1、 中考数学 （浙江专用） 4.2 三角形 A组 20162020年浙江中考题组 考点一 三角形相关概念与性质 1.(2019杭州,7,3分)在ABC中,若一个内角等于另两个内角的差,则( ) A.必有一个内角等于30 B.必有一个内角等于45 C.必有一个内角等于60 D.必有一个内角等于90 答案答案 D 不妨设A=B-C(BC). ABC的内角和为180,A+B+C=180, B-C+B+C=180,B=90.故选D. 思路分析思路分析 解题时根据三角形内角和为180,及一个内角等于另两个内角的差列出方程,解方程可得一 个角为90. 2.(2019台州,4,4分)下列长度的三条线段,能组成
2、三角形的是( ) A.3,4,8 B.5,6,10 C.5,5,11 D.5,6,11 答案答案 B 根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,可知只有B选项满足题意,因此本 题选B. 3.(2019金华,3,3分)若长度分别为a,3,5的三条线段能组成一个三角形,则a的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.8 答案答案 C 由三角形的三边关系得5-3a5+3, 即2aA+B. (2)证明:如图,过点B作直线DEAC, A=ABD,C=CBE, 又ABD+ABC+CBE=180, A+ABC+C=180,ABC的内角和等于180. (3)证明:原式可变形为=,(a+c)2-b2
3、=2ac,即a2+2ac+c2-b2=2ac,a2+c2=b2,ABC是以 a acb2 acb c B为直角的直角三角形. 考点二 全等三角形 1.(2018山东临沂,11,3分)如图,ACB=90,AC=BC,ADCE,BECE,垂足分别是点D,E,AD=3,BE=1,则 DE的长是( ) A. B.2 C.2 D. 3 2 210 答案答案 B ADCE,BECE,ADC=CEB=90,DAC+DCA=90,ACB=90,ECB+DCA= 90,DAC=ECB,AC=CB,ACDCBE,AD=CE=3,CD=BE=1,DE=CE-CD=3-1=2. 思路分析思路分析 通过证明ACD与CB
4、E全等,得到AD=CE,CD=BE,然后计算DE的长. 2.(2020北京,14,2分)如图,在ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明 ABDACD,这个条件可以是 (写出一个即可). 答案答案 答案不唯一,如:D是BC的中点 解析解析 根据题意可知AB=AC,B=C,若根据“边角边”判定ABDACD,可以添加BD=CD(D是 BC的中点);若根据“角边角”判定ABDACD,可以添加BAD=CAD(AD平分BAC);若根据 “角角边”判定ABDACD,可以添加BDA=CDA(ADBC或ADC=90),答案不唯一. 3.(2019内蒙古呼和浩特,12,3
5、分)下面三个命题:底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;两边及 其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全 等.其中正确的命题的序号为 . 答案答案 解析解析 等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等 腰三角形全等,命题正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全等,得两边的夹角对应相等,再由 SAS证得原两三角形全等,命题正确;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以仅有斜边相等不 能证得两个直角三角形全等,命题错误.故正确的命题是. 4.(2019湖北黄冈,16,3分)如图,AC,BD在AB
6、的同侧,AC=2,BD=8,AB=8.点M为AB的中点.若CMD=120, 则CD的最大值为 . 答案答案 14 解析解析 如图,设点A关于CM的对称点为A,点B关于DM的对称点为B,当A,B都在CD上时,CD有最大值.连接MA, MB,则MACMAC,MBDMBD,CA=CA=2,BD=BD=8,AMC=AMC,BMD=BMD,M为 AB的中点,MA=MA=MB=MB=4,CMD=120,AMC+BMD=60, AMC+BMD=60,AMB=60,AB=4,CD的最大值=CA+AB+BD=14. 难点突破难点突破 考虑到点A与点B是定点,点C与点D是动点,所以想到轴对称,当点A关于CM的对称
