1、 中考数学 （浙江专用） 8.4 转化思想 1.如图,在大长方形ABCD中,放入六个相同的小长方形,则图中阴影部分面积为( ) A.16 B.44 C.93 D.140 答案答案 B 设小长方形的宽和长分别为x,y,则由图形得解得则阴影部分面积为1410- 628=140-96=44. 314, 26, yx yxx 2, 8, x y 2.如图,ABC经过平移后得到ABC,若四边形ACDA的面积为6 cm2,则阴影部分的面积为 cm2. 答案答案 6 解析解析 由平移性质可得,ABC的面积等于ABC的面积,阴影部分的面积等于四边形ACDA的面积, 为6 cm2. 3.如图是一个三级台阶,它的
2、每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸,A和B是这个台阶的两个相对 端点,A点处有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则它所走的最短路线的长度是 寸. 答案答案 73 解析解析 将立体图形转化为平面图形,展开后变为长方形,根据题意得,C=90,BC=3(10+6)=48, AB=73. 22 ACBC 22 5548 4.三个同学对问题“若方程组的解是求方程组的解.”提出各自的 想法. 甲说:“这个题目好像条件不够,不能求解”; 乙说:“它们的系数有一定的规律,可以试试”; 丙说:“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5,通过换元的方法来解决.”参考他们的讨论, 你认为这个题目的解应该
3、是 . 111 222 ,a xb yc a xb yc 3, 4, x y 111 222 325 , 325 a xb yc a xb yc 答案答案 5 10 x y 解析解析 将原方程组变形为 则 111 222 32 , 55 32 , 55 x ay bc x ay bc 3 3, 5 2 4, 5 x y 5, 10. x y 5.(2018陕西,25,12分)问题提出 (1)如图,在ABC中,A=120,AB=AC=5,则ABC的外接圆半径R的值为 . 问题探究 (2)如图,O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是O上一动点,求PM的最大值. 问题解决 (3)如图所示
4、,AB、AC、是某新区的三条规划路,其中,AB=6 km,AC=3 km,BAC=60,所对的圆 心角为60.新区管委会想在路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站点E、F,也就是,分 别在、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按PE FP的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷、环保和节约成本, 要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最小值.(各物资站点与所在道路之间的距离、路 宽均忽略不计) BC BC BC BC 解析解析 (1)5.(2分) 详解:如图,设O是ABC的外接圆的圆心,
5、 OA=OB=OC,又AB=AC,AOBAOC, BAO=CAO, BAC=120,BAO=60, ABO是等边三角形,AB=OA=OB=5. 即ABC的外接圆半径R的值为5. (2)如图,连接MO,并延长与O相交于点P,连接OA,OP. M是弦AB的中点, OMAB,AM=AB=12. 在RtAOM中,OM=5.(4分) PMOM+OP=OM+OP=MP=18, 当点P运动到P时,PM取得最大值,为18.(5分) (3)如图,设P为上任意一点,分别作点P关于直线AB、AC的对称点P1、P2,连接P1P2,分别与AB、AC 相交于点E、F,连接PE,PF, 1 2 22 AOAM BC PEF
6、的周长=P1E+EF+P2F=P1P2, 对于点P及分别在AB、AC上的任意点E、F,有PEF的周长PEF的周长=P1P2. 即PEF周长的最小值为P1P2的长.(7分) 连接AP1,AP,AP2, 则AP1=AP=AP2,P1AB=PAB,P2AC=PAC, P1AP2=2BAC=120,P1P2=AP1=AP.(8分) 要使P1P2最短,只要AP最短即可. 33 设O为所在圆的圆心,连接OB、OC、OP、OA,且OA与相交于点P, 则AP+POAO. APAP.(9分) 连接BC,易证ACB为直角三角形,且ABC=30,ACB=90, BC=AC tan 60=3 km. BOC=60,O
7、B=OC, BO=BC=3 km,OBC=60,ABO=ABC+OBC=90. 在RtABO中,AO=3 km.(11分) AP=(AO-OP)=(3-3)=(3-9)km. P1P2的最小值为AP=(3-9)km. PE+EF+FP的最小值为(3-9)km.(12分) BC BC 3 3 22 ABBO 22 6(3 3)7 3337321 321 21 思路分析思路分析 (1)设O是ABC的外接圆的圆心,根据全等三角形的判定与性质和圆的半径相等可证ABO 是等边三角形,所以AB=OA=OB=5;(2)当PMAB时,PM有最大值,根据垂径定理可得AM=AB=12,再根 据勾股定理求得OM=5
8、,进而由PMOM+OP=OM+OP=MP=18得解;(3)分别以AB、AC所在的直线为对 称轴,作出P关于AB的对称点P1,关于AC的对称点P2,易得PEF的周长为P1P2的长,根据P1P2=AP, 可知要使P1P2最短,只要AP最短,OA与交于点P,此时使得线段PE、EF、FP之和最短,然后先判定 ABC为直角三角形,求出BC的长,在RtABO中由勾股定理求出AO的长,进而求出AP的值,最后求得PE+ EF+FP的最小值. 1 2 3 BC 难点分析难点分析 本题难点在于第(3)问如何确定P点的位置及何时PE+EF+FP取得最小值.读懂题目信息也就 明确了可以利用轴对称确定最短路线问题,同时结合圆半径和线段OA的长度求出AP的最小值.
