1、 中考数学 （浙江专用） 第十章 二次函数微专题 10.1 二次项系数确定型 1.(2019台州,23,12分)已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(-2,4). (1)求b,c满足的关系式; (2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式; (3)若该函数的图象不经过第三象限,当-5x1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值. 解析解析 (1)将点(-2,4)代入y=x2+bx+c, 得-2b+c=0,c=2b. (2)m=-,n=,n=, n=2b-m2=-4m-m2. (3)y=x2+bx+2b=-+2b, 其图象的对称轴为直线x
2、=-, 当b0时,c0,函数图象不经过第三象限,则c=0. 此时y=x2,当-5x1时,函数的最小值是0,最大值是25, 最大值与最小值之差为25,不符合题意,舍去. 当b0时,c0,函数图象不经过第三象限,则b2-8b0, 0b8,-4x=-0, 2 b 2 4 4 cb 2 8 4 bb 2 2 b x 2 4 b 2 b 2 b 当-5x1时,函数有最小值-+2b, 当-4-2时,函数有最大值1+3b, 当-2-0时,函数有最大值25-3b. 当最大值为1+3b时,1+3b+-2b=16,b=6或b=-10, 4b8, b=6; 当最大值为25-3b时,25-3b+-2b=16, b=2
3、或b=18, 0b4,b=2. 综上所述,b=2或b=6. 2 4 b 2 b 2 b 2 4 b 2 4 b 2.(2019金华,23,10分)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半 轴上,把正方形OABC的内部及边上横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P为抛物线y=-(x-m)2+m+2的顶 点. (1)当m=0时,求该抛物线下方(包括边界)的好点个数; (2)当m=3时,求该抛物线上的好点坐标; (3)若点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点,求m的取值范围. 解析解析 (1)当m=0时,二次函数的表达式为y=-x
4、2+2,函数图象如图所示. 当x=0时,y=2,当x=1时,y=1, 抛物线经过点(0,2)和(1,1), 观察图象可知:好点有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),共5个. (2)当m=3时,二次函数解析式为y=-(x-3)2+5,其图象如图所示. 当x=1时,y=1,当x=2时,y=4,当x=4时,y=4, 抛物线经过(1,1),(2,4),(4,4), 结合图象可知,抛物线上的好点坐标分别为(1,1),(2,4),(4,4). (3)如图,抛物线的顶点P的坐标为(m,m+2), 抛物线的顶点P在直线y=x+2上, 点P在正方形内部, 0m2, 如图,E(2,1),F
5、(2,2),观察图象可知,当点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点 时,抛物线与线段EF有交点(点F除外), 当抛物线经过点E时,-(2-m)2+m+2=1, 解得m=或(舍去), 513 2 513 2 当抛物线经过点F时,-(2-m)2+m+2=2, 解得m=1或4(舍去), 当m1时,顶点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点. 513 2 3.(2020内蒙古包头,26,12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x经过坐标原点,与x轴正半轴交于 点A,该抛物线的顶点为M,直线y=-x+b经过点A,与y轴交于点B,连接OM.
6、 (1)求b的值及点M的坐标; (2)将直线AB向下平移,得到过点M的直线y=mx+n,且与x轴负半轴交于点C,取点D(2,0),连接DM,求证: ADM-ACM=45; (3)点E是线段AB上一动点,点F是线段OA上一动点,连接EF,线段EF的延长线与线段OM交于点G.当 BEF=2BAO时,是否存在点E,使得3GF=4EF?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 1 3 1 2 备用图 解析解析 (1)当y=0时,x2-2x=0,解得x1=0,x2=6,A(6,0). 直线y=-x+b经过点A,b=3. y=x2-2x=(x-3)2-3,M(3,-3).(3分) (2)证明:根据题
7、意得m=-. 直线y=-x+n过点M(3,-3), n=-,y=-x-. 当y=0时,-x-=0,解得x=-3,C(-3,0). 过点M作MNx轴于点N,N(3,0), 1 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 ON=MN=3,MON=45. D(2,0),OD=2,DN=1. 在RtMND中,MD=. C(-3,0),CD=5. =,=,=. MDC=ODM, DCMDMO,DMC=DOM=45. 22 MNDN10 DM DO 10 2 DC DM 10 2 DM DO DC DM ADM=ACM+DMC,ADM-ACM=45.(7分) (3)
8、假设存在点E,使得3GF=4EF,即=. BEF=2BAO,BAO=EFA,AE=EF. 过点E作EHx轴于点H,AH=HF. 过点G作GKx轴于点K.设E, EH=-a+3,OH=a,AH=HF=6-a. GF EF 4 3 1 ,3 2 aa 1 2 在RtGKF和RtEHF中,sinKFG=sinHFE, =,=,KG=-a+4. MOA=45,OK=KG,OK=-a+4, KF=OH-OK-HF=a-10.GKx轴,EHx轴, GKEH,=,a=,-a+3=, E,存在点E,使得3GF=4EF.(12分) KG GF HE EF KG HE GF EF 4 3 4 3 1 3 2 a
9、2 3 2 3 8 3 KF HF GF EF 4 3 9 2 1 2 3 4 9 3 , 2 4 9 3 , 2 4 思路分析思路分析 (1)根据抛物线与x轴正半轴交于点A,求出A(6,0),代入一次函数解析式即可求出b;将抛物线 解析式转化成顶点式,即可得到M点坐标. (2)易知平移后的直线的解析式为y=-x+n,把点M的坐标代入求出n,过点M作MNx轴于N,则DCM DMO,推出DMC=45,利用ADM=ACM+DMC可得结论. (3)过点G作GKx轴于K,过点E作EHx轴于H.证明EFA=BAO,得AE=EF.设E,用a表示 出EH、OH、HF的长,利用sinKFG=sinHFE求得K
10、G的长.由MOA=45得OK=KG,从而求得KF的 长.由GKEH推出=,求得a的值即可解决问题. 1 2 1 ,3 2 aa KF HF GF EF 4 3 4.(2020丽水、金华,23,10分)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=-(x-m)2+4图象的顶点为A,与y 轴交于点B,异于顶点A的点C(1,n)在该函数图象上. (1)当m=5时,求n的值; (2)当n=2时,若点A在第一象限内,结合图象,求当y2时,自变量x的取值范围; (3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方,且在线段OD上时,求m的取值范围. 1 2 解析解析 (1)当m=5时,y=-(x-5)2+4,
11、当x=1时,n=-42+4=-4. (2)当n=2时,将C(1,2)代入函数表达式y=-(x-m)2+4,得2=-(1-m)2+4, 解得m1=3,m2=-1(舍去). 此时抛物线的对称轴是直线x=3,根据抛物线的轴对称性,当y=2时,有x1=1,x2=5. x的取值范围为1x5. (3)点A与点C不重合, m1. 抛物线的顶点A的坐标是(m,4), 抛物线的顶点在直线y=4上. 当x=0时,y=-m2+4, 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 点B的坐标为. 抛物线从图1向左平移到图3的过程中,m减小且m0,点B沿y轴向上移动. 当点B与点O重合时,-m2+4=0, 解得m1=2,m2=-2(舍去). 当点B与点D重合时,如图3,顶点A也与点B,D重合,点B到达最高点. 点B的坐标为(0,4), -m2+4=4,解得m=0. 当抛物线从图3位置继续向左平移时,如图4,点B不在线段OD上, 点B在线段OD上时,m的取值范围是0m1或1m2. 2 1 0,4 2 m 1 2 22 1 2 2 图1 图3 图4 图5