7、点A与点B 关于DM的对称点B都在CD上时,CD有最大值,从而找到本题的突破口. 5.(2017内蒙古包头,20,3分)如图,在ABC与ADE中,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE,且点D在AB上,点 E与点C在AB的两侧,连接BE,CD.点M、N分别是BE、CD的中点,连接MN,AM,AN. 下列结论: ACDABE; ABCAMN; AMN是等边三角形; 若点D是AB的中点,则SACD=2SADE. 其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号) 答案答案 解析解析 AB=AC,CAB=DAE,AD=AE,ACDABE,正确;由ACDABE得CD=BE,ACD= ABE,又点M、N分别
8、是BE、CD的中点,CN=BM,ACNABM,AN=AM,CAN=BAM, CAN+BAN=BAM+BAN,即BAC=MAN,又=,ABCAMN,正确;AN=AM, AMN是等腰三角形,由已知条件不能得出AMN是等边三角形,错误;若点D是AB的中点,则SABE= 2SADE,又ACDABE,SABE=SACD,SACD=2SADE,正确. AC AN AB AM 6.(2020云南昆明,16,6分)如图,AC是BAE的平分线,点D是线段AC上的一点,C=E,AB=AD.求证:BC=DE. 证明证明 AC是BAE的平分线, BAC=DAE,(1分) 在ABC和ADE中,(3分) ABCADE(A
9、AS).(5分) BC=DE.(6分) , , , CE BACDAE ABAD C组 教师专用题组 考点一 三角形相关概念与性质 1.(2019广西百色,1,3分)三角形的内角和等于( ) A.90 B.180 C.270 D.360 答案答案 B 三角形的内角和等于180,故选B. 2.(2020广东,6,3分)已知ABC的周长为16,点D,E,F分别为ABC三条边的中点,则DEF的周长为( ) A.8 B.2 C.16 D.4 2 答案答案 A 如图,D,E,F分别为ABC三条边的中点, DF=BC,DE=AC,EF=AB. ABC的周长=BC+AC+AB=16, DEF的周长=DF+D
10、E+EF=(BC+AC+AB)=16=8,故选A. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3.(2017湖南株洲,5,3分)如图,在ABC中,BAC=x,B=2x,C=3x,则BAD=( ) A.145 B.150 C.155 D.160 答案答案 B B+C+BAC=180,BAC=x,B=2x,C=3x,6x=180,解得x=30,BAD=B+ C=5x=150. 4.(2016温州,9,4分) 如图,一张三角形纸片ABC,其中C=90,AC=4,BC=3.现小林将纸片做三次折叠:第一次使点A落在C处; 将纸片展平做第二次折叠,使点B落在C处;再将纸片展平做第三次折叠,使点A落在B处.这
11、三次折叠的折 痕长依次记为a,b,c,则a,b,c的大小关系是( ) A.cab B.bac C.cba D.bca 答案答案 D 如图所示: 易知a=BC=1.5,b=AC=2,c=AB tan A=AB=5=1.875,所以bca,故选D. 1 2 1 2 1 2 1 2 BC AC 1 2 3 4 关键提示关键提示 本题考查了三角形中位线的性质及线段垂直平分线的性质,解题的关键是找出折痕,进而比 较大小. 5.(2020陕西,6,3分)如图,在33的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上.若BD是ABC 的高,则BD的长为( ) A. B. C. D. 10 13 13
12、 9 13 13 8 13 13 7 13 13 答案答案 D 由题图可知SABC=33-12-23-31=9-1-3-=,AC=.SABC= AC BD,BD=,故选D. 1 2 1 2 1 2 3 2 7 2 22 2313 1 2 7 13 7 13 13 6.(2020吉林,13,3分)如图,在ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点.若ADE的面积为,则四边形DBCE 的面积为 . 1 2 答案答案 3 2 解析解析 D,E分别是边AB,AC的中点,DE是ABC的中位线,DEBC,DE=BC, ADEABC,=. SADE=,SABC=2,四边形DBCE的面积为2-=. 1 2 2
