1、 平面向量平面向量 【课堂导入】 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，P 为以 A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意 一点，设向量APDEAC=，则的最小值为 解答：以 A 为原点，以 AB 所在的为 x 轴，建立坐标系，设正方形 ABCD 的边长为 1， 则 E(，0)，C(1，1)，D(0，1)，A(0，0) 设 P(cos，sin)，AC=(1，1) 再由向量AC=DE+AP=( 2 1 ，1)+(cos，sin)=( 2 +cos，+sin)， 1sin 1cos 2 ， sincos2 3 sincos2 cos2sin2 ， += sincos2 sin33 1
2、sincos2 cos2sin23 由题意得 0 2 ，0cos1，0sin1 求得 )(= 0 )sincos2( cos3sin66 )sincos2( )cossin2)(3sin3()sincos2(cos3 22 ， 故 + 在0，2 上是增函数， 故当 =0 时， 即cos=1， 这时 + 取最小值为 02 203 = 2 1 ， 故答案为： 2 1 考点：平面向量的基本定理及其意义 【知识讲解】 1、平面向量的线性运算： 2、平面向量的坐标运算： 2、平面向量的数量积： 【典例分析】 【例 1】如图，在 ABC 中，BO 为边 AC 上的中线，BG=2GO，设CDAG，若 AD=
3、AB 5 1 +AC(R)，则 的值为 解答：如图，延长 AG 交 BC 于点 F， BO 为边 AC 上的中线，BG=2GO， AF 为边 BC 上的中线， AF=AB 2 1 +AC 2 1 ， 又CD=ACAD=AB 5 1 +AC) 1( ， 且CDAG， 5 1 ：(1)= 2 1 ： 2 1 ， = 6 5 ， 考点：平面向量的基本定理及其意义 【变式 1-1】已知1|OA，2|OB，AOB= 3 2 ，OC=OA 2 1 +OB 4 1 ，则OA与OC的 夹角大小为 解答：由题意得 |OC|=|OA 2 1 +OB 4 1 |= 2 ) 4 1 2 1 (OBOA=OAOBOBO
4、A 4 1 ) 4 1 () 2 1 ( 22 = 4 1 4 1 4 1 = 2 1 OCOA 2 1 =OAOBOAOA 4 1 2 1 = 4 1 cos= |OAOC OAOC = 2 1 则OA与OC的夹角大小为 60 ， 故答案为：60 考点：数量积表示两个向量的夹角， 平面向量的基本定理及其意义 【变式 1-2】 在 ABC 中， a， b， c 分别是角 A B C 所对的边， 且 3aBC+4bCA+5cAB=0， 则 a：b：c= 解答：已知三角形 ABC 中，BC+CA+AB=0， 又因为且 3aBC+4bCA+5cAB=0，根据平面向量基本定理得： 3a：4b：5c=1
5、：1：1， a：b：c=20：15：12 考点：向量在几何中的应用 【变式 1-3】 已知点 P 在 ABC 所在平面内， 若 2PA+3PB+4PC=3AB， 则 PAB 与 PBC 的面积的比值为 解答：2PA+3PB+4PC=3(PBPA) 5PA=4PC P 点在 AC 上，且|PA|= 5 4 |PC| PAB 与 PBC 分别可看做以 PA，PC 为底时，高相同 PAB 与 PBC 的面积的比值为|PA|：|PC|= 5 4 故答案为： 5 4 考点：向量在几何中的应用 【变式 1-4】已知向量OA=（3，4） ，OB=(5，3)，OC=（4m，m+2） ，若点 A，B，C 能构成
6、三角形，则实数 m 应满足条件 解答：若点 A、B、 C 不能构成三角形，则只能三点共线 AB=OBOA=(5，3)(3，4)=(2，1)； AC=OCOA=(4m，m+2)(3，4)=(1m，m+6) 假设 A B C 三点共线， 则 2 (m+6)1(1m)=0，即 3 11 m 若 A B C 三点能构成三角形，则 m 3 11 考点：向量的加法及其几何意义 【例 2】若向量a=(cos，sin)，b=(cos，sin)，且|a+b|2ab，则 )cos(= 解答：a=(cos，sin)，b=(cos，sin)， a+b=(coscos，sinsin)， ab=coscos+sinsin
