入甲、乙两种商品，其中对甲商品投资 x（单位：万元） （1）试建立总利润 y（单位：万元）关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）间：如何分配资金，才能使得总利润 y（单位：万元）最大？ 与边角相关的三角函数应用题与边角相关的三角函数应用题 例例 3 3 如图
3、， 某城市拟在矩形区域ABCD内修建儿童乐园， 已知2AB百米，4BC百米， 点NE,分别在BCAD,上， 梯形DENC为水上乐园； 将梯形EABN分成三个活动区域，M在 AB上，且点EB,关于MN对称现需要修建两道栅栏ME，MN将三个活动区域隔开设 BNM，两道栅栏的总长度MNMEL)( （1）求)(L的函数表达式，并求出函数的定义域； （2）求)(L的最小值及此时的值. 巩固练习：巩固练习：1如图，用一根长为 10 m 的绳索围成一个圆心角小于 且半径不超过 3m 的扇 形场地设扇形的半径为 x m，面积为 S m2 (1)写出 S 关于 x 的函数表达式，并求出该函数的定义域； (2)当
4、半径 x 和圆心角 分别是多少时，所围扇形场地的面积 S 最大，并求 S 的最大值 2某地为响应习总书记关于生态文明建设指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福 于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形 区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知 该扇形OAB的半径为 200 米，圆心角60AOB，点Q在OA上，点,M N在OB上， 点P在弧AB上，设POB. （1）若矩形MNPQ是正方形，求tan的值； （2）为方便市民观赏绿地景观，从P点处向,OA OB修建两条观赏通道PS和PT（宽度不 计） ，使PSOA，PT
5、OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希 望PSPT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由. x 九、九、 函数的零点函数的零点 根据函数的零点存在性定理求零点区间根据函数的零点存在性定理求零点区间 例例 4已知函数 4 2 ( )logf xx x 的零点为 0 x，若 0 ,1 ,xk kkN ，则k . 数形结合求零点的个数问题数形结合求零点的个数问题 例例 5 5已知定义在(,0)(0,)上的函数 2 20 10 xaxx f x xx ， ， 若 0 xfxf在 定义域上有 4 两个不同的解，则a的取值范围为 . A 2 1 , B , 2 3 C 13 , 22 D
6、 2 3 , 2 1 零点大题综合零点大题综合 例例 6已知函数 ,f xx xabx a bR . （1）当1b 时，函数 f x恰有两个不同零点，求实数a的值； （2）当1b 时，若对任意1,3x，恒有 ( ) 21 f x x x ，求a的取值范围； 若0a ，求函数 ( )f x在区间 0,2上的最大值( ).g a 巩固练习：巩固练习：1.已知函数 2 1 ( )ln 2 x f xx 的零点为 0 x，若 0 ,1 ,xn nnN ，则n _. 2已知函数 2 32 ,1, ( ) ,1, x x f x xx 则函数 ( )( )2g xf x 的零点个数为_ 3已知函数 ， ，
7、 012 04 2 sin x xx xf x 则 3yff x 的零点为 A0和3 B2 C3 D1 4将函数sinyx的图象向左平移 3 个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的 1 (0) 倍 （纵坐标不变） ， 得到函数 yf x的图象， 若函数 yf x在区间 0, 2 上有且仅有一个零点，则的取值范围为_ _ 5已知向量(2sin , 3cos )axx，向量(cos ,2cos )bxx，函数( )3f xa b （1）求函数( )f x在区间0, 2 上的最大值和最小值； （2）求证：存在大于 3 的正实数 0 x，使得不等式 ( ) 2 3 ln f x x 在区间 0
8、 (,)xe有解 课课 堂堂 作作 业业 1函数 2 log2yxx在,1k k 上有零点，则整数k . 2函数( )cos2sinf xxx在区间0,3上零点的个数是（ ） A3 B4 C5 D6 3已知函数 2 2 log (1) ,13 ( ) 110 8,3 33 xx f x xxx ，若关于x的方程( )f xm有 4 个不同的实根 1234 ,x xx x，且 1234 xxxx，则 1234 12 ()()xxxx x x （ ） A7 B8 C9 D10 4已知向量 2 ( 3sin,1),(cos,cos) 444 xxx mn，记( )f xm n （1）求函数( )f
9、x的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数( )yf x的图象向右平移 2 3 个单位得到( )yg x的图象，若函数 ( )yg xk在 7 0, 3 上有零点，求实数k的取值范围 课课 后后 作作 业业 1已知函数 3 2 ( )2, ( )log, ( ) x f xx g xxx h xxx的零点依次为, ,a b c，则, ,a b c 的大小关系为_ 2已知函数 x a xxf，其中Ra，若关于x的方程 3 1 212af x 有三个不同的实 数解，则实数a的取值范围是_ 3 已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是P(单位： 万元)和Q(单位： 万元)，它们与进货资
10、金t(单位：万元)的关系有经验公式 1 16 Pt和 1 2 Qt某商场 决定投入进货资金 50 万元， 全部用来购入这两种电脑， 那么该商场应如何分配进货资金， 才能使销售电脑获得的利润y(单位：万元)最大？最大利润是多少万元？ 4已知 2 ( )21g xxax在区间1,3上值域0,4 ()求a的值； ()若不等式(2 )40 xx gk在1,x上恒成立，求实数k的取值范围； ()若函数 kk g y xx x 3 | 12| 2 | 12| |)12(| 有三个零点，求实数k的取值范围 参参 考考 答答 案案 例例 1. （1）(1)0f， 证明 （略） ；（， 证明 （略） ；（2）
11、证明 （略） ；（） 证明 （略） ；（3） 1,00,4747,88,9 巩固练习：巩固练习：(4)2f，证明（略） ； （，证明（略） ； （2）证明（略） ； （）证明（略） ； （3）1,11,3 例例 2.（1） 3 (0,) 55 ax yxxa ； （2） 9999 0,0, 4444 aPaQaPQa 万元，；万元，万元； 例例 3.（1） 22 11 ( ),(,) coscossin12 4 L ； （； （2） min ( )4 6 L 百米， 巩固练习：巩固练习：1.（1） 2 10 5 ,3 2 Sxx x ； （； （2） max 525 ,2, 24 xaS 2.
12、（1） 33 2 ； （； （2）P在在AB中点处中点处。200sin(),0, 33 PSPT 例例 4.2 例例 5.A 例例 6. （1）1a ；（；（2）0,2 2 ； 2 62 ,04 35 (1) ( ),4 353 4 22,3 aa a g aa aa 巩固练习：巩固练习：1.2 2.2 3.3 4. 4 10 33 ， 5.（1） maxmin ( )2,( )3f xf x ； （； （2）略）略 课堂作业课堂作业： 1.1 2.C 3.D 4. （1） 42 4 , 4,4() 33 TkkkZ ；（2） 3 0, 2 课后作业：课后作业：1.acb 2. 2 , 3 3.当当台式机台式机进货资金进货资金 16 万元，笔记本进货资金万元，笔记本进货资金 34 万元时，万元时， max 33 8 y万元；万元； 4.（1）1； （； （2） 1 , 4 ； （； （3）0,