13、2 DE BC 1 4 1 2 1 2 3 2 7.(2016温州,14,5分)如图,将ABC绕点C按顺时针方向旋转至ABC,使点A落在BC的延长线上.已知 A=27,B=40,则ACB= 度. 答案答案 46 解析解析 A=27,B=40,ACB=113,ACA=67. ABC绕点C按顺时针方向旋转得到ABC, ACB=ACB=113. ACB=ACB-ACA=46. 8.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB=,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 . 34 答案答案 1或9 解析解析 分两种情况讨论: BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D. 在RtABD中,
14、AB=,AD=3,BD=5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD=4.BC=BD+CD=9. BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4,BC=1. 综上,BC的长为1或9. 34 22 ABAD 22 ACAD 思路分析思路分析 根据题意画图(要考虑全面),利用勾股定理解直角三角形即可. 易错警示易错警示 本题容易只考虑BC边上的高在ABC内的情况而导致漏解. 考点二 全等三角形 1.(2016山东淄博,11,4分)如图,直线l1l2l3,一等腰直角三角形ABC的三个顶点A,B,C分别在l1,l2,l3上, ACB=90,AC交l2于点D.已知l1与l2的距离为1.l
15、2与l3的距离为3.则的值为( ) A. B. C. D. AB BD 4 2 5 34 5 5 2 8 20 2 23 BD=BG-DG=7-=.= =.故选择A. 答案答案 A 如图,作BFl3,AEl3交l2于点G. ACB=90,BCF+ACE=90. BCF+CBF=90,ACE=CBF. 又BFC=CEA=90,BC=CA,ACECBF. CE=BF=3,CF=AE=4.BG=EF=CF+CE=7. AB=5. l2l3,=.DG=. 22 BGAG2 DG CE AG AE 1 4 3 4 3 4 25 4 AB BD 5 2 25 4 4 2 5 解题关键解题关键 添加辅助线构
16、造全等三角形是解题关键. 2.(2020江西,11,3分)如图,CA平分DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若EAC=49,则BAE的度 数为 . 答案答案 82 解析解析 EAC=49,DAC=180-EAC=131.CA平分DCB,DCA=BCA,又CB=CD,CA= CA,DCABCA,DAC=BAC=131,BAE=131-EAC=82. 3.(2019湖北襄阳,14,3分) 如图,已知ABC=DCB,添加下列条件中的一个:A=D,AC=DB,AB=DC,其中不能确定 ABCDCB的是 (只填序号). 答案答案 解析解析 已知ABC=DCB,且BC=CB, 若添加A=D,则可
17、由AAS判定ABCDCB; 若添加AC=DB,则属于边边角的顺序,不能判定ABCDCB; 若添加AB=DC,则可由SAS判定ABCDCB. 故答案为. 4.(2019黑龙江齐齐哈尔,12,3分)如图,已知在ABC和DEF中,B=E,BF=CE,点B、F、C、E在同一条 直线上,若使ABCDEF,则还需添加的一个条件是 (只填一个即可). 答案答案 AB=DE(或A=D或ACB=DFE或ACDF) 解析解析 由BF=CE可得BC=EF,又B=E, 此时可选择的判定方法有“SAS”“AAS”或“ASA”. (1)根据“SAS”,可添加AB=DE. (2)根据“AAS”,可添加A=D. (3)根据“