7、=)cos( |a+b|=)cos(22， |a+b|2ab， )cos(222)cos(， 设 t=2)cos(，则 0t2， 2+tt2， 解得，t2，或 t1， t=2， 2=2)cos(， 即)cos(=1 故答案为：1 考点：平面向量数量积的运算，两角和与差的余弦函数 【变式 2-1】 如图， 在平行四边形 ABCD 中， E 为 DC 的中点， AE 与 BD 交于点 E， AB=2， AD=1，且MAMB= 6 1 ，则ABAD= 解答：A，M，E 三点共线，存在实数 使得： AM=AE=(AD+DE)=AD+ 2 1 AB B，M，D 三点共线，存在实数 使得： BM=BD；
8、AMAB=(ADAB)； AM=AD+(1)AB； 所以根据平面向量基本定理得 1 2 1； = 3 2 ； MA= 3 2 AD 3 1 AB，MB= 3 2 BD= 3 2 AD+ 3 2 AB； MAMB= 6 1 ； ( 3 2 AD 3 1 AB) ( 3 2 AD+ 3 2 AB)=- 9 2 ABAD； ABAD= 4 3 故答案为： 4 3 考点：平面向量数量积的运算 【变式 2-2】如图，在等腰三角形 ABC 中，底边 BC=2，AD=DC，AD= 2 1 EB，若 BDAC= 2 1 ，则CEAB= 解答：AD=DCD 是 AC 的中点BD= 2 1 (BA+BC) BDA
9、C= 2 1 2 1 (BA+BC) (BCBA)= 2 1 2 BC 2 BA=1 2 BA=5|BA|=5 5 1 cosB CEAB=(BEBC)AB=BCBA- 3 2 2 BA= 3 4 考点：向量在几何中的应用， 平面向量数量积的运算 【变式 2-3】如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若ABAF=2，则AEBF的值是 解答：AF=AD+DF， ABAF=AB (AD+DF)=ABAD+ABDF=ABDF=2|DF|=2 |DF|=1，|CF|=21， AEBF=(AB+BE)(BC+CF)=ABCF+BEBC=2(21
10、)+1 2=2， 故答案为：2 考点：平面向量数量积的运算 【例 3】已知向量a=(1，1)，b=(1，1)，设向量c满足(2ac) (3bc)=0，则|c|的最大 值为 解答：设c=(x，y)， 向量a=(1，1)，b=(1，1)， 2ac=(2x，2y)， 3bc=(3x，3y)， 向量c满足(2ac) (3bc)=0， (2x，2y) (3x，3y)=0， (2x)(3x)+(2y)(3y)=0， 化为(x+ 2 1 )2+(y 2 5 )2= 4 26 由于此圆经过原点，|c|的最大值为圆的直径=26 故答案为：26 考点：平面向量数量积的运算 【变式 3】已知向量a，b满足|a|=1
11、，(a+b) (a2b)=0，则|b|的最小值 为 解答：由条件得 2 aab2 2 b=0，记=，|b|=t， 则 2t2+tcos1=0，即cos= t t221 ， 从而| t t221 |1，4t45t2+10， 4 1 t21， 故 min t= 2 1 ，即|b|的最小值为 2 1 故答案为： 2 1 考点：平面向量数量积的运算 【例 4】在平行四边形 ABCD 中，ACAD=ACBD=3，则线段 AC 的长 为 解答： 考点：平面向量数量积的运算 【变式 4】在 ABC 中，若ABAC=ABCB=2，则边 AB 的长等于 解答：ABAC+ABCB=AB (AC+CB)= 2 AB