18、ASA”,可添加ACB=DFE或ACDF. 方法点拨方法点拨 本题属于条件开放题,属于中考常见类型,根据隐含条件(FC为公共线段)把已知条件转化为 一边一角对应相等,所以可以根据“SAS”“AAS”或“ASA”添加不同的条件,需要注意的是不能根 据“SSA”添加条件. 5.(2020四川南充,18,8分)如图,点C在线段BD上,且ABBD,DEBD,ACCE,BC=DE.求证:AB=CD. 证明证明 ABBD,DEBD,ACCE, ABC=CDE=ACE=90.(2分) ACB+ECD=90,(3分) ECD+CED=90.(4分) ACB=CED.(5分) 在ABC和CDE中, ABCCDE
19、.(7分) AB=CD.(8分) , , , ACBCED BCDE ABCCDE 6.(2019山西,17,7分)已知:如图,点B,D在线段AE上,AD=BE,ACEF,C=F.求证:BC=DF. 证明证明 AD=BE,AD-BD=BE-BD. AB=DE.(2分) ACEF,A=E.(4分) 在ABC和EDF中, (5分) ABCEDF.(6分) BC=DF.(7分) , , , CF AE ABED 7.(2019江苏南京,19,7分)如图,D是ABC的边AB的中点,DEBC,CEAB,AC与DE相交于点F.求证 ADFCEF. 证明证明 DEBC,CEAB, 四边形DBCE是平行四边形
20、,BD=CE. D是AB的中点,AD=DB,AD=CE. CEAB,A=ECF,ADF=E, ADFCEF. 8.(2017湖北孝感,18,8分)如图,已知AB=CD,AEBD,CFBD,垂足分别为E、F,BF=DE.求证ABCD. , , CDAB DFEB 证明证明 AEBD,CFBD,AEB=CFD=90. BF=DE,BF+FE=DE+EF,即EB=DF. 在RtDCF和RtBAE中, RtDCFRtBAE(HL), D=B,DCAB. 9.(2017温州,18,8分)如图,在五边形ABCDE中,BCD=EDC=90,BC=ED,AC=AD. (1)求证:ABCAED; (2)当B=1
21、40时,求BAE的度数. 解析解析 (1)证明:AC=AD,ACD=ADC. BCD=EDC=90,ACB=ADE. BC=ED,ABCAED(SAS). (2)由(1)得ABCAED,B=E, B=140,E=140. 五边形ABCDE的内角和为540, BAE=540-2(140+90)=80. 10.(2019安徽,20,10分)如图,点E在ABCD内部,AFBE,DFCE. (1)求证:BCEADF; (2)设ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求的值. S T 解析解析 (1)证明:如图1,延长FA与CB的延长线交于点M,ADBC,FAD=M, 又AFBE,M=EBC,FA
22、D=EBC. 同理得FDA=ECB. 在BCE和ADF中,EBC=FAD, BC=AD,ECB=FDA,BCEADF.(5分) (2)解法一:如图1,连接EF,由(1)知BCEADF,AF=BE,又AFBE, 四边形ABEF为平行四边形,SAEF=SAEB. 同理SDEF=SDEC,T=SAEB+SDEC, 又T=SAED+SADF=SAED+SBCE,S=SAEB+SDEC+SAED+SBCE=2T.=2.(10分) 解法二:BCEADF,T=SAED+SBCE. 如图2,过点E作HGBC交BC于G,交AD于H,则EGBC,EHAD.于是,T=SAED+SBCE=BC (EG+EH)= BC
23、 GH=S,即=2.(10分) S T 1 2 1 2 1 2 S T 图1 图2 方法总结方法总结 求不规则四边形的面积常将不规则四边形分割成三角形,求三角形的面积和或转化成求熟 悉易求的图形面积. 11.(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接 MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=. (1)求证:APMBPN; (2)当MN=2BN时,求的度数; (3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围. 解析解析 (1)证明:P为AB中点,PA=PB. 又A=B,MPA=NPB,APMBPN. (2)由(