12、 ABAC=ABCB=2 2+2= 2 AB，|AB|=2 边 AB 的长等于 2 故答案为：2 考点：向量在几何中的应用 【例 5】设a，b，c是单位向量，ab，则(a+b+2c)c的最大值是 解答：由题意，分别以向量a，b作为 x、y 轴的单位向量建立直角坐标系， 则可得a=(1，0)，b=(0，1)，并设c=(cos，sin)， 则可得a+b+2c=(1+2cos，1+2sin)， (a+b+2c)c=(1+2cos)cos+(1+2sin)sin=cos+2 2 cos+sin+2 2 sin= cos+sin+2=) 4 sin(2 +2， 由三角函数的知识可知，当 = 4 时，上式
13、取最大值2+2 故答案为：2+2 考点：平面向量数量积的运算 【变式 5】 设a，b，c是单位向量， 且a=b+c， 则向量a，b的夹角等于 解答：a，b，c是单位向量，且a=b+c， ab=c 两边平方可得：1+12cos=1 cos= 2 1 0， =60 故答案为：60 考点：平面向量数量积的运算 【巩固运用】 1、如图，在平面四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，E 为线段 AO 的中点，若 BE=BA+BD(，R)，则 += 解答： BD=2BO，BE=BA+BD， BE=BA+2BO， E 为线段 AO 的中点， BE= 2 1 (BA+BO)， = 2 1 ，2= 2
14、1 ， 解得 = 4 1 ， += 4 3 故答案为： 4 3 考点：平面向量的基本定理及其意义 2、设 D，E 分别是 ABC 的边 AB，BC 上的点，AD= 2 1 AB，BE= 3 2 BC，若 DE=1AB+2AC(1，2 为实数)，则 1+2 的值为 解答：由题意结合向量的运算可得 DE=DB+BE= 2 1 AB+ 3 2 BC= 2 1 AB+ 3 2 (BA+AC)= 2 1 AB 3 2 AB+ 3 2 AC= 6 1 AB + 3 2 AC 又由题意可知若DE=1AB+2AC， 故可得 1= 6 1 ，2= 3 2 ，所以 1+2= 2 1 故答案为： 2 1 考点：平面
15、向量的基本定理及其意义 3、如图，在 ABC 中，D，E 分别为边 BC，AC 的中点F 为边 AB 上的点，且AB=3AF， 若AD=xAF+yAE，则 x+y 的值为 解答：AD= 2 1 AB+ 2 1 AC= 2 3 AF+AE AD=xAF+yAE 根据平面向量基本定理，得 x= 2 3 ，y=1，因此 x+y 的值为 2 5 故答案为： 2 5 考点：平面向量的基本定理及其意义 4、在 ABC 中，BD=2DC，若AD=1AB+2AC，则 12 的值为 解答：如图所示， BD=2DC，BC=ACAB AD=AB+BD=AB+ 3 2 BC=AB+ 3 2 (ACAB)= 3 1 A
16、B+ 3 2 AC， 而AD=1AB+2AC， 1= 3 1 ，2= 3 2 12= 3 1 3 2 = 9 2 故答案为： 9 2 考点：向量加减混合运算及其几何意义 5、已知非零向量，b满足|a|=|a+b|=1，a与b夹角为 120 ，则向量b的模 为 解答：由题意可得，|a+b|2= 2 a+2ab+ 2 b=1， 即 1+2 1 |b|cos120 +|b|2=1，故|b|2|b|=0 解得|b|=1 或|b|=0 (舍去，因为a，b为非零向量) 故答案为：1 考点：平面向量数量积的性质及其运算律，平面向量数量积的含义与物理意义 6、在菱形 ABCD 中，AB=32，B= 3 2 ，
17、BC=3BE，DA=3DF，则 EFAC= 解答：在菱形 ABCD 中，AB=32，B= 3 2 ，BC=3BE，DA=3DF， 则EF=EB+BA+AF=AD3AB 且AC=AB+AD，BAD= 3 故EFAC= （AD3AB) (AB+AD )= 3 2 ABAD+ 3 1 2 AD 2 AB= 3 2 3232 3 cos + 3 1 1212=4+412=12， 故答案为12 考点：平面向量数量积的运算 7、 如图， 在平行四边形 ABCD 中， 已知 AB=8， AD=5，CP=3PD，APBP=2， 则ABAD 的值是 解答：AP=AD+ 4 1 AB，BP=AD 4 3 AB，
18、又AB=8，AD=5， APBP=(AD+ 4 1 AB) (AD34AB)=|AD|2 2 1 ABAD 16 3 |AB|2=25 2 1 AB AD12=2 故ABAD=22， 故答案为：22 考点：向量在几何中的应用， 平面向量数量积的运算 8、在 ABC 中，AB=1，AC=2，O 为 ABC 外接圆的圆心，则AOBC= 解答：由于BC=ACAB， AOBC=AO (ACAB)=AOACAOAB， 如图，设 AB，AC 的中点分别为 F，E 根据向量数量积的几何意义得： AOACAOAB=|AC|AE|AF|AB|=12 2 1 1= 2 3 故答案为： 2 3 考点：三角形五心，
19、平面向量数量积的运算 【拓展延伸】 1、 在平面四边形 ABCD 中， 已知 AB=3， DC=2， 点 E， F 分别在边 AD， BC 上， 且AD=3AE， BC=3BF若向量AB与DC的夹角为 60 ，则ABEF的值为 解答：如图所示：设直线 AB 和 DC 相交于点 H， 则由题意可得AHD=60 EF= 3 1 DA+AB+ 3 1 BC ， EF= 3 2 AD+DC+ 3 2 CD ， 2+可得 3EF=2AB+DC， EF= 3 2 AB+ 3 1 DC ABEF= 3 2 AB 2+ 3 1 ABDC= 3 2 32+ 3 1 |AB| |DC| cosAHD=6+ 3 1
20、 3 2 2 1 = 7 故答案为：7 考点：平面向量数量积的运算 2、如图，在 ABC 中，已知 AB=4，AC=6，BAC=60，点 D，E 分别在边 AB，AC 上， 且AB=2AD，AC=3AE，点 F 为 DE 中点，则BFDE的值为 解答：由 AB=4，AC=6，BAC=60， 即有ABAC=4 6 cos60=242 1 =12， 则 BFDE=(DFDB) (AEAD)=( 2 1 DE 2 1 AB) ( 3 1 AC 2 1 AB)=( 6 1 AC 4 1 AB 2 1 AB) ( 3 1 AC 2 1 AB)= 18 1 AC 2+ 8 3 AB 2 3 1 ABAC=
21、 18 1 36+ 8 3 16 3 1 12= 2+64=4， 故答案为：4 考点：平面向量数量积的运算 3、直角三角形 ABC 中，斜边 BC 长为 2，O 是平面 ABC 内一点，点 P 满足 OP=OA+ 2 1 (AB+AC)，则|AP|= 解答：动点 P 满足OP=OA+ 2 1 (AB+AC)， AP= 2 1 (AB+AC)， |AP|2= 4 1 (AB2+AC2+2ABAC)= 4 1 (4+0)=1 故答案为：1 考点：向量在几何中的应用 4、设 1 e， 2 e是夹角为 60的两个单位向量，已知OM= 1 e，ON= 2 e，OP=x 1 e+y 2 e， 若 PMN
22、是以 M 为直角顶点的三角形，则 xy= 解答：由题意可得 1 e 2 e=1 1 cos60=12，MPMN， MPMN=(OPOM) (ONOM)=(x1) 1 e+y 2 e 1 e+ 2 e=(1x) 1 e 2+(x1y) 1 e 2 e+y 2 e2=1x+ 2 1yx +y= 2 1yx =0， 1x+y=0，xy=1， 故答案为：1 考点：数量积表示两个向量的夹角 5、 在平面直角坐标系中， A(0， 0)， B(1， 2)两点绕定点 P 顺时针方向旋转 角后， 分别到 A(4， 4)，B(5，2)两点，则cos的值为 解答： 由题意，画出图形，如图所示； AA的中点坐标为(2，2)， 它的中垂线方程：y2=(x2)， 即 x+y4=0； 同理 BB的中垂线方程为 x=3； 由 3 04 x yx ， 解得 3 1 x y ； 点 P(3，1)为固定点 又 kPB= 2 1 ，kPB= 2 1 ， tan= 5 3 ； cos= 5 3 考点：简单曲线的极坐标方程