24、1)得PM=PN,MN=2PN, MN=2BN,PN=BN,=B=50. (3)4090. 详解:BPN的外心在该三角形的内部, BPN是锐角三角形, BPN和BNP都为锐角,又B=50, 40BPN90,即4090. 思路分析思路分析 (1)根据ASA可证明APMBPN; (2)根据APMBPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果; (3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,根据BPN和BNP都为锐角及B=50可得的取值范围. 方法归纳方法归纳 证明三角形全等的一般思路: 1.如果已知两边:(1)找夹角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3
25、)找另一条边,利用SSS求解. 2.已知一边和一角:(1)边为角的对边,则找任一角,利用AAS求解;(2)边为角的一条边:找角的另一边,利 用SAS求解,找边的另一角,利用ASA求解,找边的对角,利用AAS求解. 3.已知两角:(1)找夹边,利用ASA求解;(2)找两角中任意一角的对边,利用AAS求解. A组 20182020年模拟基础题组 时间:50分钟 分值:55分 一、选择题(每小题3分,共15分) 1.(2020绍兴中考押题卷)已知三角形纸片ABC,其中B=45,将这个角剪去后得到四边形ADEC,则这个 四边形的两个内角ADE与CED的和等于( ) A.235 B.225 C.215
26、D.135 答案答案 B B=45,A+C=135, ADE+CED+A+C=360, ADE+CED=360-135=225.故选B. 2.(2019宁波海曙模拟,9)已知钝角ABC中,A=30,则下列结论正确的是( ) A.0B60 B.90B150 C.0B60或90B150 D.以上都不对 答案答案 C A+B+C=180,A=30,B+C=150,又ABC为钝角三角形,0B60或 90B150,故选C. 3.(2018杭州下沙二模,2)长度分别为2,7,x的三条线段能组成一个三角形,x的值可能是( ) A.4 B.5 C.7 D.9 答案答案 C 由三角形三边关系可知x的取值范围为5
27、x9.故选C. 4.(2018杭州滨江二模,9)四根长度分别为3,4,6,x(x为整数)的木棒,从中任取三根,首尾顺次相接都能组成 一个三角形,则( ) A.组成的三角形中周长最小为9 B.组成的三角形中周长最小为10 C.组成的三角形中周长最大为19 D.组成的三角形中周长最大为16 答案答案 D 若组成的三角形中周长最小为9,则x=9-3-4=2,但2+36,A错误. 若组成的三角形中周长最小为10,则x=10-3-4=3,但3+3=6,B也错误. 若组成的三角形中周长最大为19,则x=19-6-4=9,但3+6=9,C错误. 若组成的三角形中周长最大为16,则x=16-6-4=6,长度分
28、别为3,4,6或3,6,6或4,6,6,都能够组成三角形.D 正确.故选D. 5.(2019绍兴越城模拟)已知ABC,D是BC延长线上一点,且BC=m BD,过D点作直线AB,AC的垂线,垂足分 别为E、F,若AB=n AC,则=( ) A. B. C. D. DE DF 1 (1)n m 1 (1)mn 1 (1)nm 1 (1)n m 答案答案 C 连接AD, BC=m BD,CD=(1-m)BD,SACD=(1-m) SABD,又SABD= AB DE,SACD= AC DF, AC DF=(1-m) AB DE,AB=n AC,AC DF=(1-m)n AC DE,DF=(1-m)n
29、DE,=.故选C. 1 2 1 2 1 2 1 2 DE DF 1 (1)m n 6.(2020金华模拟,14)如图,在ABC中,ABO=20,ACO=25,A=65,则BOC的度数为 . 二、填空题(每小题4分,共12分) 答案答案 110 解析解析 A=65, ABC+ACB=115, ABO=20,ACO=25, OBC+OCB=115-20-25=70, 则BOC=180-70=110. 7.(2018嘉兴一模,15) 如图,直线l过正方形ABCD的顶点D,过A、C分别作直线l的垂线,垂足分别为E、F,若AE=4a,CF=a,则正 方形ABCD的面积为 . 答案答案 17a2 解析解析
30、 设直线l与BC相交于点G. 在RtCDF中,易得DCF=CGF.ADBC,CGF=ADE,DCF=ADE.AEDG,AED =DFC=90.AD=CD,AEDDFC,DE=CF=a.在RtAED中,AD2=17a2,即正方形的面积为17a2. 8.(2018温州二模)如图,BE和CE分别平分ABC和ACD,已知A=45,则E= . 答案答案 22.5 解析解析 设ACD=2,ABD=2. BE、CE分别平分ABC和ACD, ECD=ACE=ACD=, ABE=EBD=ABD=, E=ECD-EBD=-, 又A=ACD-ABD=2(-), E=A=22.5. 1 2 1 2 1 2 9.(20
31、20金华金东一模)如图,E,F是四边形ABCD的对角线BD上的两点,AECF,AE=CF,BE=DF. 求证:ADECBF. 三、解答题(共28分) 证明证明 AECF,AED=CFB. BE=DF,BE+EF=DF+EF,即DE=BF. 在ADE和CBF中, ADECBF. , , , AECF AEDCFB DEBF 10.(2018宁波一模)已知:在ABC中,A=40,B=80. (1)请用尺规作图在平面内确定一点O,使得点O到AC、BC的距离相等,且点O到A,B两点的距离也相等 (保留作图痕迹,不写作法); (2)若OC=6,求O到BC的距离. 解析解析 (1)如图,点O即为所求. 详
32、解:以点C为圆心,以适当长为半径画弧,分别交边AC、BC于点E、F; 分别以E、F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点D,过点C、D作射线CD; 分别以点A、B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过点M,N作直线MN与射线CD相 交于点O,点O即为所求. (2)如图,过点O作OGCB交CB的延长线于点G, 点O到AC、BC的距离相等, CO为ACB的平分线, 1 2 1 2 A=40,ABC=80, OCB=30, 在RtOCG中,OG=OC=6=3. 故点O到BC的距离为3. 1804080 2 1 2 1 2 11.(2018温州一模,18)如图,C为ABE的边AB
33、延长线上一点,BC=AE,点D在EBC内部,且EBD=A= DCB. (1)求证:ABECDB; (2)连接DE,若CDB=60,AEB=50,求BDE的度数. 解析解析 (1)证明:BDC+BCD+CBD=180, A+AEB+EBA=180,EBD=A=DCB, EBA=BDC, 在ABE与CDB中, ABECDB(AAS). (2)ABECDB,BE=DB,AEB=DBC, AEB=50,DBC=50, 又CDB=60, C=180-60-50=70, EBD=DCB=70, BDE=(180-70)=55. , , , EBABDC ADCB BCAE 1 2 B组 20182020年
34、模拟提升题组 时间:40分钟 分值:55分 一、填空题(每小题4分,共12分) 1.(2020绍兴平水模拟)如图,四边形ABCD中,CD=AD,CDA=ABD=90,点E为CD边的中点,连接BE,AB =2,BC=,则BD= . 34 答案答案 5 解析解析 如图,过点C作CFBD于点F, CFD=90, CDA=ABD=90, A+ADB=90,ADB+CDF=90, A=CDF, 在ABD和DFC中, ABDDFC,CF=BD,AB=DF=2, , , , ABDDFC BADFDC ADCD BC2=BF2+FC2=BF2+BD2, ()2=BF2+(BF+FD)2=BF2+(BF+2)
35、2, 解得BF=3, BD=BF+FD=3+2=5. 34 思路分析思路分析 过点C作CFBD于点F,由“AAS”可证ABDDFC,即可得CF=BD,AB=DF,再结合勾 股定理即可求BD的长. 2.(2020丽水模拟,13)已知,如图,BQ平分ABP,CQ平分ACP,BAC=,BPC=,则BQC= . (用,表示) 答案答案 (+) 1 2 解析解析 如图,连接BC, BQ平分ABP,CQ平分ACP, 3=ABP,4=ACP, 2(3+4)+(1+2)=180-, 1+2=180-,3+4=(-), BQC=180-(1+2)-(3+4)=180-(180-)-(-)=(+). 1 2 1
36、2 1 2 1 2 1 2 3.(2019宁波北仓一模,14) 如图,点I为ABC的内心,AB=7,AC=6,BC=5,将ACB平移使其顶点与I重合,则图中阴影部分的周长为 . 解析解析 连接AI,BI. I为ABC的内心, AI平分CAB,BI平分CBA, CAI=IAB,CBI=IBA. DIE是由ACB平移得到的,DIAC. CAI=AID,IAB=AID. AD=DI. 同理可得,IE=EB. IDE的周长=DI+DE+IE=AD+DE+EB=AB=7. 答案答案 7 4.(2019杭州拱墅二模)在ABC中,BDAC于点D,P为BD上的点,ACP=45,AP=BC. (1)求证:AD=
37、BD; (2)若CPA=120,BC=2,求PB的长. 二、解答题(共43分) 解析解析 (1)证明:BDAC,ACP=45, ACP=CPD=45,CD=CP. 在RtAPD和RtBCD中, RtAPDRtBCD,AD=BD.(5分) (2)CPA=120,CPD=45,DPA=75, DBAC,AD=BD,PBA=45,PAB=30. 过P作PEAB于点E, 在RtAPE和RtBPE中,AP=BC=2, PE=EB=1,PB=.(10分) , , APBC CDPD 2 5.(2019台州模拟,24)如图,在ABC中,ACB=90,ABC=30,CDE是等边三角形,点D在边AB上. (1)
38、如图1,当点E在边BC上时,求证DE=EB; (2)如图2,当点E在ABC内部时,猜想ED和EB的数量关系,并加以证明; (3)如图3,当点E在ABC外部时,EHAB于点H,过点E作GEAB,交线段AC的延长线于点G.AG=5CG, BH=3,求CG的长. 解析解析 (1)CDE是等边三角形,CED=60, EDB=60-B=30,EDB=B, DE=EB. (2)ED=EB,理由如下: 取AB的中点O,连接CO、EO, ACB=90,ABC=30,A=60,OC=OA, ACO为等边三角形,CA=CO, CDE是等边三角形,ACD=OCE, ACDOCE,COE=A=60, BOE=60,
39、COEBOE, EC=EB,ED=EB. (3)取AB的中点O,连接CO、EO、EB,由(2)得ACDOCE,COE=A=60, BOE=60,COEBOE,EC=EB, ED=EB, EHAB,DH=BH=3, GEAB,G=180-A=120, COE=ACO=60,AGOE, GCE=CEO=CDA. CEGDCO,CG=OD, 设CG=a,则AG=5a,OD=a,AC=OC=4a, OC=OB,4a=a+3+3, 解得a=2,即CG=2. 6.(2018杭州上城一模)如图,四边形ABCD中,ACBC,ABAD,连接BD交AC于点O,CBO=ABD,E为 AC上一点,且AE=OC. (1
40、)求证:DEAO; (2)当AE=AC,AB=10时,求线段BO的长度. 3 8 解析解析 (1)证明:ACB=90,BAD=90, CBO+BOC=90,ABD+ADB=90. 又CBO=ABD,BOC=ADB, BOC=AOD,AOD=ADB, AD=AO. 如图,过点O作OFAB于点F, CBO=ABD, CO=FO, AE=OC, AE=OF, AOF+OAF=90,DAE+OAF=90, AOF=DAE, 在AOF和DAE中, AOFDAE(SAS), AFO=DEA=90, DEAO. (2)设AE=OC=3k, AE=AC,AC=8k,OA=AC-OC=5k. 由(1)可知,AD
41、=AO=5k,OF=OC=3k. 在RtAOF中,AF=4k, BF=AB-AF=10-4k, , , , OFAE AOFDAE AODA 3 8 22 AOOF 22 (5 )(3 )kk 易知OFAD, BFOBAD, =,即=, 解得k=1, BF=10-4k=6,OF=3k=3, 在RtBFO中, BO=3. OF DA BF BA 3 5 k k 104 10 k 22 BFOF 22 63 5 7.(2019宁波北仑模拟,23)如图1,是小明荡秋千的侧面示意图,秋千链长AB=5 m(秋千踏板视作一个点),静 止时秋千位于铅垂线BC上,此时秋千踏板A到地面的距离为0.5 m. (1
42、)当摆角为37时,求秋千踏板A与地面的距离AH;(参考数据:sin 370.6,cos 370.8,tan 370.75) (2)如图2,当秋千踏板摆动到D时,点D到BC的距离DE=4 m;当它从D处摆动到D处时,恰好DBDB,求点 D到BC的距离. 解析解析 (1)作ADBC于D,在RtABD中,BD=AB cos 37=50.8=4(m), CD=AB+AC-BD=5+0.5-4=1.5(m), 在矩形ADCH中,AH=CD=1.5(m). (2)作DFBC于F, 在RtBDE中,BE=3(m), BDF+FBD=90,FBD+DBE=90, BDF=DBE, 在BDF与DBE中, BDFDBE, 点D到BC的距离DF=BE=3(m). 22 BDDE , , , BFDDEB BD FDBE BDDB
